新人教版初中数学八年级下册 第十八章平行四边形 18.2特殊的平行四边形 18.2.3正方形 同步测试
一、单选题
1．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；
D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
故选A．
【分析】根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
2．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）下列说法错误的是（ ）.
A．有一个角为直角的菱形是正方形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形，故A选项说法正确；有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该矩形为正方形，故本B项说法正确；对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形，故C选项说法正确；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故D选项说法错误．
【分析】正方形集矩形、菱形的性质于一身，是特殊的平行四边形．
3．如图所示，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP，PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1-x，根据周长公式即可求得其周长和。
【解答】设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1-x，故两个小正方形的周长和=4x+4（1-x)=4cm，
故选B.
【点评】解答本题的根据是熟练掌握正方形的四条边相等。
4．（2020八下·吉林月考）若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4cm2 B．2cm2 C．cm2 D．2cm2
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】根据正方形的性质可求得边长，从而根据面积公式即可求得其面积．
【解答】根据正方形的性质可得，正方形的边长为cm，则其面积为2cm2
故选B．
【点评】此题主要考查学生对正方形的性质的理解及运用．
5．（2019八下·东台月考）如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD=45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=BE，
∴PE+PF=BE+OE=OA，
∵AB=BC=4，
∴OA=AC=x4=2，
∴PE+PF=2，
故选A．
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE=BE，从而得到PE+PF=OA，然后根据正方形的性质解答即可．
6．若一个正方形的面积为8，则这个正方形的边长为（ ）
A．4 B．2 C． D．8
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x，
根据题意得x2=8，
所以x=2．
故选B．
【分析】根据正方形的面积公式求解．
7．正方形具有而菱形不一定具有的特征有（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线平分内角
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直平分，正方形与菱形都具有，故本选项错误；
B、内角和为360°，正方形与菱形都具有，故本选项错误；
C、正方形对角线相等，菱形对角线不相等，故本选项正确；
D、对角线平分内角，正方形与菱形都具有，故本选项错误．
故选C．
【分析】根据正方形的性质与菱形的性质对各选项分析判断即可得解．
8．（北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形第三节《正方形的性质与判定》同步练习）已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=4cm，
故选B．
【分析】根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可．
9．（2017八下·临沭期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE=AB，
∴AE=AB=AD，
∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，
∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°，
∴∠AEB+∠AED=135°，
即∠BED=135°，
∴∠BEF=180°﹣135°=45°．
故选：B．
【分析】由正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED=135°，即可得出∠BEF．
10．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交BG于点T，交FG于点P，则ET的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8﹣4=4，GE=8，
∴GT=×4=2．
∴ET=GE﹣GT=8﹣2=6．
故选：D．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的性质求出DG、GE，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求出GT，即可得出ET的值．
11．以面积为9cm2的正方形的对角线为边长的正方形面积为（ ）
A．18cm2 B．20cm2 C．24cm2 D．28cm2
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为9cm2，
∴边长=3cm；
∴对角线的长==3（cm），
∴以3cm为边长的正方形面积=（3）2=18（cm2）；
故选：A．
【分析】由已知正方形的面积求出边长，再由勾股定理求出对角线长，即可求出新正方形的边长
12．若正方形的面积是4cm2，则它的对角线长是（ ）
A．4cm B．cm C．8cm D．2cm
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵正方形ABCD的面积是4cm2，
∴正方形ABCD的边长AB=BC=2cm，
∴BD=AC==2（cm）．
故选：D．
【分析】由正方形的性质和已知条件得出正方形的边长，由勾股定理求出对角线长即可．
13．如图，下列四组条件中，能判定 ABCD是正方形的有（ ）
①AB=BC，∠A=90°；②AC⊥BD，AC=BD；③OA=OD，BC=CD；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：①AB=BC，∠A=90°；
根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
②AC⊥BD，AC=BD；
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
③OA=OD，BC=CD；
由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA=OD，所以AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA；
由∠BOC=90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD=∠CDB=∠DCA，所以OC=OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确．
故选D．
【分析】根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案．
14．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H，这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；正方形的判定与性质
【解析】【解答】无穷多个．如图正方形ABCD：AH＝DG＝CF＝BE，HD＝CG＝FB＝EA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH＝HG＝GF＝FE，另外，很容易得四个角均为90°，则四边形EHGF为正方形．
【分析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，DC＜AB，AB=AD=12，E是边AD上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是（ ）
A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或7
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，
∵∠A=∠D=90°，AB=AD，
∴四边形ABFD是正方形，
把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，
则AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，
∵∠CBE=45°，
∴∠CBG=∠CBF+∠FBG=∠CBF+∠ABE=90°﹣∠CBE=90°﹣45°=45°，
∴∠CBE=∠CBG，
在△CBE和△CBG中，
∴△CBE≌△CBG（SAS），
∴CE=CG，
∴AE+CF=FG+CF=CG=CE，
设AE=x，则DE=12﹣x，CF=10﹣x，
∴CD=12﹣（10﹣x）=x+2，
在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，
即（x+2）2+（12﹣x）2=102，
整理得，x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6，
所以AE的长是4或6．
故选B．
【分析】过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，可得四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，根据旋转的性质可得AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，然后求出∠CBG=45°，从而得到∠CBE=∠CBG，再利用“边角边”证明△CBE和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CG，然后求出AE+CF=CE，设AE=x，表示出DE，再表示出CF、DC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AE的长度．
二、填空题
16．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是
【答案】AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC＝BD或AB⊥BC．
【分析】根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
17．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件 时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
【答案】AC＝BC
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】设AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形，∵∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C＝∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝90°，DF＝ AC＝CE，DE＝ BC＝CF，∴DF＝CE＝DE＝CF，∴四边形DECF是正方形．
【分析】由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．
18．如图，边长分别为3和5的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则ET的长为
【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为3，5，
∴GE=，DG=5﹣3=2，
∴GT=×2=，
∴FT=4，
故答案为：4．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
19．（2019八下·南县期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF= ，
∴CH=，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．
20．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是 ．
【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1﹣x，故两个小正方形的周长和=4x+4（1﹣x）=4cm．
故答案为4．
【分析】设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1﹣x，根据周长公式即可求得其周长和．
三、解答题
21．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．
（1）求证：AE=CG；
（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，
∵AD=CD，
∴∠DAE=∠DCG，
∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD．
在△AED和△CGD中，
∴△AED≌△CGD（AAS），
∴AE=CG．
（2）解法一：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCG．
在△AEB和△CGD中，
∴△AEB≌△CGD（SAS），
∴∠AEB=∠CGD．
∵∠CGD=∠EGF，
∴∠AEB=∠EGF，
∴BE∥DF．
解法二：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，
∵AD∥FC，
∴=．
∵CG=AE，
∴AG=CE．
又∵在正方形ABCD中，AD=CB，
∴=．
又∵∠GCF=∠ECB，
∴△CGF∽△CEB，
∴∠CGF=∠CEB，
∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△AEB≌△CGD，得出对应角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可证出平行线．
22．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG；
（1）求证：AE=CG；
（2）求证：BE∥DF．
【答案】证明：（1）∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG；
（2）在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE （SAS），
∴∠BEC=∠DEG，
∴∠BEC=∠DGE，
∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEG，得出∠BEC=∠DGE，即可证出平行线．
23．如图，点B、C、E是同一直线上的三点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．
（1）求证：BG=DE；
（2）已知小正方形CEFG的边长为1cm，连接CF，如果将正方形CEFG绕点C逆时针旋转，当A、E两点之间的距离最小时，求线段CF所扫过的面积．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE；（2）由题意可知，当C、E、A三点在同一直线上时，即点E在对角线AC上时，EA最短，此时CF旋转了135°，由勾股定理可得：CF=则CF扫过的面积为．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法可证明△BCG≌△DCE，由全等三角形的性质即可得到BG=DE；
（2）根据C、E、A三点在同一直线上时，EA最短，再根据勾股定理解答即可．
24．（2019九上·吉安期中）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
求证：AP=EF．
【答案】证明：如图，连接PC，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
又∵P为BD上任意一点，
∴PA、PC关于BD对称，
可以得出，PA=PC，所以EF=AP．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的关于对角线成轴对称，利用轴对称的性质可得出EF=AP．
25．已知，在正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某一标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．
【答案】解：如图，连接DF、CF均可得出与AE相等．
证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE，
∵F为中点，BE=BC，
∴AF=BE，
∴△ADF≌△BAF，
∴DF=AE．
同理可得CF=AE．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】根据题意可以知道连接CF、DF均可，可以根据三角形全等证明．
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一、单选题
1．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
2．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）下列说法错误的是（ ）.
A．有一个角为直角的菱形是正方形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
3．如图所示，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP，PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2020八下·吉林月考）若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4cm2 B．2cm2 C．cm2 D．2cm2
5．（2019八下·东台月考）如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
6．若一个正方形的面积为8，则这个正方形的边长为（ ）
A．4 B．2 C． D．8
7．正方形具有而菱形不一定具有的特征有（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线平分内角
8．（北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形第三节《正方形的性质与判定》同步练习）已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
9．（2017八下·临沭期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
10．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交BG于点T，交FG于点P，则ET的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
11．以面积为9cm2的正方形的对角线为边长的正方形面积为（ ）
A．18cm2 B．20cm2 C．24cm2 D．28cm2
12．若正方形的面积是4cm2，则它的对角线长是（ ）
A．4cm B．cm C．8cm D．2cm
13．如图，下列四组条件中，能判定 ABCD是正方形的有（ ）
①AB=BC，∠A=90°；②AC⊥BD，AC=BD；③OA=OD，BC=CD；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H，这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，DC＜AB，AB=AD=12，E是边AD上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是（ ）
A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或7
二、填空题
16．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是
17．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件 时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
18．如图，边长分别为3和5的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则ET的长为
19．（2019八下·南县期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
20．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是 ．
三、解答题
21．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．
（1）求证：AE=CG；
（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．
22．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG；
（1）求证：AE=CG；
（2）求证：BE∥DF．
23．如图，点B、C、E是同一直线上的三点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．
（1）求证：BG=DE；
（2）已知小正方形CEFG的边长为1cm，连接CF，如果将正方形CEFG绕点C逆时针旋转，当A、E两点之间的距离最小时，求线段CF所扫过的面积．
24．（2019九上·吉安期中）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
求证：AP=EF．
25．已知，在正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某一标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；
D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
故选A．
【分析】根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
2．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形，故A选项说法正确；有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该矩形为正方形，故本B项说法正确；对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形，故C选项说法正确；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故D选项说法错误．
【分析】正方形集矩形、菱形的性质于一身，是特殊的平行四边形．
3．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1-x，根据周长公式即可求得其周长和。
【解答】设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1-x，故两个小正方形的周长和=4x+4（1-x)=4cm，
故选B.
【点评】解答本题的根据是熟练掌握正方形的四条边相等。
4．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】根据正方形的性质可求得边长，从而根据面积公式即可求得其面积．
【解答】根据正方形的性质可得，正方形的边长为cm，则其面积为2cm2
故选B．
【点评】此题主要考查学生对正方形的性质的理解及运用．
5．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD=45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=BE，
∴PE+PF=BE+OE=OA，
∵AB=BC=4，
∴OA=AC=x4=2，
∴PE+PF=2，
故选A．
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE=BE，从而得到PE+PF=OA，然后根据正方形的性质解答即可．
6．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x，
根据题意得x2=8，
所以x=2．
故选B．
【分析】根据正方形的面积公式求解．
7．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直平分，正方形与菱形都具有，故本选项错误；
B、内角和为360°，正方形与菱形都具有，故本选项错误；
C、正方形对角线相等，菱形对角线不相等，故本选项正确；
D、对角线平分内角，正方形与菱形都具有，故本选项错误．
故选C．
【分析】根据正方形的性质与菱形的性质对各选项分析判断即可得解．
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=4cm，
故选B．
【分析】根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可．
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE=AB，
∴AE=AB=AD，
∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，
∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°，
∴∠AEB+∠AED=135°，
即∠BED=135°，
∴∠BEF=180°﹣135°=45°．
故选：B．
【分析】由正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED=135°，即可得出∠BEF．
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8﹣4=4，GE=8，
∴GT=×4=2．
∴ET=GE﹣GT=8﹣2=6．
故选：D．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的性质求出DG、GE，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求出GT，即可得出ET的值．
11．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为9cm2，
∴边长=3cm；
∴对角线的长==3（cm），
∴以3cm为边长的正方形面积=（3）2=18（cm2）；
故选：A．
【分析】由已知正方形的面积求出边长，再由勾股定理求出对角线长，即可求出新正方形的边长
12．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵正方形ABCD的面积是4cm2，
∴正方形ABCD的边长AB=BC=2cm，
∴BD=AC==2（cm）．
故选：D．
【分析】由正方形的性质和已知条件得出正方形的边长，由勾股定理求出对角线长即可．
13．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：①AB=BC，∠A=90°；
根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
②AC⊥BD，AC=BD；
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
③OA=OD，BC=CD；
由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA=OD，所以AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确；
④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA；
由∠BOC=90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD=∠CDB=∠DCA，所以OC=OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定 ABCD是正方形，故此选项正确．
故选D．
【分析】根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案．
14．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；正方形的判定与性质
【解析】【解答】无穷多个．如图正方形ABCD：AH＝DG＝CF＝BE，HD＝CG＝FB＝EA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH＝HG＝GF＝FE，另外，很容易得四个角均为90°，则四边形EHGF为正方形．
【分析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．
15．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，
∵∠A=∠D=90°，AB=AD，
∴四边形ABFD是正方形，
把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，
则AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，
∵∠CBE=45°，
∴∠CBG=∠CBF+∠FBG=∠CBF+∠ABE=90°﹣∠CBE=90°﹣45°=45°，
∴∠CBE=∠CBG，
在△CBE和△CBG中，
∴△CBE≌△CBG（SAS），
∴CE=CG，
∴AE+CF=FG+CF=CG=CE，
设AE=x，则DE=12﹣x，CF=10﹣x，
∴CD=12﹣（10﹣x）=x+2，
在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，
即（x+2）2+（12﹣x）2=102，
整理得，x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6，
所以AE的长是4或6．
故选B．
【分析】过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，可得四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，根据旋转的性质可得AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，然后求出∠CBG=45°，从而得到∠CBE=∠CBG，再利用“边角边”证明△CBE和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CG，然后求出AE+CF=CE，设AE=x，表示出DE，再表示出CF、DC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AE的长度．
16．【答案】AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC＝BD或AB⊥BC．
【分析】根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
17．【答案】AC＝BC
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】设AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形，∵∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C＝∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝90°，DF＝ AC＝CE，DE＝ BC＝CF，∴DF＝CE＝DE＝CF，∴四边形DECF是正方形．
【分析】由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．
18．【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为3，5，
∴GE=，DG=5﹣3=2，
∴GT=×2=，
∴FT=4，
故答案为：4．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
19．【答案】
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF= ，
∴CH=，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．
20．【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1﹣x，故两个小正方形的周长和=4x+4（1﹣x）=4cm．
故答案为4．
【分析】设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1﹣x，根据周长公式即可求得其周长和．
21．【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，
∵AD=CD，
∴∠DAE=∠DCG，
∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD．
在△AED和△CGD中，
∴△AED≌△CGD（AAS），
∴AE=CG．
（2）解法一：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCG．
在△AEB和△CGD中，
∴△AEB≌△CGD（SAS），
∴∠AEB=∠CGD．
∵∠CGD=∠EGF，
∴∠AEB=∠EGF，
∴BE∥DF．
解法二：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，
∵AD∥FC，
∴=．
∵CG=AE，
∴AG=CE．
又∵在正方形ABCD中，AD=CB，
∴=．
又∵∠GCF=∠ECB，
∴△CGF∽△CEB，
∴∠CGF=∠CEB，
∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△AEB≌△CGD，得出对应角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可证出平行线．
22．【答案】证明：（1）∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG；
（2）在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE （SAS），
∴∠BEC=∠DEG，
∴∠BEC=∠DGE，
∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEG，得出∠BEC=∠DGE，即可证出平行线．
23．【答案】解：（1）∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE；（2）由题意可知，当C、E、A三点在同一直线上时，即点E在对角线AC上时，EA最短，此时CF旋转了135°，由勾股定理可得：CF=则CF扫过的面积为．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法可证明△BCG≌△DCE，由全等三角形的性质即可得到BG=DE；
（2）根据C、E、A三点在同一直线上时，EA最短，再根据勾股定理解答即可．
24．【答案】证明：如图，连接PC，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
又∵P为BD上任意一点，
∴PA、PC关于BD对称，
可以得出，PA=PC，所以EF=AP．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的关于对角线成轴对称，利用轴对称的性质可得出EF=AP．
25．【答案】解：如图，连接DF、CF均可得出与AE相等．
证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE，
∵F为中点，BE=BC，
∴AF=BE，
∴△ADF≌△BAF，
∴DF=AE．
同理可得CF=AE．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】根据题意可以知道连接CF、DF均可，可以根据三角形全等证明．
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