2020年暑期衔接训练人教版数学八年级下册：第7讲 正方形
一、单选题
1．（2020八下·木兰期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】∵新四边形是正方形，且正方形各边相等，各角都是90°，
又∵新四边形的各边都平行于原四边形对角线且等于原四边形对角线的一半，
∴原四边形的对角线应相等且垂直，
∴满足条件的原四边形可能是正方形，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理与正方形的性质得出原四边形的对角线应相等且垂直，据此进行判断．
2．（2020八下·哈尔滨期中）下列说法不能判断是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A.对角线相互垂直的平行四边形可判断为菱形，又有对角线相等，可得正方形；
B.对角线相互垂直的矩形，可得正方形；
C.对角线相等的菱形，可得正方形；
D.对角线相互垂直平分，仅可推导出菱形，符合题意
故答案为：D
【分析】正方形是特殊的矩形和菱形，要判断是正方形，选项中必须要有1个矩形的特殊条件和1个菱形的特殊条件.
3．（2020八下·江苏月考）如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（ ）
A．∠DAB=90°且AD=BC B．AB=BC且AC=BD
C．∠DAB=90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO=BO=CO=DO
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A：该条件无法判定它是正方形；
B：该条件无法判定它是正方形；
C：该条件无法判定它是正方形；
D：由AC⊥BD可知该四边形对角线互相垂直，再根据AO=BO=CO=DO可知该四边形对角线相等且平分，所以由此可以判定它是正方形；
故答案为：D.
【分析】根据“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”对各选项逐一判断即可.
4．（2019八下·滦南期末）如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故答案为：B．
【分析】在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°，故能求出∠EBC．
5．（2019八下·汉阳期中）如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的大小等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：动手操作，可得剪切线与折痕所成的角是所得正方形的顶角的一半，即∠α=45°.
故答案为：B.
【分析】将剪裁的图形展开后会发现是一个正方形，而且剪切线与折痕所成的角是所得正方形的顶角的一半，根据正方形的每一条对角线平分一组对角即可得出剪口与折痕所成的角的大小 .
6．（2020八下·建湖月考）如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，
由辅助线得，∠CBF+∠BCF=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠BCF.
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF.
由辅助线得，l1到l2，l2到l3的距离分别是线段AE、CF的长，
∴在Rt△BFC中，BC2=BF2+CF2，
即：BC2=52+72=74.
即：正方形ABCD的面积是74.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，即线段AE、CF的长分别是l1到l2，l2到l3的距离，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF=AE，再根据勾股定理进而得出正方形ABCD的面积即可.
7．（2019八下·潮南期末）如图，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列条件①∠ABE＝∠CBF；②AE＝CF；③AB＝AF；④BE＝BF．可以判定四边形BEDF是菱形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于点O，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠BAC=∠ACB，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
①在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=BF，
∵AC⊥BD，
∴OE=OF，
所以四边形BEDF是菱形，故①选项符合题意；
②在正方形ABCD中，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，又EF⊥BD，BO=OD，
∴四边形BEDF是菱形，故②选项符合题意；
③AB=AF，不能推出四边形BEDF其它边的关系，故不能判定是菱形，本选项不符合题意；
④BE=BF，同①的后半部分证明，故④选项符合题意．
所以①②④共3个可以判定四边形BEDF是菱形．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的四条边都相等，对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角的性质，再加上各选项的条件，对各选项分析判断后即可得出符合题意选项的个数
8．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十八章平行四边形 复习专练）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝ EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2 ；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴DP＝ EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，
∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，∠BAP＝∠ECP，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝ BD＝ ＝2 时，EF的最小值等于2 ，
故⑤正确；
⑥∵GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，
∴∠BAP+∠APG＝90°，
∵∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故答案为：A．
【分析】由正方形ABCD，PF⊥CD，易得△PDF是等腰直角三角形，故斜边DP＝ EC；四边形PECF的周长等于CF与PF和的2倍，又PF=DF，即可得四边形PECF周长为CD长的2倍为8；P是动点，不能保证△APD一定是等腰三角形；连接PC后，易得AP=PC，即可得到在矩形PECF中，AP=PC=EF；EF的最小值即AP的最小值，垂线段最短即可得；延长AP交EF于H后，易得∠PFH+∠HPF=90°，从而AP⊥EF。
9．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4－2 D．3 －4
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】连接AC，交BD与点O
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=45°，∠AOE=90°
∵∠BAE=22.5°，
∴∠EAO=22.5°
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠AOE=90°，
∵AE=AE，
∴ΔAEF≌ΔAEO（AAS）
∴OE=EF
设EF=x，由勾股定理可知，BO=AO=，BE=BF=EF，
∵BO=BE+EO，∴，解得：x=，
即EF=
故答案为：C。
【分析】根据正方形的性质可得AC与BD互相垂直且平分，由∠BAC与∠BAE的度数可知∠EAO与∠BAE相等，再由∠EFA与∠AOE都是直角，加上AE这条公共边可知三角形AEF全等于三角形AEO，所以OE=EF，因为三角形BEF是等腰直角三角形，所以BF=EF，根据勾股定理可知BE=，BO=，设EF=x，则BO=BE+EO，即，解得x的值即为EF的值。
10．（2018八下·江海期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，
则S△BCE=S△BCP+S△BEP，
即BE h=BC PQ+BE PR，
∵BE=BC，
∴h=PQ+PR，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴h=4×=2．
故答案为：2．
【分析】连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可．
二、填空题
11．（2018八上·泰兴期中）已知正方形ABCD在直角坐标系中，A(2，2)，B(4，2)．那么C点的坐标为 ．
【答案】（4，4）或（4，0）
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】如图，
那么C点的坐标为（4，4）或（4，0）.
【分析】点C和点B的横坐标相等，且CB=AB，且点C可能在点B上方，也可能在点B下方.
12．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+22，AC=；
同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，
∴第n个正方形的边长an=（）n-1.
故答案为：（）n-1.
【分析】根据正方形的性质得出∠B=90°，AB=BC=1，根据勾股定理求出AC，再次应用勾股定理可以求出AE，依次类推得到规律.
13．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件 时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
【答案】AC＝BC
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】设AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形，∵∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C＝∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝90°，DF＝ AC＝CE，DE＝ BC＝CF，∴DF＝CE＝DE＝CF，∴四边形DECF是正方形．
【分析】由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．
14．（2020八下·昌吉期中）如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝ .
【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接EO
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝8，
∴AO＝CO＝BO＝4，
∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO
∴
∴EF+EG＝4
故答案为4.
【分析】连接EO，可得S△ABO＝S△AEO+S△BEO，再把AO＝BO＝4代入可求EF+EG的值.
15．（2020八上·邳州期末）如图，正方形 的边长为4，则图中的阴影部分面积为 .
【答案】8
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：S阴影= ×S正方形ABCD= ×4×4=8.
故答案为：8.
【分析】根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解.
16．（2019八上·新昌期中）将2016个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：因为O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，所以阴影部分的面积是正方形面积的 ，即是 ，2016个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 .
故答案为：.
【分析】根据题意可得及正方形的性质可知，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n 1阴影部分的和，进而就可算出答案.
17．（2017八下·顺义期末）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE=40°，则∠DFC的度数为
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠CBF，
∴△BAF≌△CBF，∴∠AFB=∠CFB，
∵∠AFB=∠CFB=70°，∴∠CFB=180°-70°-70°=40°
∵∠EDC=∠EFC，∴C、E、D、F四点共圆，
∴∠CFE=∠CDE=40°，∴∠DEC=70°，
∴∠DFC=110°．
故答案为：110°．
【分析】】利用ABCD是正方形得出角之间相等的关系，由已知条件得出∠DFC．
三、解答题
18．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.
求证：AB＝EF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAC=90°
∵EF⊥AM，
∴∠EFA=90°
∵∠MAB+∠MAE=90°，∠EAM+∠E=90°，
∴∠MAB=∠E
∵AE=AM，
∴ΔABM≌ΔEFA
∴AB=EF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形是正方形，可知角B与角BAC都是直角，再由EF与AM垂直，可知角E与角EAF互余，由同角的余角相等可知角E与角BAM相等，与已知条件中的AE与AM相等，即可判断三角形AEF与三角形ABM全等，再由全等三角形的对应边相等，即可证得AB与EF相等。
19．（2018八上·芜湖期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G．连接AG．求证：△ABG≌△AFG．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AD=AB，
由折叠的性质可知：AD=AF，∠AFG=∠D=90°，
∴∠AFG=90°=∠B，AB=AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
即△ABG≌△AFG．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】依据正方形的性质和翻折的性质证明∠AFG=∠B=90°，AB=AF，最后，再根据HL推出全等即可.
20．（2017八下·东台期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：四边形CEDF是正方形．
【答案】证明：过D作DN⊥AB，
∵∠C=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形DFEC是矩形，
∵∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB，
∴DF=DN，DE=DN，
∴FD=ED，
∴四边形CEDF是正方形．
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】过D作DN⊥AB，首先根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DFEC是矩形，再根据角平分线的性质可得ED=DF，进而根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得结论．
四、综合题
21．（2020八下·建湖月考）△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.
（1）说明：OE＝OF
（2）当点O运动到AC中点处时，求证：四边形AECF是矩形；
（3）在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并加以证明.
【答案】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠FCD，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠OCF=∠FCD，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF=OC，
同理：OE=OC，
∴OE=OF.
（2）证明：当点O运动到AC中点处时，OA=OC，
由第（1）知，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠ACD，∠ACE=∠ACB，
∴∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，
即：∠FCE=90°，
∴四边形AECF是矩形.
（3）解：当点O运动到AC中点处时，且△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
理由如下：
∵由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.
∵MN∥BC，
∴当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形.
∴此时四边形AECF是正方形.
∴△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】（1）由平行线的性质及角平分线，推出∠OFC=∠OCF，进而得出OF=OC，同理：OE=OC，得证；
（2）当点O运动到AC中点处时，OA=OC，由第（1）知，OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证出四边形AECF是平行四边形. 由CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，得出∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，即∠FCE=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证出结论；
（3）由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形. 由题设MN∥BC，当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形. 四边形AECF既是矩形，又是菱形，故是正方形.
22．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P，Q分别是AB， AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形.
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
又∵BP=AQ，∴△BPD≌△AQD，
∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ，
∵∠BDP+∠ADP=90°，
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
由(1)知△ABD为等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠BAC=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP= AB，∴四边形APDQ为正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．
23．（正方形的性质+++++++++++2 ）如图，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE= ∠BGE；
（2）若AB=4，AE=1，求S△BEG．
【答案】（1）解：作GM⊥BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠A=∠ABC=∠BMG=90°，AD∥BG，
∵∠AEB=∠BEG，∠AEB=∠EBG，
∴∠BEG=∠EBG，
∴GE=GB，∵GM⊥EB，
∴∠MGB=∠MBE，BM=EM，
∵∠ABE+∠EBG=90°，∠EBG+∠MGB=90°，
∴∠ABE=∠MGB= ∠EGB
（2）解：在Rt△ABE中，BE= = = ，∴BM= ，
∵∠ABE=∠MGB，∠A=∠GMB=90°，
∴△ABE∽△MGB，
∴ = ，
∴ = ，
∴GM=2 ，
∴S△EBG= × ×2 =17．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）作GM⊥BE于M．首先证明EG=GB，∠MGB=∠MGE，再证明∠ABE=∠MGB即可．（2）求出BE、GM即可解决问题．
24．（2017八下·丰台期中）如图，点O为正方形ABCD的对角线交点，将线段OE绕点O逆时针方向旋转 ，点E的对应点为点F，连接EF，AE，BF．
（1）请依题意补全图形；
（2）根据补全的图形，猜想并证明直线AE与BF的位置关系．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：延长 交OF于点H，交BF于点G∵O为正方形ABCD对角线的交点，∴OA=OB，∠AOB＝90°.∵OE绕点O逆时针旋转90°得到OF，∴OE=OF，∠AOB＝∠EOF＝90°.∴∠EOA＝∠ .
∴△ ≌△FOB，∴∠ ＝∠OFB.
∵∠OEA+∠OHA=90°，∠FHE=∠OHA，∴∠ +∠ =90°，∴ ⊥BF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】根据题意补全图形；根据正方形的性质和旋转的性质，由ASA得到△EOA ≌△FOB，得到对应角相等，再由角的和差得到AE⊥BF.
1 / 12020年暑期衔接训练人教版数学八年级下册：第7讲 正方形
一、单选题
1．（2020八下·木兰期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．（2020八下·哈尔滨期中）下列说法不能判断是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形
3．（2020八下·江苏月考）如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（ ）
A．∠DAB=90°且AD=BC B．AB=BC且AC=BD
C．∠DAB=90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO=BO=CO=DO
4．（2019八下·滦南期末）如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019八下·汉阳期中）如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的大小等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（2020八下·建湖月考）如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
7．（2019八下·潮南期末）如图，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列条件①∠ABE＝∠CBF；②AE＝CF；③AB＝AF；④BE＝BF．可以判定四边形BEDF是菱形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十八章平行四边形 复习专练）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝ EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2 ；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥
9．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4－2 D．3 －4
10．（2018八下·江海期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．
二、填空题
11．（2018八上·泰兴期中）已知正方形ABCD在直角坐标系中，A(2，2)，B(4，2)．那么C点的坐标为 ．
12．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为
13．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件 时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
14．（2020八下·昌吉期中）如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝ .
15．（2020八上·邳州期末）如图，正方形 的边长为4，则图中的阴影部分面积为 .
16．（2019八上·新昌期中）将2016个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于
17．（2017八下·顺义期末）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE=40°，则∠DFC的度数为
三、解答题
18．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.
求证：AB＝EF.
19．（2018八上·芜湖期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G．连接AG．求证：△ABG≌△AFG．
20．（2017八下·东台期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：四边形CEDF是正方形．
四、综合题
21．（2020八下·建湖月考）△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.
（1）说明：OE＝OF
（2）当点O运动到AC中点处时，求证：四边形AECF是矩形；
（3）在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并加以证明.
22．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P，Q分别是AB， AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形.
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由.
23．（正方形的性质+++++++++++2 ）如图，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE= ∠BGE；
（2）若AB=4，AE=1，求S△BEG．
24．（2017八下·丰台期中）如图，点O为正方形ABCD的对角线交点，将线段OE绕点O逆时针方向旋转 ，点E的对应点为点F，连接EF，AE，BF．
（1）请依题意补全图形；
（2）根据补全的图形，猜想并证明直线AE与BF的位置关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】∵新四边形是正方形，且正方形各边相等，各角都是90°，
又∵新四边形的各边都平行于原四边形对角线且等于原四边形对角线的一半，
∴原四边形的对角线应相等且垂直，
∴满足条件的原四边形可能是正方形，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理与正方形的性质得出原四边形的对角线应相等且垂直，据此进行判断．
2．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A.对角线相互垂直的平行四边形可判断为菱形，又有对角线相等，可得正方形；
B.对角线相互垂直的矩形，可得正方形；
C.对角线相等的菱形，可得正方形；
D.对角线相互垂直平分，仅可推导出菱形，符合题意
故答案为：D
【分析】正方形是特殊的矩形和菱形，要判断是正方形，选项中必须要有1个矩形的特殊条件和1个菱形的特殊条件.
3．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A：该条件无法判定它是正方形；
B：该条件无法判定它是正方形；
C：该条件无法判定它是正方形；
D：由AC⊥BD可知该四边形对角线互相垂直，再根据AO=BO=CO=DO可知该四边形对角线相等且平分，所以由此可以判定它是正方形；
故答案为：D.
【分析】根据“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”对各选项逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故答案为：B．
【分析】在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°，故能求出∠EBC．
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：动手操作，可得剪切线与折痕所成的角是所得正方形的顶角的一半，即∠α=45°.
故答案为：B.
【分析】将剪裁的图形展开后会发现是一个正方形，而且剪切线与折痕所成的角是所得正方形的顶角的一半，根据正方形的每一条对角线平分一组对角即可得出剪口与折痕所成的角的大小 .
6．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，
由辅助线得，∠CBF+∠BCF=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠BCF.
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF.
由辅助线得，l1到l2，l2到l3的距离分别是线段AE、CF的长，
∴在Rt△BFC中，BC2=BF2+CF2，
即：BC2=52+72=74.
即：正方形ABCD的面积是74.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，即线段AE、CF的长分别是l1到l2，l2到l3的距离，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF=AE，再根据勾股定理进而得出正方形ABCD的面积即可.
7．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于点O，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠BAC=∠ACB，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
①在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=BF，
∵AC⊥BD，
∴OE=OF，
所以四边形BEDF是菱形，故①选项符合题意；
②在正方形ABCD中，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，又EF⊥BD，BO=OD，
∴四边形BEDF是菱形，故②选项符合题意；
③AB=AF，不能推出四边形BEDF其它边的关系，故不能判定是菱形，本选项不符合题意；
④BE=BF，同①的后半部分证明，故④选项符合题意．
所以①②④共3个可以判定四边形BEDF是菱形．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的四条边都相等，对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角的性质，再加上各选项的条件，对各选项分析判断后即可得出符合题意选项的个数
8．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴DP＝ EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，
∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，∠BAP＝∠ECP，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝ BD＝ ＝2 时，EF的最小值等于2 ，
故⑤正确；
⑥∵GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，
∴∠BAP+∠APG＝90°，
∵∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故答案为：A．
【分析】由正方形ABCD，PF⊥CD，易得△PDF是等腰直角三角形，故斜边DP＝ EC；四边形PECF的周长等于CF与PF和的2倍，又PF=DF，即可得四边形PECF周长为CD长的2倍为8；P是动点，不能保证△APD一定是等腰三角形；连接PC后，易得AP=PC，即可得到在矩形PECF中，AP=PC=EF；EF的最小值即AP的最小值，垂线段最短即可得；延长AP交EF于H后，易得∠PFH+∠HPF=90°，从而AP⊥EF。
9．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】连接AC，交BD与点O
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=45°，∠AOE=90°
∵∠BAE=22.5°，
∴∠EAO=22.5°
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠AOE=90°，
∵AE=AE，
∴ΔAEF≌ΔAEO（AAS）
∴OE=EF
设EF=x，由勾股定理可知，BO=AO=，BE=BF=EF，
∵BO=BE+EO，∴，解得：x=，
即EF=
故答案为：C。
【分析】根据正方形的性质可得AC与BD互相垂直且平分，由∠BAC与∠BAE的度数可知∠EAO与∠BAE相等，再由∠EFA与∠AOE都是直角，加上AE这条公共边可知三角形AEF全等于三角形AEO，所以OE=EF，因为三角形BEF是等腰直角三角形，所以BF=EF，根据勾股定理可知BE=，BO=，设EF=x，则BO=BE+EO，即，解得x的值即为EF的值。
10．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，
则S△BCE=S△BCP+S△BEP，
即BE h=BC PQ+BE PR，
∵BE=BC，
∴h=PQ+PR，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴h=4×=2．
故答案为：2．
【分析】连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可．
11．【答案】（4，4）或（4，0）
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】如图，
那么C点的坐标为（4，4）或（4，0）.
【分析】点C和点B的横坐标相等，且CB=AB，且点C可能在点B上方，也可能在点B下方.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+22，AC=；
同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，
∴第n个正方形的边长an=（）n-1.
故答案为：（）n-1.
【分析】根据正方形的性质得出∠B=90°，AB=BC=1，根据勾股定理求出AC，再次应用勾股定理可以求出AE，依次类推得到规律.
13．【答案】AC＝BC
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】设AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形，∵∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C＝∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝90°，DF＝ AC＝CE，DE＝ BC＝CF，∴DF＝CE＝DE＝CF，∴四边形DECF是正方形．
【分析】由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．
14．【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接EO
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝8，
∴AO＝CO＝BO＝4，
∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO
∴
∴EF+EG＝4
故答案为4.
【分析】连接EO，可得S△ABO＝S△AEO+S△BEO，再把AO＝BO＝4代入可求EF+EG的值.
15．【答案】8
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：S阴影= ×S正方形ABCD= ×4×4=8.
故答案为：8.
【分析】根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：因为O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，所以阴影部分的面积是正方形面积的 ，即是 ，2016个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 .
故答案为：.
【分析】根据题意可得及正方形的性质可知，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n 1阴影部分的和，进而就可算出答案.
17．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠CBF，
∴△BAF≌△CBF，∴∠AFB=∠CFB，
∵∠AFB=∠CFB=70°，∴∠CFB=180°-70°-70°=40°
∵∠EDC=∠EFC，∴C、E、D、F四点共圆，
∴∠CFE=∠CDE=40°，∴∠DEC=70°，
∴∠DFC=110°．
故答案为：110°．
【分析】】利用ABCD是正方形得出角之间相等的关系，由已知条件得出∠DFC．
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAC=90°
∵EF⊥AM，
∴∠EFA=90°
∵∠MAB+∠MAE=90°，∠EAM+∠E=90°，
∴∠MAB=∠E
∵AE=AM，
∴ΔABM≌ΔEFA
∴AB=EF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形是正方形，可知角B与角BAC都是直角，再由EF与AM垂直，可知角E与角EAF互余，由同角的余角相等可知角E与角BAM相等，与已知条件中的AE与AM相等，即可判断三角形AEF与三角形ABM全等，再由全等三角形的对应边相等，即可证得AB与EF相等。
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AD=AB，
由折叠的性质可知：AD=AF，∠AFG=∠D=90°，
∴∠AFG=90°=∠B，AB=AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
即△ABG≌△AFG．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】依据正方形的性质和翻折的性质证明∠AFG=∠B=90°，AB=AF，最后，再根据HL推出全等即可.
20．【答案】证明：过D作DN⊥AB，
∵∠C=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形DFEC是矩形，
∵∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB，
∴DF=DN，DE=DN，
∴FD=ED，
∴四边形CEDF是正方形．
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】过D作DN⊥AB，首先根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DFEC是矩形，再根据角平分线的性质可得ED=DF，进而根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得结论．
21．【答案】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠FCD，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠OCF=∠FCD，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF=OC，
同理：OE=OC，
∴OE=OF.
（2）证明：当点O运动到AC中点处时，OA=OC，
由第（1）知，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠ACD，∠ACE=∠ACB，
∴∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，
即：∠FCE=90°，
∴四边形AECF是矩形.
（3）解：当点O运动到AC中点处时，且△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
理由如下：
∵由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.
∵MN∥BC，
∴当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形.
∴此时四边形AECF是正方形.
∴△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】（1）由平行线的性质及角平分线，推出∠OFC=∠OCF，进而得出OF=OC，同理：OE=OC，得证；
（2）当点O运动到AC中点处时，OA=OC，由第（1）知，OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证出四边形AECF是平行四边形. 由CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，得出∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，即∠FCE=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证出结论；
（3）由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形. 由题设MN∥BC，当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形. 四边形AECF既是矩形，又是菱形，故是正方形.
22．【答案】（1）证明：连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
又∵BP=AQ，∴△BPD≌△AQD，
∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ，
∵∠BDP+∠ADP=90°，
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
由(1)知△ABD为等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠BAC=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP= AB，∴四边形APDQ为正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．
23．【答案】（1）解：作GM⊥BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠A=∠ABC=∠BMG=90°，AD∥BG，
∵∠AEB=∠BEG，∠AEB=∠EBG，
∴∠BEG=∠EBG，
∴GE=GB，∵GM⊥EB，
∴∠MGB=∠MBE，BM=EM，
∵∠ABE+∠EBG=90°，∠EBG+∠MGB=90°，
∴∠ABE=∠MGB= ∠EGB
（2）解：在Rt△ABE中，BE= = = ，∴BM= ，
∵∠ABE=∠MGB，∠A=∠GMB=90°，
∴△ABE∽△MGB，
∴ = ，
∴ = ，
∴GM=2 ，
∴S△EBG= × ×2 =17．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）作GM⊥BE于M．首先证明EG=GB，∠MGB=∠MGE，再证明∠ABE=∠MGB即可．（2）求出BE、GM即可解决问题．
24．【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：延长 交OF于点H，交BF于点G∵O为正方形ABCD对角线的交点，∴OA=OB，∠AOB＝90°.∵OE绕点O逆时针旋转90°得到OF，∴OE=OF，∠AOB＝∠EOF＝90°.∴∠EOA＝∠ .
∴△ ≌△FOB，∴∠ ＝∠OFB.
∵∠OEA+∠OHA=90°，∠FHE=∠OHA，∴∠ +∠ =90°，∴ ⊥BF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】根据题意补全图形；根据正方形的性质和旋转的性质，由ASA得到△EOA ≌△FOB，得到对应角相等，再由角的和差得到AE⊥BF.
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