新人教版初中数学八年级下册 第十八章平行四边形 18.2.1矩形 同步测试
一、单选题
1．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（ ）.
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且垂直 D．对角线互相平分且相等
2．（2019九上·丹东期末）下列关于矩形的说法，正确的是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
3．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD=6，则AF等于（ ）
A． B． C． D．8
4．如图，矩形的长为6，宽为3，O为其对称中心，过点O任画一条直线，将矩 形分成两部分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 B．18 C．12 D．15
5．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
6．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
7．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD = 90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（ ）
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm
8．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）.
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
9．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（ ）.
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．AC＝BD且AC⊥BD D．AB＝AD
10．（北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形第二节《矩形的性质与判定》同步练习）矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）
A．16 B．22或16 C．26 D．22或26
11．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2017·东莞模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠AOB=60°，则OB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，则∠EAC为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
14．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．AB=BC B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD
15．（2019八下·盐都期中）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）如图所示，已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明平行四边形ABCD是矩形的有（填写序号） ．
17．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是S1 S2（填“＞”或“＜”或“＝”）
18．如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．E、F分别是AB、BC的中点．则E到DF的距离是 cm．
19．（2018九上·海原期中）如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是
20．（2019九上·山亭期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为
三、解答题
21．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，请计算耕地的面积．
22．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．
24．在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，求CE的长．
25．已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BOC=120°，AC=4cm，求矩形ABCD的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A选项错误；对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故B选项错误；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故C选项错误；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D选项正确；故选D．
【分析】根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，可选出答案．
2．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线)．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
【解答】A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】先图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解．
【解答】由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，
又因为AE=AB=CD=6，
所以∠EAD=30°，
则∠FAE=（90°-30°)=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在△AEF中，根据勾股定理，（2x)2=62+x2，
x2=12，x1=2，x2=-2（舍去)．
AF=2×2=4．
故选：A．
【点评】解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答．
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】矩形是中心对称图形．根据中心对称图形的性质易知阴影面积是矩形面积的一半．
【解答】因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半．
因为矩形的面积为18，所以其面积为9．
故选A．
【点评】此题主要考查学生对矩形的性质的运用
5．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形。
故选D.
【点评】本题考查的是矩形的判定定理，难度简单。
6．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形。若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
故选C．
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】本题运用矩形的性质通过周长的计算方法求出矩形的边长．
【解答】矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，
根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA=OD，∠DAO=45°，
所以∠BOA=∠BAO=45°，即BC=2AB，由矩形ABCD的周长为30cm得到，
30=2AB+2×2AB，
解得AB=5cm．故选A．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A中①AB∥DC；②AB＝DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC＝BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定；B中②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定；C中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB＝DC也不能判定是矩形；D中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC＝90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定；故选C．
【分析】根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
9．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．
【分析】矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；据此分析判断．
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
①当AE=3，DE=5时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=3，
即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+3+8+3=22；
②当AE=5，DE=3时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=5，
即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+5+8+5=26；
即矩形的周长是22或26，
故选D．
【分析】根据矩形性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，求出AE=AB，分为当AE=3或AE=5两种情况，求出即可．
11．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设DH的值是x，
∵AB=8，AD=6，且BH=DH，
那么CH=8﹣x，BH=x，
在Rt△BCH中，DH=，
∴x2=（8﹣x）2+36，
∴x=，
即DH=．
故选C．
【分析】设DH的值是x，那么CH=8﹣x，BH=x，在Rt△BCH中根据勾股定理即可列出关于x的方程，解方程就可以求出DH．
12．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=2，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后∠AOB=60°判断出△AOB是等边三角形，等边三角形的性质可得OB=AB=2．
13．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠DAE=3∠BAE，
∴∠BAE=∠BAD=×90°=22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠OBA=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠OAB=67.5°，
∴∠EAC=67.5°﹣22.5°=45°；
故选：B．
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，∠OAB=∠OBA，由已知条件得出∠BAE=22.5°，由角的互余关系求出∠OBA，得出∠OAB，即可求出∠EAC的度数．
14．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、添加AB=BC，可以证明 ABCD是菱形，故此选项错误；
B、平行四边形的对边本身就相等，故错误；
C、添加AC⊥BD，可以证明 ABCD是菱形，故此选项错误；
D、添加AC=BD，可以证明 ABCD是矩形，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据矩形的判定方法①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形，针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案．
15．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴OB=OD=OA=OC，
在△EBO与△FDO中，
∵，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABCD．
故选：B．
【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．
16．【答案】①④
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】能说明平行四边形ABCD是矩形的有：①对角线相等的平行四边形是矩形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．
17．【答案】=
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】设矩形ABCD的边长分别为a，b，S1的边长分别为x，y．
∵MK∥AD
∴，即，则x= a．
同理：y= b．
则S1=xy=ab．
同理S2=ab．
所以S1=S2．故答案为S1=S2．
故答案是=．
【分析】1.矩形的性质2.三角形的面积．
18．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4cm，AD=BC=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴AE=BE=AB=2cm，BF=CF=BC=4cm，
∴DF==4（cm），
∴△DEF的面积=矩形ABCD的面积﹣△BEF的面积﹣△CDF的面积﹣△ADE的面积
=8×4﹣×4×2﹣×4×4﹣×8×2
=12（cm2），
作EG⊥DF于G，如图所示：
则△DEF的面积=DF EG=12，
∴EG==（cm），
即E到DF的距离是cm，
故答案为：．
【分析】由矩形的性质得出CD=AB=4cm，AD=BC=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由已知条件求出AE、BE、BF、CF的长，根据勾股定理求出DF，求出△DEF的面积，作EG⊥DF于G，由三角形的面积求出EG即可．
19．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，
∴AO=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=2，
即AC=2AO=4，
故答案为：4．
【分析】根据矩形性质得出AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，推出AO=OB，得出等边三角形AOB，求出AO，即可得出答案．
20．【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
S△BCD=BC×CD=×2×3=3．
故答案为：3．
【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
21．【答案】解答：解：30×20－30×1－20×1＋1×1＝600－30－20＋1＝551（m2），所以耕地的面积为551 m2．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】要计算耕地的面积，只要求出小路的面积，再用矩形的面积减去小路的面积即可．
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=ED，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB=EC．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ABE≌△DCE（SAS），即可得出答案．
23．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=BD，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴BO=AB=3，
∴BD=2BO=6．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质得出AO=BO=BD，再证明△AOB为等边三角形，得出BO=AB，即可求出BD．
24．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，DC=AB=2，∠D=90°，
∵OE垂直平分AC，
∴EC=AE，
设CE=x，则AE=x，DE=4﹣x，
在△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2=EC2，
即（4﹣x）2+22=x2，
解得：x=，
∴CE的长是．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质得出AD=BC=4，DC=AB=2，∠D=90°，由线段垂直平分线的性质得出EC=AE，设CE=x，则AE=x，DE=4﹣x，在△DEC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
25．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD=BC，∠ABC=90°，OA=OB=AC=2cm，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2cm，
∴AD=BC===2（cm），
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=4+4（cm）．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质得出AB=DC，AD=BC，∠ABC=90°，OA=OB=AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=2cm，再由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的周长．
1 / 1新人教版初中数学八年级下册 第十八章平行四边形 18.2.1矩形 同步测试
一、单选题
1．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（ ）.
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且垂直 D．对角线互相平分且相等
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A选项错误；对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故B选项错误；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故C选项错误；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D选项正确；故选D．
【分析】根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，可选出答案．
2．（2019九上·丹东期末）下列关于矩形的说法，正确的是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线)．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
【解答】A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
3．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD=6，则AF等于（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】先图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解．
【解答】由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，
又因为AE=AB=CD=6，
所以∠EAD=30°，
则∠FAE=（90°-30°)=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在△AEF中，根据勾股定理，（2x)2=62+x2，
x2=12，x1=2，x2=-2（舍去)．
AF=2×2=4．
故选：A．
【点评】解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答．
4．如图，矩形的长为6，宽为3，O为其对称中心，过点O任画一条直线，将矩 形分成两部分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 B．18 C．12 D．15
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】矩形是中心对称图形．根据中心对称图形的性质易知阴影面积是矩形面积的一半．
【解答】因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半．
因为矩形的面积为18，所以其面积为9．
故选A．
【点评】此题主要考查学生对矩形的性质的运用
5．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形。
故选D.
【点评】本题考查的是矩形的判定定理，难度简单。
6．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形。若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
故选C．
7．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD = 90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（ ）
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】本题运用矩形的性质通过周长的计算方法求出矩形的边长．
【解答】矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，
根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA=OD，∠DAO=45°，
所以∠BOA=∠BAO=45°，即BC=2AB，由矩形ABCD的周长为30cm得到，
30=2AB+2×2AB，
解得AB=5cm．故选A．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
8．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）.
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A中①AB∥DC；②AB＝DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC＝BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定；B中②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定；C中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB＝DC也不能判定是矩形；D中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC＝90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定；故选C．
【分析】根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
9．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（ ）.
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．AC＝BD且AC⊥BD D．AB＝AD
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．
【分析】矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；据此分析判断．
10．（北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形第二节《矩形的性质与判定》同步练习）矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）
A．16 B．22或16 C．26 D．22或26
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
①当AE=3，DE=5时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=3，
即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+3+8+3=22；
②当AE=5，DE=3时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=5，
即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+5+8+5=26；
即矩形的周长是22或26，
故选D．
【分析】根据矩形性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，求出AE=AB，分为当AE=3或AE=5两种情况，求出即可．
11．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设DH的值是x，
∵AB=8，AD=6，且BH=DH，
那么CH=8﹣x，BH=x，
在Rt△BCH中，DH=，
∴x2=（8﹣x）2+36，
∴x=，
即DH=．
故选C．
【分析】设DH的值是x，那么CH=8﹣x，BH=x，在Rt△BCH中根据勾股定理即可列出关于x的方程，解方程就可以求出DH．
12．（2017·东莞模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠AOB=60°，则OB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=2，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后∠AOB=60°判断出△AOB是等边三角形，等边三角形的性质可得OB=AB=2．
13．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，则∠EAC为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠DAE=3∠BAE，
∴∠BAE=∠BAD=×90°=22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠OBA=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠OAB=67.5°，
∴∠EAC=67.5°﹣22.5°=45°；
故选：B．
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，∠OAB=∠OBA，由已知条件得出∠BAE=22.5°，由角的互余关系求出∠OBA，得出∠OAB，即可求出∠EAC的度数．
14．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．AB=BC B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、添加AB=BC，可以证明 ABCD是菱形，故此选项错误；
B、平行四边形的对边本身就相等，故错误；
C、添加AC⊥BD，可以证明 ABCD是菱形，故此选项错误；
D、添加AC=BD，可以证明 ABCD是矩形，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据矩形的判定方法①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形，针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案．
15．（2019八下·盐都期中）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴OB=OD=OA=OC，
在△EBO与△FDO中，
∵，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABCD．
故选：B．
【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．
二、填空题
16．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）如图所示，已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明平行四边形ABCD是矩形的有（填写序号） ．
【答案】①④
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】能说明平行四边形ABCD是矩形的有：①对角线相等的平行四边形是矩形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．
17．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是S1 S2（填“＞”或“＜”或“＝”）
【答案】=
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】设矩形ABCD的边长分别为a，b，S1的边长分别为x，y．
∵MK∥AD
∴，即，则x= a．
同理：y= b．
则S1=xy=ab．
同理S2=ab．
所以S1=S2．故答案为S1=S2．
故答案是=．
【分析】1.矩形的性质2.三角形的面积．
18．如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．E、F分别是AB、BC的中点．则E到DF的距离是 cm．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4cm，AD=BC=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴AE=BE=AB=2cm，BF=CF=BC=4cm，
∴DF==4（cm），
∴△DEF的面积=矩形ABCD的面积﹣△BEF的面积﹣△CDF的面积﹣△ADE的面积
=8×4﹣×4×2﹣×4×4﹣×8×2
=12（cm2），
作EG⊥DF于G，如图所示：
则△DEF的面积=DF EG=12，
∴EG==（cm），
即E到DF的距离是cm，
故答案为：．
【分析】由矩形的性质得出CD=AB=4cm，AD=BC=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由已知条件求出AE、BE、BF、CF的长，根据勾股定理求出DF，求出△DEF的面积，作EG⊥DF于G，由三角形的面积求出EG即可．
19．（2018九上·海原期中）如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，
∴AO=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=2，
即AC=2AO=4，
故答案为：4．
【分析】根据矩形性质得出AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，推出AO=OB，得出等边三角形AOB，求出AO，即可得出答案．
20．（2019九上·山亭期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为
【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
S△BCD=BC×CD=×2×3=3．
故答案为：3．
【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
三、解答题
21．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，请计算耕地的面积．
【答案】解答：解：30×20－30×1－20×1＋1×1＝600－30－20＋1＝551（m2），所以耕地的面积为551 m2．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】要计算耕地的面积，只要求出小路的面积，再用矩形的面积减去小路的面积即可．
22．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=ED，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB=EC．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ABE≌△DCE（SAS），即可得出答案．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=BD，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴BO=AB=3，
∴BD=2BO=6．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质得出AO=BO=BD，再证明△AOB为等边三角形，得出BO=AB，即可求出BD．
24．在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，求CE的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，DC=AB=2，∠D=90°，
∵OE垂直平分AC，
∴EC=AE，
设CE=x，则AE=x，DE=4﹣x，
在△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2=EC2，
即（4﹣x）2+22=x2，
解得：x=，
∴CE的长是．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质得出AD=BC=4，DC=AB=2，∠D=90°，由线段垂直平分线的性质得出EC=AE，设CE=x，则AE=x，DE=4﹣x，在△DEC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
25．已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BOC=120°，AC=4cm，求矩形ABCD的周长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD=BC，∠ABC=90°，OA=OB=AC=2cm，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2cm，
∴AD=BC===2（cm），
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=4+4（cm）．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质得出AB=DC，AD=BC，∠ABC=90°，OA=OB=AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=2cm，再由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的周长．
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