初中数学苏科版八年级下册 9.4 菱形的判定及性质 同步训练
一、单选题
1．下列命题中，真命题是（ ）.
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形
D．菱形的对角线相等
2．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则菱形的高为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）.
A．4 B．6 C．8 D．12
4．（2020八下·上饶月考）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．（2016八上·临河期中）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A．CF＞GB B．GB=CF C．CF＜GB D．无法确定
7．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（ ）
A．108° B．72° C．90° D．100°
9．（2019八下·西湖期末）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
10．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：
①OG= AB；②图中与△EGD全等的三角形共有5个；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边形ODGF=S△ABF，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．②③④
二、填空题
11．（2019八下·鼓楼期末）菱形两条对角线长分别是4和6，则这个菱形的面积为 ．
12．（2017八下·灌云期末）如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为 ．
13．（2020八下·江都期中）如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为 .
14．（2019八下·施秉月考）如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A=120°，则EF= cm.
15．（2019八下·封开期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF的面积为 。
16．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．
17．（2017八下·邵阳期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为 ．
18．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．求证：四边形BCFE是菱形.
20．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB=4，AC=5，求菱形ADCF的面积．
21．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD和CE，BD与CE交于点F．
（1）∠AEC的度数；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
22．（2020八下·姜堰期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ.
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，BE=10，求PQ的长.
23．（2020八下·福绵期末）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DA，DC延长线上，且AE＝CF，连接BE，BF，过点E作EG∥BF，过点F作FG∥BE，EG，FG交于点G.
（1）求证：四边形BEGF是菱形；
（2）若AD＝3AE＝6，求四边形BEGF的周长.
24．（2020八下·西安期末）如图，在 ABCD中，BC=2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，∠ABC=60°，求OC的长.
25．（2019八下·港南期中）在Rt△ABC中，∠BAC= ,D是BC的中点，E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积.
26．（2019八下·碑林期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、QE
（1）求证：四边形BPEQ是菱形：
（2）若AB＝6，F是AB中点，OF＝4，求菱形BPEQ的面积.
27．（2020八下·龙湖期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ∶ 分别与 轴、 轴交于点B、C，且与直线 ∶ 交于点A.
（1）请写出A( ， )，B( ， )，C ( ， ).
（2）若D是线段OA上的一点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式.
（3）在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标.
28．（2020八下·淮滨期中）如图1，有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.
（1）求证：四边形CMPN是菱形；
（2）当P，A重合时，如图2，求MN的长；
（3）设△PQM的面积为S，求S的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A选项错误；有一条对角线平分对角的四边形不一定是菱形，故B选项错误；菱形的对角线是互相垂直平分的四边形，故C选项正确；菱形的对角线不一定相等，故D选项错误．
【分析】本题考查了菱形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握菱形有关判定与性
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意知AC=6，BD=8，则菱形的面积S=×6×8=24，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，AO=3，BO=4，
∴AB==5，
∴菱形的高h==．
故选A．
【分析】根据对角线的长度即可计算菱形的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得△AOB为直角三角形，根据AO，BO可以求得AB的值，根据菱形的面积和边长即可解题．
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD＝DC，四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8．
【分析】在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，利用平分线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB＝CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．
4．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，
∵在△AFO和△CEO中，∠AFO=∠CEO，∠ FOA=∠EOC，AO=CO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出AO=CO，∠AFO=∠CEO，从而证得△AFO≌△CEO，得出FO=EO，判定四边形AECF平行四边形，再由EF⊥AC，即可判定平行四边形AECF是菱形.
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO
∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA
∴四边形COMP为菱形，PM=4
PM∥CO ∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，
又∵PD⊥OA
∴PD= PC=2．
令解：作CN⊥OA．
∴CN= OC=2，
又∵∠CNO=∠PDO，
∴CN∥PD，
∵PC∥OD，
∴四边形CNDP是长方形，
∴PD=CN=2
故选：C．
【分析】过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD．
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E ，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．
故答案为：B．
【分析】过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，先证△ACF≌△AHF，△ACE≌△AHE，然后可判断四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，即可证CF=GB。
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接DE、BD，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质），
在Rt△ADE中，DE=．
故选：B．
【分析】由菱形的性质，找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，再由勾股定理可求出DE．
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PA，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，
∴PA=PC，
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，
∴PA=PD，
∴PD=PC，
∴∠PCD=∠CDP=36°，
∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；
故选：B．
【分析】由菱形的性质得出∠ADP=∠CDP=∠ADC，PA=PC，再由线段垂直平分线的性质得出PA=PD，证出PD=PC，得出∠PCD=∠CDP=36°，由外角性质即可求出∠CPB．
9．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】如图，连接FC，
①∵F为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴FC=FA，E点在AC的垂直平分线上，
又∵△EAC为等边三角形，
∴AE=EC，F点在AC的垂直平分线上，
∴EF为AC的垂直平分线，
则EF⊥AC，符合题意；
②∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+30°=90°，即DA⊥AC，
又∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∵F为AB的中点，△ABD为等边三角形，
∴DF⊥AB，
∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=60°+30°=90°，即AE⊥AB，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形（两边分别平行的四边形是平行四边形）；
在△AFD中，由于∠DFA=90°，
∴AD>FD，
∴四边形ADFE不是菱形 ，不符合题意；
③∵△ABD为等边三角形，
∴AD=AB，
∵AF=BF，
∴AF=AB=AD，
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴FG=AG，
∴AG=AF=×AD=AD，符合题意；
④∵ AF=BF，
∠DFB=∠EAF=90°（已证），
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴AD=EF，
又∵AD=AB，
∴EF=AB，
∴△DBF≌△EFA（HL），符合题意．
故答案为：C.
【分析】 ① 因为FA=FC，AE=EC，得E、F都在AC的垂直平分线上，根据两点决定一条直线，则EF为AC的垂直平分线，得 EF⊥AC；
② 由EF⊥AC，再求得∠DAC=90°，根据同垂直一条直线的两条直线平行，得AD平行EF，同理证得DF平行AE，所以根据两组对边分别平行是平行四边形，证得四边形ADFE为平行四边形，又因为三角形AFD为直角三角形，所以AD>AF， 所以确定四边形ADFE不是菱形；
③ 由F是AB的中点，平行四边形对角线互相平分，得G为AF的中点，则AB等于4AF，则AD也等于4AF；
④ 已证∠DFB=∠EAF=90°， FA=FB，由平行四边形对边相等得AD=EF，因为AD=AB，得EF=BD，根据斜边直角边定理证得△DBF≌△EFA。
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG= CD= AB，
∴①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，
④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，
∴②不正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG= AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积= △ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；
③正确；
正确的是①③④．
故选B．
【分析】①正确．只要证明OG是△ACD的中位线即可；②错误．可以证明△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG；③正确．由OB=OD，AG=DG，推出OG是△ABD的中位线，推出OG∥AB，OG= AB，推出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，推出△GOD的面积= △ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，推出△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，因为△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，即可推出S四边形ODGF=S△ABF；④正确．根据邻边相等的四边形是菱形即可证明．
11．【答案】12
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】解：由题意，知：S菱形=×4×6=12．
故答案为12．
【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果．
12．【答案】8
【知识点】菱形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意得，四边形 为菱形
在 中，
.
13．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AB＝2AE，BC＝2CF，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB＝2 ，
同理：BC＝2 ，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝2 ，
∴S菱形ABCD＝AD BE＝6 .
故答案为：6 .
【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案.
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接AO交EF于点P，
由菱形和折叠对称的性质，知四边形AEOF是菱形，且AP=OP.
∵点A恰好落在菱形的对称中心O处，∴AE=BE.
∵AB=2，∠A=120°，
∴Rt△AEF中，AE=1，∠AEP=30°.
∴EP＝ .
∴EF＝ .
故答案为： .
【分析】如图，连接AO交EF于点P，由菱形和折叠对称的性质，知四边形AEOF是菱形，且AP=OP，AE=BE，进而根据等边对等角及三角形的内角和得出∠AEP=30°，根据含30°三角形的边之间的关系即可算出EP的长，从而根据菱形的性质得出EF的长.
15．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AE，∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∵BF为∠ABE的平分线，∴∠FBE=∠AFB，∴四边形ABEF为平行四边形
∵AB=AF，
∴根据勾股定理，即可得到AE=2=8.
∴四边形ABEF的面积=×AE×BF=24.
【分析】根据题意证明四边形ABEF为菱形，利用勾股定理计算出AE的长度，根据菱形的面积公式进行计算即可。
16．【答案】50
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO=∠CDO=50°．
故答案为50．
【分析】根据两直线平行，内错角相等∠CDO=∠AED，再根据菱形的性质CD=CB，∠BCO=∠DCO，所以△BCO与△DCO全等，根据全等三角形对应角相等即可求出∠CBO的度数．
17．【答案】20
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF= AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即（13-x）2+62=（2x）2，
解得：x=5，
故四边形BDFG的周长=4GF=20．
18．【答案】①②③
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AB=BC=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：
∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6﹣2=4，
∵EG⊥AB，
∴EG=2，
∴点E到AB的距离是2，
故②正确；
∵BE=4，EC=2，
∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1，
∴S△ABF：S△FBE=3：2，
∴△ABF的面积为=，
故④错误；
∵，
∴，
∵，
∴FM=，
∴DM=，
∴CM=DC﹣DM=6﹣，
∴tan∠DCF=
故③正确；
故答案为：①②③
【分析】利用SAS证明△ABF与△CBF全等，得出①正确，根据含30°角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是2，得出②正确，同时得出；△ABF的面积为得出④错误，得出tan∠DCF= ，得出③正确．
19．【答案】解答：证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE．∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝2DE，BC＝2DE，∴BE＝BC，∴平行四边形BCFE是菱形．
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又邻边EF＝BE，则四边形BCFE是菱形．
20．【答案】（1）证明：∵AF∥BD，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD中点，∴AE=ED，在△BDE和△FAE中，，∴△AFE≌△DBE．（2）证明：连接CF．∵△AFE≌△DBE，∴AF=BD∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=DC=DB，∴AF∥CD，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵DA=CD，∴四边形ADCF是菱形．（3）∵S△ABC=×AB×AC=10，∵四边形ADCF是菱形，BD=DC，S△ABC=2S△ADC，∴S菱形ADCF=2S△ADC=10．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据AAS证明即可判定．
（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DA=DC即可．
（3）利用S菱形ADCF=2S△ADC=S△ABC即可求解．
21．【答案】（1）解：根据旋转可得∠CAE=100°，AC=AE，
∵∠AEC+∠ACE+∠CAE=180°，
∴∠AEC=（180°﹣100°）=40°；
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°，AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据旋转可得∠CAE=100°，AC=AE，再根据三角形内角和定理可得∠AEC的度数；
（2）首先证明∠BAE=∠BFE，∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC，再根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后再根据旋转可得AE=AB，依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．
22．【答案】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴PB=PE，OB=OE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP(ASA)，
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵PB=PE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴AE 8
设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+(8﹣y)2=y2，
解得 ，
∴BP=PE ，
∵四边形BPEQ是菱形，
∴ ，
在Rt△EOP中， ，
∴ .
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得PB=PE，OB=OE，由“ASA”可证△BOQ≌△EOP，可得PE=QB，利用菱形的判定可证四边形BPEQ是菱形；
（2）由勾股定理可求AE=8，利用勾股定理列出方程，可求PE的长，由菱形的性质和勾股定理可求PQ的长.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAB＝∠FCB＝90°，AB＝BC，
在△AEB与△CFB中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF，
∵EG∥BF，FG∥BE，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∴四边形BEGF是菱形
（2）解：∵四边形BEGF是菱形，
∴EB＝BF＝FG＝GE，
∵AD＝3AE＝6，
∴AE＝2，AB＝AD＝6，
∴BE＝ ＝2 ，
∴四边形BEGF的周长为：4×2 ＝8 .
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由正方形的性质易得∠EAB＝∠FCB＝90°，AB＝BC，由SAS定理证得△ABE≌△CBF；再由EG∥BF，FG∥BE，易得四边形BEGF是平行四边形，由△ABE≌△CBF易得BE＝BF，利用邻边相等的平行四边形是菱形，证得结论；
（2）由菱形的性质和正方形的性质，利用勾股定理可得BE的长，从而得四边形BEGF的周长.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD.
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴BE BC，AF AD，
∴BE=AF，
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∴平行四边形ABEF是菱形.
（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，如图所示，
∵E是BC的中点，BC=2AB，
∴BE=CE=AB=4.
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，
∴BE=CE=AB=4，∠OBE=30°，∠BOE=90°，
∴OE=2，∠OEB=60°，
∴GE=1，OG GE ，
∴GC=GE+CE=5，
∴OC 2 .
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先证明四边形ABEF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）过点O作OG⊥BC于点G，分别在Rt△OEG，Rt△OCG中，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可.
25．【答案】（1）证明：证明：在Rt△ABC中，∠BAC= ，D是BC的中点，
∴AD= BC=DC=BD，
∵AF∥BC，
∴∠DBE=∠AFE，
又∵E是AD中点，
∴ED=EA，
又∠BED=∠FEA，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）证明：由（1）知AF=BD，即AF=DC，
∴AF∥DC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AD=DC，
∴四边形ADCF是菱形
（3）解：（解法一）连接DF，
∵AF DC，BD=CD，
∴AF BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∴ ；
（解法二）在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，
∴BC= ，
设BC边上的高为 ，
则 ，
∴ ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=DC=BD=
BC，由平行线的性质可得∠DBE=∠AFE， 结合题意用角角边可证
△BDE≌△FAE ；
（2）由（1）中的全等三角形知AF=BD，于是可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得 四边形ADCF是平行四边形， 再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得 四边形ADCF是菱形 ；
（3） 连接DF， 根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得 四边形ABDF是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得DF=AB，由菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得S菱形ADCF=
，把AC和DF的长代入计算即可求解。
26．【答案】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴PB＝PE，OB＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠PEO＝∠QBO，
在△BOQ与△EOP中， ，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE＝QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵AB＝6，F是AB的中点，
∴BF＝3.
∵四边形BPEQ是菱形，
∴OB＝OE.
又∵F是AB的中点，
∴OF是△BAE的中位线，
∴AE∥OF且OF＝ AE.
∴∠BFO＝∠A＝90°.
在Rt△FOB中，OB＝ ＝5，
∴BE＝10.
设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x.
在Rt△APB中，BP2＝AB2+AP2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴BQ＝ ，
∴菱形BPEQ的面积＝BQ×AB＝ ×6＝ .
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB＝PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE＝QB，证出四边形BPEQ是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是矩形即可得出结论；
（2）先证明OF为△BAE的中位线，然后依据三角形的中位线定理得出AE∥OF且OF＝ AE，根据勾股定理求得OB的长，则可得到BE的长，设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x，在Rt△APB中依据勾股定理可列出关于x的方程，求解得出x的值，然后依据菱形的面积公式进行计算即可.
27．【答案】（1）6；3；12；0；0；6
（2）解：设D
由(1)可知C(0，6)
∴OC=6
又∵
∴
解得：
∴D(4，2)
设直线CD的解析式为
∴
解得：
∴直线CD的解析式为
（3）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；三角形的面积；菱形的判定与性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵两个直线交于点A
∴-x+6=x，解得x=6，代入y=3，∴点A的坐标为（6,3）
令y=0，x=12，∴点B的坐标为（12,0）
令x=0，y=6，则点C的坐标为（0,6）
（2）解：设D（x，x）
由(1)可知C(0，6)
∴OC=6
又∵ 三角形COD的面积为12
∴ S△COD=×6×x=12
解得： x=4
∴D(4，2)
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0，k，b为常数）
∴
解得： k=-1，b=6
∴直线CD的解析式为 y=-x+6
（3）如图所示，分三种情况考虑:
（i）当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°,得到四边形OP1Q1C为正方形，此时QP1=OP1=OC=6，即Q1(6，6);
(ii)当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为(0，6)，得到Q2纵坐标为3,
把y=3代入直线OQ2解析式y=-x中，得:x=-3，此
时Q2(-3，3);
(ii)当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，此时Q3( ，- ),
综上，点Q的坐标是(6，6)或(-3，3)或( ，- ),
【分析】（1）根据函数解析式，计算得到三个点的坐标即可；
（2）设出点D的坐标，根据三角形的面积公式求出点D的坐标，继而根据设CD的解析式，求出其解析式即可；
（3）根据题意，由菱形的性质，分别计算得到点Q的坐标即可。
28．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC.
由折叠的性质可知∠MNC＝∠PNM，NC＝NP，
∴∠PMN＝∠PNM.
∴PM＝PN.
∵NC＝NP，
∴PM＝CN.
∵MP∥CN，
∴四边形CMPN是平行四边形.
∵NC＝NP，
∴四边形CMPN是菱形
（2）解：当点P与点A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8－x.
在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，
即42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3.
∴CN＝8－3＝5.
∵四边形CMPN是菱形，AC＝ ，
∴MN＝ .
（3）解：∵四边形CMPN是菱形，
∴S＝
∵S菱形CMPN＝CN·AB，
∴当点M与点D重合时，如图，此时CN最短，菱形CMPN的面积最小，
∵ ，四边形CMPN是菱形，
∴四边形CMPN是正方形，
则S最小＝ ；
当点P与点A重合时，CN最长，菱形CMPN的面积最大，
则S最大＝ ×5×4＝5.
∴S的取值范围是 .
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）首先利用矩形的性质得出PM∥CN，然后根据平行线的性质和折叠的性质得出PM＝CN，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CMPN是平行四边形，再根据NC＝NP即可证明结论；（2）设BN＝x，则AN＝NC＝8－x，首先利用勾股定理求出x的值，进而求出NC的长度，然后利用勾股定理求出AC的长度，最后利用菱形的面积公式求解即可；（3）根据菱形的对称性可知S＝ ，只要找到菱形CMPN的面积的最大值和最小值即可，又因为S菱形CMPN＝CN·AB，所以只需找到CN的最大值和最小值即可，当点M与点D重合时，此时CN最短，当点P与点A重合时，CN最长，代入计算即可得出答案.
1 / 1初中数学苏科版八年级下册 9.4 菱形的判定及性质 同步训练
一、单选题
1．下列命题中，真命题是（ ）.
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形
D．菱形的对角线相等
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A选项错误；有一条对角线平分对角的四边形不一定是菱形，故B选项错误；菱形的对角线是互相垂直平分的四边形，故C选项正确；菱形的对角线不一定相等，故D选项错误．
【分析】本题考查了菱形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握菱形有关判定与性
2．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则菱形的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意知AC=6，BD=8，则菱形的面积S=×6×8=24，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，AO=3，BO=4，
∴AB==5，
∴菱形的高h==．
故选A．
【分析】根据对角线的长度即可计算菱形的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得△AOB为直角三角形，根据AO，BO可以求得AB的值，根据菱形的面积和边长即可解题．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）.
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD＝DC，四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8．
【分析】在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，利用平分线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB＝CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．
4．（2020八下·上饶月考）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，
∵在△AFO和△CEO中，∠AFO=∠CEO，∠ FOA=∠EOC，AO=CO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出AO=CO，∠AFO=∠CEO，从而证得△AFO≌△CEO，得出FO=EO，判定四边形AECF平行四边形，再由EF⊥AC，即可判定平行四边形AECF是菱形.
5．（2016八上·临河期中）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO
∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA
∴四边形COMP为菱形，PM=4
PM∥CO ∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，
又∵PD⊥OA
∴PD= PC=2．
令解：作CN⊥OA．
∴CN= OC=2，
又∵∠CNO=∠PDO，
∴CN∥PD，
∵PC∥OD，
∴四边形CNDP是长方形，
∴PD=CN=2
故选：C．
【分析】过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A．CF＞GB B．GB=CF C．CF＜GB D．无法确定
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E ，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．
故答案为：B．
【分析】过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，先证△ACF≌△AHF，△ACE≌△AHE，然后可判断四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，即可证CF=GB。
7．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接DE、BD，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质），
在Rt△ADE中，DE=．
故选：B．
【分析】由菱形的性质，找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，再由勾股定理可求出DE．
8．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（ ）
A．108° B．72° C．90° D．100°
【答案】B
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PA，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，
∴PA=PC，
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，
∴PA=PD，
∴PD=PC，
∴∠PCD=∠CDP=36°，
∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；
故选：B．
【分析】由菱形的性质得出∠ADP=∠CDP=∠ADC，PA=PC，再由线段垂直平分线的性质得出PA=PD，证出PD=PC，得出∠PCD=∠CDP=36°，由外角性质即可求出∠CPB．
9．（2019八下·西湖期末）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】如图，连接FC，
①∵F为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴FC=FA，E点在AC的垂直平分线上，
又∵△EAC为等边三角形，
∴AE=EC，F点在AC的垂直平分线上，
∴EF为AC的垂直平分线，
则EF⊥AC，符合题意；
②∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+30°=90°，即DA⊥AC，
又∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∵F为AB的中点，△ABD为等边三角形，
∴DF⊥AB，
∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=60°+30°=90°，即AE⊥AB，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形（两边分别平行的四边形是平行四边形）；
在△AFD中，由于∠DFA=90°，
∴AD>FD，
∴四边形ADFE不是菱形 ，不符合题意；
③∵△ABD为等边三角形，
∴AD=AB，
∵AF=BF，
∴AF=AB=AD，
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴FG=AG，
∴AG=AF=×AD=AD，符合题意；
④∵ AF=BF，
∠DFB=∠EAF=90°（已证），
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴AD=EF，
又∵AD=AB，
∴EF=AB，
∴△DBF≌△EFA（HL），符合题意．
故答案为：C.
【分析】 ① 因为FA=FC，AE=EC，得E、F都在AC的垂直平分线上，根据两点决定一条直线，则EF为AC的垂直平分线，得 EF⊥AC；
② 由EF⊥AC，再求得∠DAC=90°，根据同垂直一条直线的两条直线平行，得AD平行EF，同理证得DF平行AE，所以根据两组对边分别平行是平行四边形，证得四边形ADFE为平行四边形，又因为三角形AFD为直角三角形，所以AD>AF， 所以确定四边形ADFE不是菱形；
③ 由F是AB的中点，平行四边形对角线互相平分，得G为AF的中点，则AB等于4AF，则AD也等于4AF；
④ 已证∠DFB=∠EAF=90°， FA=FB，由平行四边形对边相等得AD=EF，因为AD=AB，得EF=BD，根据斜边直角边定理证得△DBF≌△EFA。
10．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：
①OG= AB；②图中与△EGD全等的三角形共有5个；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边形ODGF=S△ABF，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG= CD= AB，
∴①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，
④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，
∴②不正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG= AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积= △ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；
③正确；
正确的是①③④．
故选B．
【分析】①正确．只要证明OG是△ACD的中位线即可；②错误．可以证明△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG；③正确．由OB=OD，AG=DG，推出OG是△ABD的中位线，推出OG∥AB，OG= AB，推出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，推出△GOD的面积= △ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，推出△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，因为△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，即可推出S四边形ODGF=S△ABF；④正确．根据邻边相等的四边形是菱形即可证明．
二、填空题
11．（2019八下·鼓楼期末）菱形两条对角线长分别是4和6，则这个菱形的面积为 ．
【答案】12
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】解：由题意，知：S菱形=×4×6=12．
故答案为12．
【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果．
12．（2017八下·灌云期末）如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为 ．
【答案】8
【知识点】菱形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意得，四边形 为菱形
在 中，
.
13．（2020八下·江都期中）如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为 .
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AB＝2AE，BC＝2CF，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB＝2 ，
同理：BC＝2 ，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝2 ，
∴S菱形ABCD＝AD BE＝6 .
故答案为：6 .
【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案.
14．（2019八下·施秉月考）如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A=120°，则EF= cm.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接AO交EF于点P，
由菱形和折叠对称的性质，知四边形AEOF是菱形，且AP=OP.
∵点A恰好落在菱形的对称中心O处，∴AE=BE.
∵AB=2，∠A=120°，
∴Rt△AEF中，AE=1，∠AEP=30°.
∴EP＝ .
∴EF＝ .
故答案为： .
【分析】如图，连接AO交EF于点P，由菱形和折叠对称的性质，知四边形AEOF是菱形，且AP=OP，AE=BE，进而根据等边对等角及三角形的内角和得出∠AEP=30°，根据含30°三角形的边之间的关系即可算出EP的长，从而根据菱形的性质得出EF的长.
15．（2019八下·封开期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF的面积为 。
【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AE，∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∵BF为∠ABE的平分线，∴∠FBE=∠AFB，∴四边形ABEF为平行四边形
∵AB=AF，
∴根据勾股定理，即可得到AE=2=8.
∴四边形ABEF的面积=×AE×BF=24.
【分析】根据题意证明四边形ABEF为菱形，利用勾股定理计算出AE的长度，根据菱形的面积公式进行计算即可。
16．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．
【答案】50
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO=∠CDO=50°．
故答案为50．
【分析】根据两直线平行，内错角相等∠CDO=∠AED，再根据菱形的性质CD=CB，∠BCO=∠DCO，所以△BCO与△DCO全等，根据全等三角形对应角相等即可求出∠CBO的度数．
17．（2017八下·邵阳期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF= AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即（13-x）2+62=（2x）2，
解得：x=5，
故四边形BDFG的周长=4GF=20．
18．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
【答案】①②③
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AB=BC=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：
∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6﹣2=4，
∵EG⊥AB，
∴EG=2，
∴点E到AB的距离是2，
故②正确；
∵BE=4，EC=2，
∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1，
∴S△ABF：S△FBE=3：2，
∴△ABF的面积为=，
故④错误；
∵，
∴，
∵，
∴FM=，
∴DM=，
∴CM=DC﹣DM=6﹣，
∴tan∠DCF=
故③正确；
故答案为：①②③
【分析】利用SAS证明△ABF与△CBF全等，得出①正确，根据含30°角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是2，得出②正确，同时得出；△ABF的面积为得出④错误，得出tan∠DCF= ，得出③正确．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．求证：四边形BCFE是菱形.
【答案】解答：证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE．∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝2DE，BC＝2DE，∴BE＝BC，∴平行四边形BCFE是菱形．
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又邻边EF＝BE，则四边形BCFE是菱形．
20．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB=4，AC=5，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1）证明：∵AF∥BD，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD中点，∴AE=ED，在△BDE和△FAE中，，∴△AFE≌△DBE．（2）证明：连接CF．∵△AFE≌△DBE，∴AF=BD∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=DC=DB，∴AF∥CD，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵DA=CD，∴四边形ADCF是菱形．（3）∵S△ABC=×AB×AC=10，∵四边形ADCF是菱形，BD=DC，S△ABC=2S△ADC，∴S菱形ADCF=2S△ADC=10．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据AAS证明即可判定．
（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DA=DC即可．
（3）利用S菱形ADCF=2S△ADC=S△ABC即可求解．
21．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD和CE，BD与CE交于点F．
（1）∠AEC的度数；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
【答案】（1）解：根据旋转可得∠CAE=100°，AC=AE，
∵∠AEC+∠ACE+∠CAE=180°，
∴∠AEC=（180°﹣100°）=40°；
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°，AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据旋转可得∠CAE=100°，AC=AE，再根据三角形内角和定理可得∠AEC的度数；
（2）首先证明∠BAE=∠BFE，∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC，再根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后再根据旋转可得AE=AB，依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．
22．（2020八下·姜堰期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ.
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，BE=10，求PQ的长.
【答案】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴PB=PE，OB=OE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP(ASA)，
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵PB=PE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴AE 8
设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+(8﹣y)2=y2，
解得 ，
∴BP=PE ，
∵四边形BPEQ是菱形，
∴ ，
在Rt△EOP中， ，
∴ .
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得PB=PE，OB=OE，由“ASA”可证△BOQ≌△EOP，可得PE=QB，利用菱形的判定可证四边形BPEQ是菱形；
（2）由勾股定理可求AE=8，利用勾股定理列出方程，可求PE的长，由菱形的性质和勾股定理可求PQ的长.
23．（2020八下·福绵期末）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DA，DC延长线上，且AE＝CF，连接BE，BF，过点E作EG∥BF，过点F作FG∥BE，EG，FG交于点G.
（1）求证：四边形BEGF是菱形；
（2）若AD＝3AE＝6，求四边形BEGF的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAB＝∠FCB＝90°，AB＝BC，
在△AEB与△CFB中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF，
∵EG∥BF，FG∥BE，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∴四边形BEGF是菱形
（2）解：∵四边形BEGF是菱形，
∴EB＝BF＝FG＝GE，
∵AD＝3AE＝6，
∴AE＝2，AB＝AD＝6，
∴BE＝ ＝2 ，
∴四边形BEGF的周长为：4×2 ＝8 .
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由正方形的性质易得∠EAB＝∠FCB＝90°，AB＝BC，由SAS定理证得△ABE≌△CBF；再由EG∥BF，FG∥BE，易得四边形BEGF是平行四边形，由△ABE≌△CBF易得BE＝BF，利用邻边相等的平行四边形是菱形，证得结论；
（2）由菱形的性质和正方形的性质，利用勾股定理可得BE的长，从而得四边形BEGF的周长.
24．（2020八下·西安期末）如图，在 ABCD中，BC=2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，∠ABC=60°，求OC的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD.
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴BE BC，AF AD，
∴BE=AF，
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∴平行四边形ABEF是菱形.
（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，如图所示，
∵E是BC的中点，BC=2AB，
∴BE=CE=AB=4.
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，
∴BE=CE=AB=4，∠OBE=30°，∠BOE=90°，
∴OE=2，∠OEB=60°，
∴GE=1，OG GE ，
∴GC=GE+CE=5，
∴OC 2 .
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先证明四边形ABEF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）过点O作OG⊥BC于点G，分别在Rt△OEG，Rt△OCG中，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可.
25．（2019八下·港南期中）在Rt△ABC中，∠BAC= ,D是BC的中点，E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积.
【答案】（1）证明：证明：在Rt△ABC中，∠BAC= ，D是BC的中点，
∴AD= BC=DC=BD，
∵AF∥BC，
∴∠DBE=∠AFE，
又∵E是AD中点，
∴ED=EA，
又∠BED=∠FEA，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）证明：由（1）知AF=BD，即AF=DC，
∴AF∥DC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AD=DC，
∴四边形ADCF是菱形
（3）解：（解法一）连接DF，
∵AF DC，BD=CD，
∴AF BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∴ ；
（解法二）在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，
∴BC= ，
设BC边上的高为 ，
则 ，
∴ ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=DC=BD=
BC，由平行线的性质可得∠DBE=∠AFE， 结合题意用角角边可证
△BDE≌△FAE ；
（2）由（1）中的全等三角形知AF=BD，于是可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得 四边形ADCF是平行四边形， 再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得 四边形ADCF是菱形 ；
（3） 连接DF， 根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得 四边形ABDF是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得DF=AB，由菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得S菱形ADCF=
，把AC和DF的长代入计算即可求解。
26．（2019八下·碑林期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、QE
（1）求证：四边形BPEQ是菱形：
（2）若AB＝6，F是AB中点，OF＝4，求菱形BPEQ的面积.
【答案】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴PB＝PE，OB＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠PEO＝∠QBO，
在△BOQ与△EOP中， ，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE＝QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵AB＝6，F是AB的中点，
∴BF＝3.
∵四边形BPEQ是菱形，
∴OB＝OE.
又∵F是AB的中点，
∴OF是△BAE的中位线，
∴AE∥OF且OF＝ AE.
∴∠BFO＝∠A＝90°.
在Rt△FOB中，OB＝ ＝5，
∴BE＝10.
设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x.
在Rt△APB中，BP2＝AB2+AP2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴BQ＝ ，
∴菱形BPEQ的面积＝BQ×AB＝ ×6＝ .
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB＝PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE＝QB，证出四边形BPEQ是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是矩形即可得出结论；
（2）先证明OF为△BAE的中位线，然后依据三角形的中位线定理得出AE∥OF且OF＝ AE，根据勾股定理求得OB的长，则可得到BE的长，设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x，在Rt△APB中依据勾股定理可列出关于x的方程，求解得出x的值，然后依据菱形的面积公式进行计算即可.
27．（2020八下·龙湖期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ∶ 分别与 轴、 轴交于点B、C，且与直线 ∶ 交于点A.
（1）请写出A( ， )，B( ， )，C ( ， ).
（2）若D是线段OA上的一点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式.
（3）在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标.
【答案】（1）6；3；12；0；0；6
（2）解：设D
由(1)可知C(0，6)
∴OC=6
又∵
∴
解得：
∴D(4，2)
设直线CD的解析式为
∴
解得：
∴直线CD的解析式为
（3）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；三角形的面积；菱形的判定与性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵两个直线交于点A
∴-x+6=x，解得x=6，代入y=3，∴点A的坐标为（6,3）
令y=0，x=12，∴点B的坐标为（12,0）
令x=0，y=6，则点C的坐标为（0,6）
（2）解：设D（x，x）
由(1)可知C(0，6)
∴OC=6
又∵ 三角形COD的面积为12
∴ S△COD=×6×x=12
解得： x=4
∴D(4，2)
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0，k，b为常数）
∴
解得： k=-1，b=6
∴直线CD的解析式为 y=-x+6
（3）如图所示，分三种情况考虑:
（i）当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°,得到四边形OP1Q1C为正方形，此时QP1=OP1=OC=6，即Q1(6，6);
(ii)当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为(0，6)，得到Q2纵坐标为3,
把y=3代入直线OQ2解析式y=-x中，得:x=-3，此
时Q2(-3，3);
(ii)当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，此时Q3( ，- ),
综上，点Q的坐标是(6，6)或(-3，3)或( ，- ),
【分析】（1）根据函数解析式，计算得到三个点的坐标即可；
（2）设出点D的坐标，根据三角形的面积公式求出点D的坐标，继而根据设CD的解析式，求出其解析式即可；
（3）根据题意，由菱形的性质，分别计算得到点Q的坐标即可。
28．（2020八下·淮滨期中）如图1，有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.
（1）求证：四边形CMPN是菱形；
（2）当P，A重合时，如图2，求MN的长；
（3）设△PQM的面积为S，求S的取值范围.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC.
由折叠的性质可知∠MNC＝∠PNM，NC＝NP，
∴∠PMN＝∠PNM.
∴PM＝PN.
∵NC＝NP，
∴PM＝CN.
∵MP∥CN，
∴四边形CMPN是平行四边形.
∵NC＝NP，
∴四边形CMPN是菱形
（2）解：当点P与点A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8－x.
在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，
即42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3.
∴CN＝8－3＝5.
∵四边形CMPN是菱形，AC＝ ，
∴MN＝ .
（3）解：∵四边形CMPN是菱形，
∴S＝
∵S菱形CMPN＝CN·AB，
∴当点M与点D重合时，如图，此时CN最短，菱形CMPN的面积最小，
∵ ，四边形CMPN是菱形，
∴四边形CMPN是正方形，
则S最小＝ ；
当点P与点A重合时，CN最长，菱形CMPN的面积最大，
则S最大＝ ×5×4＝5.
∴S的取值范围是 .
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）首先利用矩形的性质得出PM∥CN，然后根据平行线的性质和折叠的性质得出PM＝CN，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CMPN是平行四边形，再根据NC＝NP即可证明结论；（2）设BN＝x，则AN＝NC＝8－x，首先利用勾股定理求出x的值，进而求出NC的长度，然后利用勾股定理求出AC的长度，最后利用菱形的面积公式求解即可；（3）根据菱形的对称性可知S＝ ，只要找到菱形CMPN的面积的最大值和最小值即可，又因为S菱形CMPN＝CN·AB，所以只需找到CN的最大值和最小值即可，当点M与点D重合时，此时CN最短，当点P与点A重合时，CN最长，代入计算即可得出答案.
1 / 1
