新人教版初中数学八年级下册 第十八章平行四边形 18.2特殊的平行四边形 18.2.2菱形 同步测试
一、单选题
1．如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
2．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）
A．24 B．16 C． D．
3．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.1菱形的性质同步练习）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（ ）.
A．3cm2 B．4cm2 C． cm2 D． cm2
4．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.1菱形的性质同步练习）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（ ）.
A．四边形ABCD是平行四边形 B．AC⊥BD
C．ABD是等边三角形 D．∠CAB＝∠CAD
5．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（ ）
A．10 B． C．6 D．5
6．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
7．（2019八下·如皋月考）如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D．AC=BD
8．如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的面积为（ ）
A．10 B．20 C．48 D．24
9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
10．如图，四边形OABC是菱形，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是 （ ）
A．（﹣2，2+） B．（2，2+）
C．（-，2+） D．（，2+）
11．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．8
12．（2016八下·红安期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）
A． B． C．12 D．24
13．（2016八下·高安期中）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
14．（2016八下·曲阜期中）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
15．（2016八下·龙湖期中）如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
二、填空题
16．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是 ，面积是
17．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.2菱形的判定同步练习）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是 （写出一个即可）．
18．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.2菱形的判定同步练习）如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD，已知∠BAD＝60゜，则重叠部分的面积是 cm2．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于
20．如图，AC是菱形ABCD的对角线，若∠BAC=50°，则∠ADB等于 ．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=16cm，BD=12cm，DH⊥BC于点H，交AC于点G．
（1）写出两个不全等且与△GHC相似的三角形，并任选其中的一个进行证明；
（2）求GH的长．
22．如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF．求证：CE=CF．
23．如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直分线段AC，垂足为O，直线L分别于线段AD，CB的延长线交于点E，F，证明四边形AFCE是菱形．
24．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF∥BE，DF=BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAD，求证： ABCD为菱形．
25．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．
求：（1）对角线AC，BD的长；
（2）菱形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】解析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD。
【解答】因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=BC．
故选C
【点评】题考查菱形的判定，答案不唯一．有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
【解答】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，
OA=AC=3，
OB=BD=2，
AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，
AB=
∴菱形的周长是：4AB=
故选：C．
3．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长 ，
则菱形的面积＝ cm2，故选D．
【分析】根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式：菱形的面积＝ ×两条对角线的乘积，即可求得菱形的面积．
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】菱形是特殊的平行四边形，故A正确，根据菱形的性质：对角线互相平分且平分对角得B、D正确，所以选C．
【分析】此题主要考查菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；以及和平行四边形的联系．
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
即菱形ABCD的边长是5．
故选：D．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=60°，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB=4，
在Rt△ABE中，AE=ABsin∠ABE=4×=2，
故可得AC=2AE=4．故选A．
【分析】连接AC交BD于点E，则∠ABE=60°，根据菱形的周长求出AB的长度，在Rt△ABE中，求出BE，继而可得出BD的长．
7．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：邻边相等的平行四边形为菱形．如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA=BC．
故选：B．
【分析】利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴菱形的面积=AC BD=×8×6=24．
故选D．
【分析】直接根据菱形的面积公式即可得出结论．
9．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AB平行且等于CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当AB=BC时，
平行四边形ACED是菱形．
故选：A．
【分析】首先根据平移的性质得出AB平行且等于CD，得出四边形ABCD为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=BC即可．
10．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】解：作BF⊥y轴于F，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=CB=2，BC∥OA，
∴∠BCF=∠AOC=45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BF=CF=BC×=，
∴OF=2+，
∴B点的坐标是：（﹣，2+）；
故选：C．
【分析】作BF⊥y轴于F，则∠BFC=90°，由菱形的性质得出OC=OA=CB=2，BC∥OA，得出∠BCF=∠AOC=45°，△BCF是等腰直角三角形，根据三角函数求出BF=CF，得出OF，即可得出B点坐标．
11．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，OA=AC=2，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴OB===2，
∴BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面积=AC BD=×4×4=8；
故选：B．
【分析】由菱形的性质得出AB=BC，OA=AC=2，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，再证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC=4，根据勾股定理求出OB，得出BD，由菱形的面积=AC BD，即可得出结论．
12．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设对角线相交于点O，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=AC=×8=4，
BO=BD=×6=3，
由勾股定理的，AB===5，
∵DH⊥AB，
∴S菱形ABCD=AB DH=AC BD，
即5DH=×8×6，
解得DH=．
故选A．
【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．
13．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AB=AD=6cm，
∵E为CB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BA=2OE，
∴OE=3cm．
故选C．
【分析】首先根据菱形的性质可得AO=CO，AB=AD=6cm，再根据三角形中位线定义和性质可得BA=2OE，进而得到答案．
14．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，
∵∠B：∠BCD=1：2，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5．
故选A．
【分析】根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得到AC的长．
15．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故选A．
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
16．【答案】20；24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD，
∴AB==5，
∴此菱形的周长是：5×4=20，面积是：×6×8=24．
故答案为：20，24．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA=4，OB=3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．
17．【答案】AB＝AD（答案不唯一）．
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条件是AB＝AD（答案不唯一）．
【分析】利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．
18．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝1cm，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AB＝2AE，BC＝2CF，∵AB2＝AE2＋BE2，∴AB＝ cm，同理：BF＝ cm，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝ cm，∴S菱形ABCD＝AD BE＝ （cm2）．
【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
19．【答案】 3.5
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵AB+BC+CD+DA=28，
∴AD=7，
∵H为AD边中点，
∴OH=AD=3.5；
故答案为：3.5．
【分析】由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出∠AOD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
20．【答案】40°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=50°，
∴AB=AD，∠BAD=2×50°=100°，
∴∠ADB=（180°﹣100°）=40°；
故答案为：40°．
【分析】先根据菱形的性质求出∠BAD，再由等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结果．
21．【答案】解：（1）△BOC∽△GHC，△GDO∽△GHC，
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥CD，
∴∠DOG=90°，
∵DH⊥BC于点H，
∴∠GHC=90°，
∵∠DGO=∠CGH，
∴△GDO∽△GHC；
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=24cm，BD=18cm，
∴OA=AC=×16=8，OB=BD=×12=6cm，
在Rt△AOB中，AB=10cm，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积=AC BD=AB DH，
即×16×12=10 DH，
解得DH=9.6（cm）．
在Rt△DHB中，BH═7.2cm，
则AH=AB﹣BH=10﹣7.2=2.8（cm），
∵tan∠HAG===，
∴GH=AH=2.1（cm）．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定方法即可得到和GHC相似的三角形；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得DH的长，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC=∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE=CF．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得∠EAC=∠FAC，又由AE=AF，AC为公共边，即可证得：△ACE≌△ACF，则可得CE=CF．
23．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵直线L垂直分线段AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据题意结合矩形的性质得出∠EAO=∠FCO，进而得出△AOE≌△COF，求出四边形AFCE是平行四边形，进而得出四边形AFCE是菱形．
24．【答案】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠CEB，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴ ABCD为菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）首先证明△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，进而可得证明AD∥CB，根据一组对边平行且等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，进而可得出AB=BC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．
25．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，A0=2，
∴OD= ==2，
∴BD=4；
（2）面积为AC×BD=4=8．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AB=BC，然后再证明△ABC是等边三角形，从而可得AC=AB=4，进而可得AO=2，再利用勾股定理计算BO长，进而可得BD长；
（2）利用菱形的面积=ab（a、b是两条对角线的长度）可得面积．
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一、单选题
1．如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】解析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD。
【解答】因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=BC．
故选C
【点评】题考查菱形的判定，答案不唯一．有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）
A．24 B．16 C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
【解答】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，
OA=AC=3，
OB=BD=2，
AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，
AB=
∴菱形的周长是：4AB=
故选：C．
3．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.1菱形的性质同步练习）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（ ）.
A．3cm2 B．4cm2 C． cm2 D． cm2
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长 ，
则菱形的面积＝ cm2，故选D．
【分析】根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式：菱形的面积＝ ×两条对角线的乘积，即可求得菱形的面积．
4．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.1菱形的性质同步练习）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（ ）.
A．四边形ABCD是平行四边形 B．AC⊥BD
C．ABD是等边三角形 D．∠CAB＝∠CAD
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】菱形是特殊的平行四边形，故A正确，根据菱形的性质：对角线互相平分且平分对角得B、D正确，所以选C．
【分析】此题主要考查菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；以及和平行四边形的联系．
5．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（ ）
A．10 B． C．6 D．5
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
即菱形ABCD的边长是5．
故选：D．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
6．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=60°，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB=4，
在Rt△ABE中，AE=ABsin∠ABE=4×=2，
故可得AC=2AE=4．故选A．
【分析】连接AC交BD于点E，则∠ABE=60°，根据菱形的周长求出AB的长度，在Rt△ABE中，求出BE，继而可得出BD的长．
7．（2019八下·如皋月考）如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D．AC=BD
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：邻边相等的平行四边形为菱形．如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA=BC．
故选：B．
【分析】利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．
8．如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的面积为（ ）
A．10 B．20 C．48 D．24
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴菱形的面积=AC BD=×8×6=24．
故选D．
【分析】直接根据菱形的面积公式即可得出结论．
9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AB平行且等于CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当AB=BC时，
平行四边形ACED是菱形．
故选：A．
【分析】首先根据平移的性质得出AB平行且等于CD，得出四边形ABCD为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=BC即可．
10．如图，四边形OABC是菱形，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是 （ ）
A．（﹣2，2+） B．（2，2+）
C．（-，2+） D．（，2+）
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】解：作BF⊥y轴于F，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=CB=2，BC∥OA，
∴∠BCF=∠AOC=45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BF=CF=BC×=，
∴OF=2+，
∴B点的坐标是：（﹣，2+）；
故选：C．
【分析】作BF⊥y轴于F，则∠BFC=90°，由菱形的性质得出OC=OA=CB=2，BC∥OA，得出∠BCF=∠AOC=45°，△BCF是等腰直角三角形，根据三角函数求出BF=CF，得出OF，即可得出B点坐标．
11．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，OA=AC=2，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴OB===2，
∴BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面积=AC BD=×4×4=8；
故选：B．
【分析】由菱形的性质得出AB=BC，OA=AC=2，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，再证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC=4，根据勾股定理求出OB，得出BD，由菱形的面积=AC BD，即可得出结论．
12．（2016八下·红安期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）
A． B． C．12 D．24
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设对角线相交于点O，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=AC=×8=4，
BO=BD=×6=3，
由勾股定理的，AB===5，
∵DH⊥AB，
∴S菱形ABCD=AB DH=AC BD，
即5DH=×8×6，
解得DH=．
故选A．
【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．
13．（2016八下·高安期中）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AB=AD=6cm，
∵E为CB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BA=2OE，
∴OE=3cm．
故选C．
【分析】首先根据菱形的性质可得AO=CO，AB=AD=6cm，再根据三角形中位线定义和性质可得BA=2OE，进而得到答案．
14．（2016八下·曲阜期中）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，
∵∠B：∠BCD=1：2，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5．
故选A．
【分析】根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得到AC的长．
15．（2016八下·龙湖期中）如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故选A．
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
二、填空题
16．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是 ，面积是
【答案】20；24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD，
∴AB==5，
∴此菱形的周长是：5×4=20，面积是：×6×8=24．
故答案为：20，24．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA=4，OB=3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．
17．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.2菱形的判定同步练习）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】AB＝AD（答案不唯一）．
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条件是AB＝AD（答案不唯一）．
【分析】利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．
18．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.2菱形的判定同步练习）如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD，已知∠BAD＝60゜，则重叠部分的面积是 cm2．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝1cm，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AB＝2AE，BC＝2CF，∵AB2＝AE2＋BE2，∴AB＝ cm，同理：BF＝ cm，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝ cm，∴S菱形ABCD＝AD BE＝ （cm2）．
【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于
【答案】 3.5
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵AB+BC+CD+DA=28，
∴AD=7，
∵H为AD边中点，
∴OH=AD=3.5；
故答案为：3.5．
【分析】由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出∠AOD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
20．如图，AC是菱形ABCD的对角线，若∠BAC=50°，则∠ADB等于 ．
【答案】40°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=50°，
∴AB=AD，∠BAD=2×50°=100°，
∴∠ADB=（180°﹣100°）=40°；
故答案为：40°．
【分析】先根据菱形的性质求出∠BAD，再由等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结果．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=16cm，BD=12cm，DH⊥BC于点H，交AC于点G．
（1）写出两个不全等且与△GHC相似的三角形，并任选其中的一个进行证明；
（2）求GH的长．
【答案】解：（1）△BOC∽△GHC，△GDO∽△GHC，
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥CD，
∴∠DOG=90°，
∵DH⊥BC于点H，
∴∠GHC=90°，
∵∠DGO=∠CGH，
∴△GDO∽△GHC；
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=24cm，BD=18cm，
∴OA=AC=×16=8，OB=BD=×12=6cm，
在Rt△AOB中，AB=10cm，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积=AC BD=AB DH，
即×16×12=10 DH，
解得DH=9.6（cm）．
在Rt△DHB中，BH═7.2cm，
则AH=AB﹣BH=10﹣7.2=2.8（cm），
∵tan∠HAG===，
∴GH=AH=2.1（cm）．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定方法即可得到和GHC相似的三角形；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得DH的长，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．
22．如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF．求证：CE=CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC=∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE=CF．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得∠EAC=∠FAC，又由AE=AF，AC为公共边，即可证得：△ACE≌△ACF，则可得CE=CF．
23．如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直分线段AC，垂足为O，直线L分别于线段AD，CB的延长线交于点E，F，证明四边形AFCE是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵直线L垂直分线段AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据题意结合矩形的性质得出∠EAO=∠FCO，进而得出△AOE≌△COF，求出四边形AFCE是平行四边形，进而得出四边形AFCE是菱形．
24．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF∥BE，DF=BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAD，求证： ABCD为菱形．
【答案】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠CEB，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴ ABCD为菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）首先证明△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，进而可得证明AD∥CB，根据一组对边平行且等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，进而可得出AB=BC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．
25．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．
求：（1）对角线AC，BD的长；
（2）菱形ABCD的面积．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，A0=2，
∴OD= ==2，
∴BD=4；
（2）面积为AC×BD=4=8．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AB=BC，然后再证明△ABC是等边三角形，从而可得AC=AB=4，进而可得AO=2，再利用勾股定理计算BO长，进而可得BD长；
（2）利用菱形的面积=ab（a、b是两条对角线的长度）可得面积．
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