人教新课标A版 高中数学必修5 第二章数列2.3等差数列的前n项和 同步测试
一、单选题
1．已知等差数列，则它的公差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】因为等差数列中，结合前n项和的公式可知，，故选A.
【点评】解决该试题的关键是能利用前15项的和，得到首项与其公差的基本量的关系式，进而求解的大公差的值。
2．等差数列前几项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于 （ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．
【解答】设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，
故选C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．
3．设等差数列的前n 项和为，若，2，也成等差数列，则等于 （ ）
A．10 B．0 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列的首项和公差分别是，前n 项和为，因为，2，也成等差数列，则可知有
故可知答案为0，选B.
【分析】熟练的根据等差数列的通项公式来求解基本量，并求解和，是解决的关键，属于基础题。
4．等差数列前n项和为Sn， a1=1，d=2，则S10=（ ）
A．70 B．80 C．90 D．100
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】由等差数列的求和公式，得，，选D。
【点评】简单题，等差数列的求和公式由两种形式，注意灵活选用。
5．为等差数列，为其前n项和，则( )
A．40 B．35 C．30 D．28
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由，所以，又，所以，故.选A.
【分析】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．
6．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．16
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查的是等差数列前n项和。由可知，即，又，所以；同理由，即，又，所以，。所以当时取最大值。应选A。
7．在等差数列中，，则前13项之和等于( )
A．26 B．13 C．52 D．156
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】在等差数列中，若，则，∴，∴，∴选A.
8．已知等差数列{an}一共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为( )
A．12 B．5 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查的是等差数列。由条件可知，所以。应选C。
9．等差数列中，已知前15项的和，则等于（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由等差数列的前n项和公式得，所以，又，所以选D.
10．（2016高二上·方城开学考）在等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10的值是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10）=120
所以a1+a10=24 故选B
【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和为11的两项之和都相等，即可求出a1+a10的值．
11．在等差数列中，已知，则该数列前11项和( )
A．58 B．88 C．143 D．176
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】由，所以，选B.
12．（人教新课标A版必修5数学2.3等差数列的前n项和同步检测）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（ ）
A．13 B．35 C．49 D．63
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】解答：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2=3，a6=11，得
故选C．
分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，
求出a1和d，代入等差数列的前n项和公式求解即可．
13．（人教新课标A版必修5数学2.3等差数列的前n项和同步检测）已知数列{an}的通项公式为an=2n﹣49，则当Sn取最小值时，项数n（ ）
A．1 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由an=2n﹣49，当n=1时，a1=-47数列，则{an}为等差数列
（n﹣24）2﹣242
结合二次函数的性质可得当n=24时和有最小值
故选：C
【分析】由an=2n﹣49可得数列{an}为等差数列，则可得 ， 结合二次函数的性质可求.
14．（2019高二上·阳江月考）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（ ）
A． B． C．10 D．12
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】
∵公差d=1, S8=4S4,
∴8a1+x8x7=4(4a1+x4x3), 解得a1=, ∴a10=a1+9d=+9=
【分析】解等差数列间题关键在于熟记等差数列定义, 性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.
15．设数列Sn是等差数列{an}的前n项和，若a3=5，a8=11，则S10=（ ）
A．90 B．80 C．100 D．120
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵a3=5，a8=11，
∴a3+a8=a1+a10=5+11=16，
则S10==80，
故选：B．
【分析】根据等差数列前n项和公式，以及等差数列的性质进行求解即可．
二、填空题
16．（人教新课标A版必修5数学2.3等差数列的前n项和同步检测）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于
【答案】－2
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】 由题意，得6＝3×4＋ d，解得d＝－2.
【分析】 本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，认真审题即可。
17．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=
【答案】15
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，
∴，
解得a1=﹣1，d=2，
∴a9=﹣1+8×2=15．
故答案为：15．
【分析】利用等差数列的前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出a9．
18．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=
【答案】27
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵
∴a5=9
∴a2+a5+a8=3a5=27
故答案是27．
【分析】由s9解得a5即可．
19．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1=﹣3，S5=S10，则当Sn取到最小值时n的值为
【答案】7或8
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列{an}的公差为d，
∵a1=﹣3，S5=S10，
∴5×（﹣3）+d=10×（﹣3）+d，
解得d=．∴an=﹣3+（n﹣1）=，
令an≥0，解得n≥8．
故数列的前7项为负数，第8项为0，从第9项开始为正数，
∴前7，8项的和取得最小值．
故答案为：7或8
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得d值，进而可得数列的通项，令an≥0解不等式可得数列从第几项变正数，从而可得答案．
20．（人教新课标A版必修5数学2.3等差数列的前n项和同步检测）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是 ．
【答案】(－3,21)
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵{an}为等差数列，设公差为d，首项为a1，因为S9＝9a1＋36d＝x(a1＋2d)＋y(a1＋5d)，由待定系数法得x＝3，y＝6.因为－3＜3a3＜3,0＜6a6＜18，
两式相加即得－3＜S9＜21.
【分析】利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式及“待定系数法”求解即可．
三、解答题
21．在等差数列{an}中，a1=2，d=﹣1，求S8．
【答案】【解答】∵在等差数列{an}中，a1=2，d=﹣1，∴S8=8×2+=﹣12．
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求解．
22．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1=1，a2是a1与a5的等比中项．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn．
【答案】【解答】（1）等差数列{an}中，公差d≠0，且a1=1，
a2是a1与a5的等比中项，
∴=a1 a5，
即=a1（a1+4d），
∴（1+d）2=1+4d，
解得d=2或d=0（舍去）；
∴数列{an}的通项公式为an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）数列{an}的前n项和为
Sn==n2．
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，利用等比中项列出方程，求出数列{an}的通项公式an；
（2）利用公式求出数列{an}的前n项和Sn．
23．已知等差数列{an}的前项和为Sn，a1=2，S3=S6，试求数列{an}的前多少项的和最大，并求出最大值．
【答案】解：∵等差数列{an}的前项和为Sn，a1=2，S3=S6，
∴，
解得d=﹣，
∴Sn=2n+
∴数列{an}的前4项或前5项的和最大，最大值为5．
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】由等差数列的前n项和公式求出公差，从而求出前n项和，再利用配方法能求出前n项和的最大值．
24．（2016高二上·浦东期中）在等差数列{an}中，已知a1+a2=2，a2+a3=10，求通项公式an及前n项和Sn．
【答案】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2=2，a2+a3=10，∴2a1+d=2，2a1+3d=10，
联立解得a1=﹣1，d=4．
∴通项公式an=﹣1+4（n﹣1）=4n﹣5，
前n项和Sn= =2n2﹣3n
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1+a2=2，a2+a3=10，可得2a1+d=2，2a1+3d=10，联立解得a1，d．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
25．已知{an}是一个等差数列且a2+a8=﹣4，a6=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn的最小值．
【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d．
∵a2+a8=﹣4，a6=2，∴，解得，
∴an=a1+（n﹣1）d=﹣18+4（n﹣1）=4n﹣22．
（2）令an≥0，即4n﹣22≥0，解得n≥6，
可知当n=5时，Sn取得最小值，=﹣50．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a2+a8=﹣4，a6=2，利用通项公式可得，解得即可．
（2）令an≥0，即4n﹣22≥0，解得n≥6，可知当n=5时，Sn取得最小值，利用前n项和公式即可得出．
1 / 1人教新课标A版 高中数学必修5 第二章数列2.3等差数列的前n项和 同步测试
一、单选题
1．已知等差数列，则它的公差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．等差数列前几项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于 （ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．设等差数列的前n 项和为，若，2，也成等差数列，则等于 （ ）
A．10 B．0 C．4 D．8
4．等差数列前n项和为Sn， a1=1，d=2，则S10=（ ）
A．70 B．80 C．90 D．100
5．为等差数列，为其前n项和，则( )
A．40 B．35 C．30 D．28
6．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．16
7．在等差数列中，，则前13项之和等于( )
A．26 B．13 C．52 D．156
8．已知等差数列{an}一共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为( )
A．12 B．5 C．2 D．1
9．等差数列中，已知前15项的和，则等于（ ）
A． B．12 C． D．6
10．（2016高二上·方城开学考）在等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10的值是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
11．在等差数列中，已知，则该数列前11项和( )
A．58 B．88 C．143 D．176
12．（人教新课标A版必修5数学2.3等差数列的前n项和同步检测）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（ ）
A．13 B．35 C．49 D．63
13．（人教新课标A版必修5数学2.3等差数列的前n项和同步检测）已知数列{an}的通项公式为an=2n﹣49，则当Sn取最小值时，项数n（ ）
A．1 B．23 C．24 D．25
14．（2019高二上·阳江月考）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（ ）
A． B． C．10 D．12
15．设数列Sn是等差数列{an}的前n项和，若a3=5，a8=11，则S10=（ ）
A．90 B．80 C．100 D．120
二、填空题
16．（人教新课标A版必修5数学2.3等差数列的前n项和同步检测）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于
17．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=
18．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=
19．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1=﹣3，S5=S10，则当Sn取到最小值时n的值为
20．（人教新课标A版必修5数学2.3等差数列的前n项和同步检测）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是 ．
三、解答题
21．在等差数列{an}中，a1=2，d=﹣1，求S8．
22．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1=1，a2是a1与a5的等比中项．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn．
23．已知等差数列{an}的前项和为Sn，a1=2，S3=S6，试求数列{an}的前多少项的和最大，并求出最大值．
24．（2016高二上·浦东期中）在等差数列{an}中，已知a1+a2=2，a2+a3=10，求通项公式an及前n项和Sn．
25．已知{an}是一个等差数列且a2+a8=﹣4，a6=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】因为等差数列中，结合前n项和的公式可知，，故选A.
【点评】解决该试题的关键是能利用前15项的和，得到首项与其公差的基本量的关系式，进而求解的大公差的值。
2．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．
【解答】设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，
故选C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．
3．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列的首项和公差分别是，前n 项和为，因为，2，也成等差数列，则可知有
故可知答案为0，选B.
【分析】熟练的根据等差数列的通项公式来求解基本量，并求解和，是解决的关键，属于基础题。
4．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】由等差数列的求和公式，得，，选D。
【点评】简单题，等差数列的求和公式由两种形式，注意灵活选用。
5．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由，所以，又，所以，故.选A.
【分析】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．
6．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查的是等差数列前n项和。由可知，即，又，所以；同理由，即，又，所以，。所以当时取最大值。应选A。
7．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】在等差数列中，若，则，∴，∴，∴选A.
8．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查的是等差数列。由条件可知，所以。应选C。
9．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由等差数列的前n项和公式得，所以，又，所以选D.
10．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10）=120
所以a1+a10=24 故选B
【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和为11的两项之和都相等，即可求出a1+a10的值．
11．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】由，所以，选B.
12．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】解答：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2=3，a6=11，得
故选C．
分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，
求出a1和d，代入等差数列的前n项和公式求解即可．
13．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由an=2n﹣49，当n=1时，a1=-47数列，则{an}为等差数列
（n﹣24）2﹣242
结合二次函数的性质可得当n=24时和有最小值
故选：C
【分析】由an=2n﹣49可得数列{an}为等差数列，则可得 ， 结合二次函数的性质可求.
14．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】
∵公差d=1, S8=4S4,
∴8a1+x8x7=4(4a1+x4x3), 解得a1=, ∴a10=a1+9d=+9=
【分析】解等差数列间题关键在于熟记等差数列定义, 性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.
15．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵a3=5，a8=11，
∴a3+a8=a1+a10=5+11=16，
则S10==80，
故选：B．
【分析】根据等差数列前n项和公式，以及等差数列的性质进行求解即可．
16．【答案】－2
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】 由题意，得6＝3×4＋ d，解得d＝－2.
【分析】 本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，认真审题即可。
17．【答案】15
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，
∴，
解得a1=﹣1，d=2，
∴a9=﹣1+8×2=15．
故答案为：15．
【分析】利用等差数列的前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出a9．
18．【答案】27
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵
∴a5=9
∴a2+a5+a8=3a5=27
故答案是27．
【分析】由s9解得a5即可．
19．【答案】7或8
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列{an}的公差为d，
∵a1=﹣3，S5=S10，
∴5×（﹣3）+d=10×（﹣3）+d，
解得d=．∴an=﹣3+（n﹣1）=，
令an≥0，解得n≥8．
故数列的前7项为负数，第8项为0，从第9项开始为正数，
∴前7，8项的和取得最小值．
故答案为：7或8
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得d值，进而可得数列的通项，令an≥0解不等式可得数列从第几项变正数，从而可得答案．
20．【答案】(－3,21)
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵{an}为等差数列，设公差为d，首项为a1，因为S9＝9a1＋36d＝x(a1＋2d)＋y(a1＋5d)，由待定系数法得x＝3，y＝6.因为－3＜3a3＜3,0＜6a6＜18，
两式相加即得－3＜S9＜21.
【分析】利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式及“待定系数法”求解即可．
21．【答案】【解答】∵在等差数列{an}中，a1=2，d=﹣1，∴S8=8×2+=﹣12．
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求解．
22．【答案】【解答】（1）等差数列{an}中，公差d≠0，且a1=1，
a2是a1与a5的等比中项，
∴=a1 a5，
即=a1（a1+4d），
∴（1+d）2=1+4d，
解得d=2或d=0（舍去）；
∴数列{an}的通项公式为an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）数列{an}的前n项和为
Sn==n2．
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，利用等比中项列出方程，求出数列{an}的通项公式an；
（2）利用公式求出数列{an}的前n项和Sn．
23．【答案】解：∵等差数列{an}的前项和为Sn，a1=2，S3=S6，
∴，
解得d=﹣，
∴Sn=2n+
∴数列{an}的前4项或前5项的和最大，最大值为5．
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【分析】由等差数列的前n项和公式求出公差，从而求出前n项和，再利用配方法能求出前n项和的最大值．
24．【答案】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2=2，a2+a3=10，∴2a1+d=2，2a1+3d=10，
联立解得a1=﹣1，d=4．
∴通项公式an=﹣1+4（n﹣1）=4n﹣5，
前n项和Sn= =2n2﹣3n
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1+a2=2，a2+a3=10，可得2a1+d=2，2a1+3d=10，联立解得a1，d．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
25．【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d．
∵a2+a8=﹣4，a6=2，∴，解得，
∴an=a1+（n﹣1）d=﹣18+4（n﹣1）=4n﹣22．
（2）令an≥0，即4n﹣22≥0，解得n≥6，
可知当n=5时，Sn取得最小值，=﹣50．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a2+a8=﹣4，a6=2，利用通项公式可得，解得即可．
（2）令an≥0，即4n﹣22≥0，解得n≥6，可知当n=5时，Sn取得最小值，利用前n项和公式即可得出．
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