新人教版初中数学九年级下册 第二十七章相似 27.1图形的相似 同步测试
一、单选题
1．在比例尺是1:38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7，它的实际长度约为（ ）
A．0.266； B．2.66； C．26.6； D．266.
2．下列说法正确的是（ ）
A．各有一个角是70°的等腰三角形相似
B．各有一个角是95°的等腰三角形相似
C．所有的矩形相似
D．所有的菱形相似
3．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2016九上·宝丰期末）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（ ）
A．2：1 B． ：1 C．3： D．3：2
5．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）
A．∠E=2∠K
B．BC=2HI
C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
6．用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（ ）
A．△ABC放大后，是原来的2倍
B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍
C．△ABC放大后，周长是原来的2倍
D．△ABC放大后，面积是原来的4倍
7．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
8．（2017九上·下城期中）把一个长方形划分成三个全等的长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形的长a与宽b的关系是（ ）
A．= B．= C．=3 D．=2
9．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）.
A．1cm，2cm，20cm，40cm B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．4cm，2cm，1cm，3cm D．5cm，10cm，15cm，20cm
10．已知两个五边形相似，其中一个五边形的最长边为20，最短边为4，另一个五边形的最短边为3，则它的最长边为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
11．（2015九上·龙华期中）下列四条线段为成比例线段的是（ ）
A．a=10，b=5，c=4，d=7 B．a=1，b=，c=，d=
C．a=8，b=5，c=4，d=3 D．a=9，b=，c=3，d=
12．（2018九上·长沙期中）下列各组线段能成比例的是（ ）
A．0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．4cm，6cm，8cm，3cm D．cm，cm，cm，cm
13．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．任意两个菱形 B．任意两个正三角形
C．两个等腰三角形 D．两个矩形
14．下列各选项中的两个图形不一定相似的是（ ）
A．两个正方形 B．两个等边三角形
C．各有100°角的两个等腰三角形 D．各有45°角的两个等腰三角形
15．（2016九上·石景山期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（AC＜BC），则AC的长为（结果精确到0.1m）（ ）
A．6.7m B．7.6m C．10m D．12.4m
二、填空题
16．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 .
17．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= .
18．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，=，DE=6，则EF= .
19．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 厘米．
20．（1）同一张底片印出来的不同尺寸的照片是 图形；
（2）正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是 ； 用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是 ；
（3）下列各组图形中，肯定是相似图形的是 （只填序号）．
①半径不等的两个圆；②边长不等的两个正方形；③周长不等的两个正六边形；④面积不等的两个矩形；③边长不等 的两个菱形．
三、解答题
21．如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．
22．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．
23．（2020·灌阳模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
24．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
25．用木条制成如图的形式，A、B、C三点钉上钉子，在D和D′处加上粉笔，当用D′画图时，在D处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【分析】比例尺=图上距离：实际距离．按题目要求列出比例式计算即可．
根据：比例尺=图上距离：实际距离．
得它的实际长度约为7×38000=266000（cm）=2.66（km）．
故选B．
2．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、若一个等腰三角形的顶角为70°，而另一个的顶角为40°，则此两个等腰三角形不相似，故本选项错误；
B、95°的角只能是顶角，则顶角为95°的两个等腰三角形相似，故本选项正确；
C、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；
D、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；
故选：B．
【分析】A、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；
B、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；
C、D根据相似图形的定义进行判断．
3．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
【解答】A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故选项不符合要求；
B：形状相同，符合相似形的定义，故选项不符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故选项不符合要求；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故选项符合要求；
故选D．
【点评】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF= AB= a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴ = ，即 = ，
∴（ ）2=2，
∴ = ．
故答案为：B．
【分析】根据题意求出AF的长，根据矩形AFED与矩形ABCD相似，得出对应边成比例即可求得结果。注意这两个矩形相似的对应边，AD的对应边不是AD，AB的对应边不是AF。
5．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；
B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确；
C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；
D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即两个相似多边形的对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方
6．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍．
故本题选A．
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
7．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，
故选D．
【分析】根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
设AB=b，BE=，则BC=a，
∵每一个小长方形与原长方形相似，
∴
∴3b2=a2，∴
故答案为：B．
【分析】设出小长方形的边长，根据图形表示出大三角形的边长，再根据两图形相似，计算出比值．
9．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有A中，1×40=2×20，四条线段成比例．
故选：A．
【分析】根据成比例线段的概念，在线段两两相乘时，让最小的与最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
10．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个五边形相似，其中一个五边形的最长边为20，最短边为4，另一个五边形的最短边为3，设它的最长边为x，
∴=，
解得：x=15．
故选：A．
【分析】利用相似多边形的性质得出相似比，进而得出另一五边形的最长边．
11．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、从小到大排列，由于5×7≠4×10，所以不成比例，不符合题意；
B、从小到大排列，由于×=1×，所以成比例，符合题意；
C、从小到大排列，由于4×5≠3×8，所以不成比例，不符合题意；
D、从小到大排列，由于×3≠×9，所以不成比例，不符合题意．
故选B．
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
12．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、因为0.2×0.2=0.1×0.4，所以0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm成比例，所以A选项正确；
B、因为1×4≠2×4，所以1cm，2cm，3cm，4cm不成比例，所以B选项错误；
C、因为4×6≠8×3，所以4cm，6cm，8cm，3cm不成比例，所以C选项错误；
D、因为×≠×，所以cm，cm，cm，cm不成比例，所以D选项错误．
故选A．
【分析】分别计算各组数中最大的数与最小的数的积和另外两个数的积，然后根据比例线段的定义进行判断．
13．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．
故选：B．
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
14．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个正方形一定相似，故此选项错误；
B、两个等边三角形一定相似，故此选项错误；
C、各有100°角的两个等腰三角形一定相似，故此选项错误；
D、各有45°角的两个等腰三角形，不一定相似，故此选项正确．
故选：D．
【分析】利用相似图形的判定方法：形状相同的图形称为相似形，进而分别判断得出即可．
15．【答案】B
【知识点】代数式求值；直线、射线、线段
【解析】【解答】∵C为AB的一个黄金分割点，
∴BC= AB≈12.4cm，
∴AC=20﹣12.4=7.6cm，
故答案为：B．
【分析】抓住已知C为AB的一个黄金分割点，可得出BC=，将AB的值代入就可求出BC的长，再求出AC即可。
16．【答案】87°
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A=∠A′=138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠α=360°-∠A-∠B-∠C=87°．
故答案为：87°．
【分析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，求得∠A的度数；又由四边形的内角和等于360°，可求得∠α的度数．此题主要考查了相似多边形的对应角相等的性质．
17．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥AC，
∴，
即，
解得：EC=．
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．
18．【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，即=，
∴EF=9．
故答案为9．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，即=，然后根据比例性质求EF．
19．【答案】4
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设上海与杭州的图上距离为x厘米．
200千米=20000000厘米，
x：20000000=1：5000000，
解得x=4．
故答案为4．
【分析】设上海与杭州的图上距离为x厘米， 根据比例尺的意义列出方程x：20000000=1：5000000，解方程即可．
20．【答案】相似；全等；相似；①②③
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：（1）同一张底片印出来的不同尺寸的照片是相似图形；
（2）正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是全等；用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是相似；
（3）半径不等的两个圆、边长不等的两个正方形、周长不等的两个正六边形是相似图形，
故答案为：（1）相似；（2）全等；相似；（3）①②③．
【分析】根据相似多边形的概念和对应角相等，对应边成比例两个多边形相似进行解答即可．
21．【答案】解：由题意得：，
∴x=18，
∵∠C′=360°﹣（63°+129°+78°）=90°，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠C=∠C′=90°，
即α=90°．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】由相似多边形的性质可得，AD：AB=A′D′：A′B′，∠C=∠C′，根据图中表明的数字求解即可．
22．【答案】解：只有正方形才能做到，理由：
设矩形的一边为a，另一边为b，等宽的纸边宽c，
如果要两矩形相似，则a：b=（a﹣2c）：（b﹣2c），
解得a=b，
∴只能是正方形了．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】可先假设矩形成立，根据相似列式计算，最后求得矩形的长和宽相等，则只能是正方形．
23．【答案】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵AD=3，AB=5，
∴=．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
24．【答案】（1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD AC，
∴AD2=CD AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵AD2=CD AC，
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得 到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CD AC，于是有AD2=CD AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）的结论得到x2=1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．
25．【答案】解：因为木条制成的图形固定，点D和点D′的相对位置固定，
所以点D处的粉笔画图时，点D′处的粉笔会画出形状相同的图形，这两个图形的形状相同，
因此是相似图形．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】因为A，B，C三点钉上钉子，则这个图形就固定下来，点D和点D′的相对位置确定，所以用D′画图时，D处的笔画的图与它的形状相同，是相似图形．
1 / 1新人教版初中数学九年级下册 第二十七章相似 27.1图形的相似 同步测试
一、单选题
1．在比例尺是1:38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7，它的实际长度约为（ ）
A．0.266； B．2.66； C．26.6； D．266.
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【分析】比例尺=图上距离：实际距离．按题目要求列出比例式计算即可．
根据：比例尺=图上距离：实际距离．
得它的实际长度约为7×38000=266000（cm）=2.66（km）．
故选B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．各有一个角是70°的等腰三角形相似
B．各有一个角是95°的等腰三角形相似
C．所有的矩形相似
D．所有的菱形相似
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、若一个等腰三角形的顶角为70°，而另一个的顶角为40°，则此两个等腰三角形不相似，故本选项错误；
B、95°的角只能是顶角，则顶角为95°的两个等腰三角形相似，故本选项正确；
C、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；
D、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；
故选：B．
【分析】A、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；
B、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；
C、D根据相似图形的定义进行判断．
3．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
【解答】A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故选项不符合要求；
B：形状相同，符合相似形的定义，故选项不符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故选项不符合要求；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故选项符合要求；
故选D．
【点评】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例
4．（2016九上·宝丰期末）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（ ）
A．2：1 B． ：1 C．3： D．3：2
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF= AB= a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴ = ，即 = ，
∴（ ）2=2，
∴ = ．
故答案为：B．
【分析】根据题意求出AF的长，根据矩形AFED与矩形ABCD相似，得出对应边成比例即可求得结果。注意这两个矩形相似的对应边，AD的对应边不是AD，AB的对应边不是AF。
5．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）
A．∠E=2∠K
B．BC=2HI
C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；
B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确；
C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；
D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即两个相似多边形的对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方
6．用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（ ）
A．△ABC放大后，是原来的2倍
B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍
C．△ABC放大后，周长是原来的2倍
D．△ABC放大后，面积是原来的4倍
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍．
故本题选A．
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
7．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，
故选D．
【分析】根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．
8．（2017九上·下城期中）把一个长方形划分成三个全等的长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形的长a与宽b的关系是（ ）
A．= B．= C．=3 D．=2
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
设AB=b，BE=，则BC=a，
∵每一个小长方形与原长方形相似，
∴
∴3b2=a2，∴
故答案为：B．
【分析】设出小长方形的边长，根据图形表示出大三角形的边长，再根据两图形相似，计算出比值．
9．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）.
A．1cm，2cm，20cm，40cm B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．4cm，2cm，1cm，3cm D．5cm，10cm，15cm，20cm
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有A中，1×40=2×20，四条线段成比例．
故选：A．
【分析】根据成比例线段的概念，在线段两两相乘时，让最小的与最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
10．已知两个五边形相似，其中一个五边形的最长边为20，最短边为4，另一个五边形的最短边为3，则它的最长边为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个五边形相似，其中一个五边形的最长边为20，最短边为4，另一个五边形的最短边为3，设它的最长边为x，
∴=，
解得：x=15．
故选：A．
【分析】利用相似多边形的性质得出相似比，进而得出另一五边形的最长边．
11．（2015九上·龙华期中）下列四条线段为成比例线段的是（ ）
A．a=10，b=5，c=4，d=7 B．a=1，b=，c=，d=
C．a=8，b=5，c=4，d=3 D．a=9，b=，c=3，d=
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、从小到大排列，由于5×7≠4×10，所以不成比例，不符合题意；
B、从小到大排列，由于×=1×，所以成比例，符合题意；
C、从小到大排列，由于4×5≠3×8，所以不成比例，不符合题意；
D、从小到大排列，由于×3≠×9，所以不成比例，不符合题意．
故选B．
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
12．（2018九上·长沙期中）下列各组线段能成比例的是（ ）
A．0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．4cm，6cm，8cm，3cm D．cm，cm，cm，cm
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、因为0.2×0.2=0.1×0.4，所以0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm成比例，所以A选项正确；
B、因为1×4≠2×4，所以1cm，2cm，3cm，4cm不成比例，所以B选项错误；
C、因为4×6≠8×3，所以4cm，6cm，8cm，3cm不成比例，所以C选项错误；
D、因为×≠×，所以cm，cm，cm，cm不成比例，所以D选项错误．
故选A．
【分析】分别计算各组数中最大的数与最小的数的积和另外两个数的积，然后根据比例线段的定义进行判断．
13．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．任意两个菱形 B．任意两个正三角形
C．两个等腰三角形 D．两个矩形
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．
故选：B．
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
14．下列各选项中的两个图形不一定相似的是（ ）
A．两个正方形 B．两个等边三角形
C．各有100°角的两个等腰三角形 D．各有45°角的两个等腰三角形
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个正方形一定相似，故此选项错误；
B、两个等边三角形一定相似，故此选项错误；
C、各有100°角的两个等腰三角形一定相似，故此选项错误；
D、各有45°角的两个等腰三角形，不一定相似，故此选项正确．
故选：D．
【分析】利用相似图形的判定方法：形状相同的图形称为相似形，进而分别判断得出即可．
15．（2016九上·石景山期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（AC＜BC），则AC的长为（结果精确到0.1m）（ ）
A．6.7m B．7.6m C．10m D．12.4m
【答案】B
【知识点】代数式求值；直线、射线、线段
【解析】【解答】∵C为AB的一个黄金分割点，
∴BC= AB≈12.4cm，
∴AC=20﹣12.4=7.6cm，
故答案为：B．
【分析】抓住已知C为AB的一个黄金分割点，可得出BC=，将AB的值代入就可求出BC的长，再求出AC即可。
二、填空题
16．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 .
【答案】87°
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A=∠A′=138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠α=360°-∠A-∠B-∠C=87°．
故答案为：87°．
【分析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，求得∠A的度数；又由四边形的内角和等于360°，可求得∠α的度数．此题主要考查了相似多边形的对应角相等的性质．
17．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= .
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥AC，
∴，
即，
解得：EC=．
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．
18．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，=，DE=6，则EF= .
【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，即=，
∴EF=9．
故答案为9．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，即=，然后根据比例性质求EF．
19．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 厘米．
【答案】4
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设上海与杭州的图上距离为x厘米．
200千米=20000000厘米，
x：20000000=1：5000000，
解得x=4．
故答案为4．
【分析】设上海与杭州的图上距离为x厘米， 根据比例尺的意义列出方程x：20000000=1：5000000，解方程即可．
20．（1）同一张底片印出来的不同尺寸的照片是 图形；
（2）正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是 ； 用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是 ；
（3）下列各组图形中，肯定是相似图形的是 （只填序号）．
①半径不等的两个圆；②边长不等的两个正方形；③周长不等的两个正六边形；④面积不等的两个矩形；③边长不等 的两个菱形．
【答案】相似；全等；相似；①②③
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：（1）同一张底片印出来的不同尺寸的照片是相似图形；
（2）正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是全等；用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是相似；
（3）半径不等的两个圆、边长不等的两个正方形、周长不等的两个正六边形是相似图形，
故答案为：（1）相似；（2）全等；相似；（3）①②③．
【分析】根据相似多边形的概念和对应角相等，对应边成比例两个多边形相似进行解答即可．
三、解答题
21．如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．
【答案】解：由题意得：，
∴x=18，
∵∠C′=360°﹣（63°+129°+78°）=90°，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠C=∠C′=90°，
即α=90°．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】由相似多边形的性质可得，AD：AB=A′D′：A′B′，∠C=∠C′，根据图中表明的数字求解即可．
22．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．
【答案】解：只有正方形才能做到，理由：
设矩形的一边为a，另一边为b，等宽的纸边宽c，
如果要两矩形相似，则a：b=（a﹣2c）：（b﹣2c），
解得a=b，
∴只能是正方形了．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】可先假设矩形成立，根据相似列式计算，最后求得矩形的长和宽相等，则只能是正方形．
23．（2020·灌阳模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵AD=3，AB=5，
∴=．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
24．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
【答案】（1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD AC，
∴AD2=CD AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵AD2=CD AC，
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得 到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CD AC，于是有AD2=CD AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）的结论得到x2=1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．
25．用木条制成如图的形式，A、B、C三点钉上钉子，在D和D′处加上粉笔，当用D′画图时，在D处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？
【答案】解：因为木条制成的图形固定，点D和点D′的相对位置固定，
所以点D处的粉笔画图时，点D′处的粉笔会画出形状相同的图形，这两个图形的形状相同，
因此是相似图形．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】因为A，B，C三点钉上钉子，则这个图形就固定下来，点D和点D′的相对位置确定，所以用D′画图时，D处的笔画的图与它的形状相同，是相似图形．
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