浙江省杭州市萧山区部分校2021-2022学年九年级下学期期初数学试卷
1．（2022九下·萧山开学考）抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3）
C．（2，3） D．（﹣2，3）
2．（2022九下·萧山开学考）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
3．（2022九下·萧山开学考）九一(1)班在参加学校4×100 m接力赛时，安排了甲，乙，丙，丁四位选手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022九下·萧山开学考）若线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九下·萧山开学考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（ ）
A．54° B．64° C．27° D．37°
6．（2022九下·萧山开学考）若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣1图象上的三点，则y3，y2，y1的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
7．（2022九下·萧山开学考）在 中，∠C= ，AB=4， ，则 的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．（2022九下·萧山开学考）如图，△ABC的中线AD，BE交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则GF：AG等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5
9．（2022九下·萧山开学考）已知二次函数 （其中m＞0），下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大
B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小
C．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
D．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
10．（2022九下·萧山开学考）如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，D是 的中点，则弦AD的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
11．（2022九下·萧山开学考）计算tan45°＝ .
12．（2022九下·萧山开学考）不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是 ．
13．（2022九下·萧山开学考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则当y＜5时，x的取值范围是 ．
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
14．（2022九下·萧山开学考）如图，在 ABCD中，点E是AD边上一点，AE：ED＝1：2，连接AC、BE交于点F.若S△AEF＝1，则S四边形CDEF＝ .
15．（2022九下·萧山开学考）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB＝3，AB＝8，则OP长为 .
16．（2022九下·萧山开学考）如图，△ABC内接于半径为 的半圆O中，AB为直径，点M是 的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB＝135°且D为BM的中点，则DM的长为 ；BC的长为 .
17．（2022九下·萧山开学考）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．
18．（2022九下·萧山开学考）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
19．（2022九下·萧山开学考）如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，且C为弧BD的中点.若EC＝2，tan∠CEB＝2.
（1）
求证：△ABE∽△DCE，并求出BE的长；
（2）
求⊙O的面积.
20．（2022九下·萧山开学考）某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）求DB的长度(结果保留根号）.
21．（2022九下·萧山开学考）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝ DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长.
22．（2022九下·萧山开学考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A.点B的坐标为（3，5）.
（1）
求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）
点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
（3）
已知C点的坐标为（0，2），当m取何值时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1与线段BC只有一个交点.
23．（2022九下·萧山开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC.
（1）求证：∠ADG＝∠F；
（2）已知AE＝CD，BE＝2.
①求⊙O的半径长；
②若点G是AF的中点，求△CDG与△ADG的面积之比.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；众数
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），结合题目已知的表达式即可得到顶点坐标.
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故答案为：点A在圆内．选C
3．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：甲跑第一棒的概率为 ．故答案为：D．
【分析】甲抽签有4种可能结果．其中第一棒只有1种，根据概率公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP ，
∴
∴.
故答案为：B.
【分析】 利用黄金分割点，结合已知条件可知，将AB代入可求出BP的长，然后根据AP=AB-BP，可求出AP的长.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∴∠CDB＝ ∠BOC＝27°
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义得出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半由∠CDB＝ ∠BOC＝27°得出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（﹣6，y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣1图象上的三点，
∴y1＝71，y2＝17，y3＝1，
∴y3＜y2＜y1.
故答案为：A.
【分析】将A、B、C三点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求得y1，y2，y3，再比较大小即可得解.
7．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
，
∴∠A=60°，
∴即
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出∠A的度数，再利用解直角三角形求出BC的长.
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BE为中线，
∴AE＝CE，
∵GE∥BC，
∴GE为△ADC的中位线，
∴AG＝DG，
∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴ ，
∵GE∥BD，
∴ ，
∴GF＝
DF，
∴GF＝
GD，
∴GF＝
AG，
即GF：AG＝1：3.
故答案为：B.
【分析】先证明出GE为△ADC的中位线，再根据中位线的性质得
，AG＝DG，由BD＝CD进而得出
；由GE∥BD，得
，进而得GF＝
DF，即GF＝
GD，即可求出GF：AG.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的三种形式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：在y＝（x﹣
）（mx﹣4m）中，令y＝0得x＝
或x＝4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝
＝2+
，
∵m＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
故答案为：D.
【分析】根据二次函数两根式求出与x轴交点的横坐标，即x＝
或x＝4，可求出抛物线的对称轴为x=2+
，再根据m＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
，即可求出正确结论.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠AFO＝∠DEO＝90°，
∴AF＝
AC
∵D是弧BC的中点，
∴ ＝
，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∵OA＝OD，
∴△AOF≌△ODE（AAS），
∴OE＝AF＝3，
在Rt△DOE中，DE＝ ＝4，
在Rt△ADE中，AD＝
故答案为：D.
【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，得∠AFO＝∠DEO＝90°，根据垂径定理可得AF＝
AC=3；根据
＝
可得∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，结合OA＝OD，易证明△AOF≌△ODE，
根据全等三角形性质可得OE＝AF＝3，在Rt△DOE中，由勾股定理得DE＝ ＝4，在Rt△ADE中，由勾股定理得AD＝ ，代入数据即可求出AD长.
11．【答案】1
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：tan45°＝1.
【分析】特殊三角函数值即可得出结果.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 从袋中任意摸出一个球是红球的概率是 ：.
故答案为： .
【分析】用袋中红球的数量比上袋中小球的总数量即可得出 从袋中任意摸出一个球是红球的概率.
13．【答案】0＜x＜4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，
所以，x＝4时，y＝5，
在x=2的左侧，y随x的增大而增大，故抛物线是开口向上的，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x＝4时，y＝5，然后再判断出开口方向，写出y＜5时，x的取值范围即可．
14．【答案】11
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∵AD=BC，
∴AE：BC＝1：3，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴ ，
∴ ，
∴S△BCF=9，
∵ ，
∴S△AFB=3，
∴S△ACD =S△ABC = S△BCF+S△AFB=12，
∴S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12﹣1=11.
故答案为：11.
【分析】先根据平行四边形的性质易得 ，根据相似三角形的判定可得△AFE∽△CFB，再根据相似三角形的性质得到△BFC的面积， ，进而得到△AFB的面积，即可得△ABC的面积，再根据平行四边形的性质即可得解.
15．【答案】 或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，
∵AB＝8，
∴BM＝ AB＝ ×8＝4，
∵PB＝3，
∴PM＝1，P′M＝7，
在直角△OBM中，OM＝ ＝3，
在Rt△OPM中，OP＝ ＝ ，
在Rt△OMP′中，OP′＝ ＝ ，
∴OP＝ 或OP＝ .
故答案为： 或 .
【分析】作OM⊥AB于M，由垂径定理可得BM＝AB＝4，结合PB的值可得PM＝1，P′M＝7，然后分别在Rt△OBM、Rt△OPM、Rt△OMP′中，应用勾股定理求解即可.
16．【答案】2；
【知识点】余角、补角及其性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
连接AM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠M＝∠C＝90°，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，
∴∠MAD＝90°﹣∠ADM＝45°，
∴AM＝MD，
∵点D是BM的中点，
∴MD＝BD，
设AM＝x，则BM＝2x，
∴在Rt△AMD中，由勾股定理得AM2+BM2＝AB2，
∴x2+（2x）2＝（2
）2，
∴x＝2，
∴AM＝DM＝2，
∵点M是
的中点，
∴ ＝
∴∠CBM＝∠ABM，
∴tan∠CBM＝tan∠ABM＝
，
∴ ，
∵ ＝
，
∴∠MAC＝∠CBM，
∴tan∠MAC＝
，
∴EM＝
AM＝1，
∴BE＝BM﹣EM＝4﹣1＝3，
在Rt△ECB中，由勾股定理得CE2+BC2＝BE2，
∴CE2+（2CE）2＝32，
∴CE＝
，
∴BC＝2CE＝
，
故答案是：2，
.
【分析】连接AM，由AB是⊙O的直径，得∠M＝∠C＝90°，再由∠ADB＝135°，即可求得∠ADM＝45°，进而得∠MAD＝45°，即AM＝MD，再根据点D是BM的中点，得MD＝BD，设AM＝x，则BM＝2x，在Rt△AMD中，由勾股定理得AM2+BM2＝AB2，即x2+（2x）2＝（2
）2，解得x=2，求得AM＝DM＝2；根据
＝
得∠CBM＝∠ABM，进而得tan∠CBM＝tan∠ABM＝
，即得
，再根据
＝
，得∠MAC＝∠CBM，进而得tan∠MAC＝
，即可求出
EM＝1，BE＝3，再在Rt△ECB中，由勾股定理得CE2+BC2＝BE2，进而可得CE2+（2CE）2＝32，求得CE= ，根据BC=2CE即可求得BC长.
17．【答案】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有1种情况，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
18．【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c的二元一次方程组即可得解；（2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式.
19．【答案】（1）证明：∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABE∽△DCE；
连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CEB＝ ＝2，
∴BC＝2EC＝4，
∴BE＝
（2）解：∵C为弧BD的中点，
∴ ，
∴DC＝BC＝4，
∵△ABE∽△DCE，
∴ ，即 ，
∴AB＝4 ，
∴AO＝2 ，
∴⊙O的面积＝π （2 ）2＝20π
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆的面积
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，由∠A＝∠D，∠B＝∠C即可证明△ABE∽△DCE；连接BC，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，在直角三角形ECB中，由tan∠CEB＝
＝2，得BC＝2EC＝4，再由勾股定理得BE＝
，代入BC和EC值即可求得BE长；
（2）由C为弧BD的中点，得
，即得DC＝BC＝4，再由（1）已证明△ABE∽△DCE，根据相似性质得 ，即 ，求得AB＝4 ，进而得AO＝2 ，再根据⊙O的面积＝π r2，代入半径值即可求解.
20．【答案】（1）解：∵AB=2m，∠ABC=45°，
∴AC=BC==AB·sin45°= =
（2）解：∵∠ADC=30°
∴ CD= = =
∴BD=CD-BC=
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出CD的长；然后根据BD=CD-BC，可求出BD的长.
21．【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴
∵DF＝ DC，
∴
∴
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴
又∵DF＝ DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，由AE=ED得
，由 DF＝DC得，进而得
，根据夹角相等，夹边比值相等可证明△ABE∽△DEF；
（2）根据正方形性质可得ED∥BG，进而得，由DF＝DC，正方形的边长为4，求得ED＝2，CG＝6，再由BG＝BC+CG，代入数据即可求出BG长.
22．【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，整理得，m2﹣4m+3＝0，
解，得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+14＝（x﹣3）2+5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）解：∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1，
∴顶点A的坐标为（m，2m﹣1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x﹣1；
（3）解：由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2+2m﹣1＝2，
解，得m＝1或﹣3，
所以当m＝1或﹣3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝﹣3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是﹣3≤m≤3且m≠1.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2﹣4m+3＝0，解得m=1或m=3，再将m=1或m=3分别代入抛物线解析式中，并将一般式利用配方法转化为顶点式，即可求得顶点A的坐标；
（2）利用配方法将抛物线一般式y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1化为顶点式y＝（x﹣m）2+2m﹣1，则顶点A坐标为（m，2m-1），根据点A坐标记为（x，y），即可求得y=2x-1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上运动，且形状不变，由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2+2m﹣1＝2，解得m＝1或﹣3，因此当m＝1或﹣3时，抛物线经过点C（0，2），结合图象当m＝﹣3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点）；当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，即可求m的取值范围是-3≤m≤3且m≠1.
23．【答案】（1）证明：连接BG，
∵AB是直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠B+∠BAG＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∴∠AEF＝90°，
∴∠F+∠BAF＝90°，
∴∠B＝∠F，
∵∠ADG＝∠B，
∴∠ADG＝∠F
（2）解：①连接OD，
设⊙O的半径为r，则AB＝2r，
∵AE＝CD，BE＝2，
∴CD＝AE＝2r﹣2，
∵CD⊥AB，
∴DE＝ CD＝r﹣1，
∵OD2＝OE2+DE2，
∴r2＝（r﹣2）2+（r﹣1）2，
∴r＝5，r＝1（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径长为5；
②∵∠ADG＝∠F，∠DAG＝∠FAD，
∴△ADG∽△AFD，
∴ ，
∴AD2＝AG AF，
∵DE＝4，AE＝8，
∴AD＝ ，
∵∠GDF＝∠DAF，∠F＝∠F，
∴△FCG∽△FAD，
∴ ，
∴FG FA＝FC FD，
∵点G是AF的中点，
∴AG＝FG，S△ADG＝S△DGF，
∴AD2＝FC FD，
∴80＝DF（DF﹣8），
∴DF＝4+4 （负值舍去），
∴△CDG与△ADG的面积之比＝△CDG与△DGF的面积之比＝CD：DF＝8：（4+4 ）＝ .
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BG，利用直径所对的圆周角是直角，易证∠AGB＝90°，再根据垂直的定义及余角的性质，可证得∠B＝∠F，然后由∠ADG＝∠B，可证得结论。
（2）①连接OD，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，分别用含r的代数式表示出DE，CD，再利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；②根据有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ADG∽△AFD，利用相似三角形的对应边成比例，可证AD2＝AG AF；再利用勾股定理求出AD的长； 有两组对应角相等的两三角形相似，可证得 △FCG∽△FAD ，利用相似三角形的对应边成比例，易证FG FA＝FC FD，再证明AG＝FG，S△ADG＝S△DGF，就可推出AD2＝FC FD，然后可建立关于DF的方程，解方程求出DF的值，根据△CDG与△ADG的面积之比＝△CDG与△DGF的面积之比＝CD：DF，代入计算可求值。
1 / 1浙江省杭州市萧山区部分校2021-2022学年九年级下学期期初数学试卷
1．（2022九下·萧山开学考）抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3）
C．（2，3） D．（﹣2，3）
【答案】A
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；众数
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），结合题目已知的表达式即可得到顶点坐标.
2．（2022九下·萧山开学考）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故答案为：点A在圆内．选C
3．（2022九下·萧山开学考）九一(1)班在参加学校4×100 m接力赛时，安排了甲，乙，丙，丁四位选手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：甲跑第一棒的概率为 ．故答案为：D．
【分析】甲抽签有4种可能结果．其中第一棒只有1种，根据概率公式计算即可.
4．（2022九下·萧山开学考）若线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP ，
∴
∴.
故答案为：B.
【分析】 利用黄金分割点，结合已知条件可知，将AB代入可求出BP的长，然后根据AP=AB-BP，可求出AP的长.
5．（2022九下·萧山开学考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（ ）
A．54° B．64° C．27° D．37°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∴∠CDB＝ ∠BOC＝27°
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义得出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半由∠CDB＝ ∠BOC＝27°得出答案.
6．（2022九下·萧山开学考）若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣1图象上的三点，则y3，y2，y1的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（﹣6，y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣1图象上的三点，
∴y1＝71，y2＝17，y3＝1，
∴y3＜y2＜y1.
故答案为：A.
【分析】将A、B、C三点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求得y1，y2，y3，再比较大小即可得解.
7．（2022九下·萧山开学考）在 中，∠C= ，AB=4， ，则 的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
，
∴∠A=60°，
∴即
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出∠A的度数，再利用解直角三角形求出BC的长.
8．（2022九下·萧山开学考）如图，△ABC的中线AD，BE交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则GF：AG等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BE为中线，
∴AE＝CE，
∵GE∥BC，
∴GE为△ADC的中位线，
∴AG＝DG，
∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴ ，
∵GE∥BD，
∴ ，
∴GF＝
DF，
∴GF＝
GD，
∴GF＝
AG，
即GF：AG＝1：3.
故答案为：B.
【分析】先证明出GE为△ADC的中位线，再根据中位线的性质得
，AG＝DG，由BD＝CD进而得出
；由GE∥BD，得
，进而得GF＝
DF，即GF＝
GD，即可求出GF：AG.
9．（2022九下·萧山开学考）已知二次函数 （其中m＞0），下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大
B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小
C．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
D．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的三种形式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：在y＝（x﹣
）（mx﹣4m）中，令y＝0得x＝
或x＝4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝
＝2+
，
∵m＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
故答案为：D.
【分析】根据二次函数两根式求出与x轴交点的横坐标，即x＝
或x＝4，可求出抛物线的对称轴为x=2+
，再根据m＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
，即可求出正确结论.
10．（2022九下·萧山开学考）如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，D是 的中点，则弦AD的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠AFO＝∠DEO＝90°，
∴AF＝
AC
∵D是弧BC的中点，
∴ ＝
，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∵OA＝OD，
∴△AOF≌△ODE（AAS），
∴OE＝AF＝3，
在Rt△DOE中，DE＝ ＝4，
在Rt△ADE中，AD＝
故答案为：D.
【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，得∠AFO＝∠DEO＝90°，根据垂径定理可得AF＝
AC=3；根据
＝
可得∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，结合OA＝OD，易证明△AOF≌△ODE，
根据全等三角形性质可得OE＝AF＝3，在Rt△DOE中，由勾股定理得DE＝ ＝4，在Rt△ADE中，由勾股定理得AD＝ ，代入数据即可求出AD长.
11．（2022九下·萧山开学考）计算tan45°＝ .
【答案】1
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：tan45°＝1.
【分析】特殊三角函数值即可得出结果.
12．（2022九下·萧山开学考）不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 从袋中任意摸出一个球是红球的概率是 ：.
故答案为： .
【分析】用袋中红球的数量比上袋中小球的总数量即可得出 从袋中任意摸出一个球是红球的概率.
13．（2022九下·萧山开学考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则当y＜5时，x的取值范围是 ．
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
【答案】0＜x＜4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，
所以，x＝4时，y＝5，
在x=2的左侧，y随x的增大而增大，故抛物线是开口向上的，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x＝4时，y＝5，然后再判断出开口方向，写出y＜5时，x的取值范围即可．
14．（2022九下·萧山开学考）如图，在 ABCD中，点E是AD边上一点，AE：ED＝1：2，连接AC、BE交于点F.若S△AEF＝1，则S四边形CDEF＝ .
【答案】11
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∵AD=BC，
∴AE：BC＝1：3，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴ ，
∴ ，
∴S△BCF=9，
∵ ，
∴S△AFB=3，
∴S△ACD =S△ABC = S△BCF+S△AFB=12，
∴S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12﹣1=11.
故答案为：11.
【分析】先根据平行四边形的性质易得 ，根据相似三角形的判定可得△AFE∽△CFB，再根据相似三角形的性质得到△BFC的面积， ，进而得到△AFB的面积，即可得△ABC的面积，再根据平行四边形的性质即可得解.
15．（2022九下·萧山开学考）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB＝3，AB＝8，则OP长为 .
【答案】 或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，
∵AB＝8，
∴BM＝ AB＝ ×8＝4，
∵PB＝3，
∴PM＝1，P′M＝7，
在直角△OBM中，OM＝ ＝3，
在Rt△OPM中，OP＝ ＝ ，
在Rt△OMP′中，OP′＝ ＝ ，
∴OP＝ 或OP＝ .
故答案为： 或 .
【分析】作OM⊥AB于M，由垂径定理可得BM＝AB＝4，结合PB的值可得PM＝1，P′M＝7，然后分别在Rt△OBM、Rt△OPM、Rt△OMP′中，应用勾股定理求解即可.
16．（2022九下·萧山开学考）如图，△ABC内接于半径为 的半圆O中，AB为直径，点M是 的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB＝135°且D为BM的中点，则DM的长为 ；BC的长为 .
【答案】2；
【知识点】余角、补角及其性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
连接AM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠M＝∠C＝90°，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，
∴∠MAD＝90°﹣∠ADM＝45°，
∴AM＝MD，
∵点D是BM的中点，
∴MD＝BD，
设AM＝x，则BM＝2x，
∴在Rt△AMD中，由勾股定理得AM2+BM2＝AB2，
∴x2+（2x）2＝（2
）2，
∴x＝2，
∴AM＝DM＝2，
∵点M是
的中点，
∴ ＝
∴∠CBM＝∠ABM，
∴tan∠CBM＝tan∠ABM＝
，
∴ ，
∵ ＝
，
∴∠MAC＝∠CBM，
∴tan∠MAC＝
，
∴EM＝
AM＝1，
∴BE＝BM﹣EM＝4﹣1＝3，
在Rt△ECB中，由勾股定理得CE2+BC2＝BE2，
∴CE2+（2CE）2＝32，
∴CE＝
，
∴BC＝2CE＝
，
故答案是：2，
.
【分析】连接AM，由AB是⊙O的直径，得∠M＝∠C＝90°，再由∠ADB＝135°，即可求得∠ADM＝45°，进而得∠MAD＝45°，即AM＝MD，再根据点D是BM的中点，得MD＝BD，设AM＝x，则BM＝2x，在Rt△AMD中，由勾股定理得AM2+BM2＝AB2，即x2+（2x）2＝（2
）2，解得x=2，求得AM＝DM＝2；根据
＝
得∠CBM＝∠ABM，进而得tan∠CBM＝tan∠ABM＝
，即得
，再根据
＝
，得∠MAC＝∠CBM，进而得tan∠MAC＝
，即可求出
EM＝1，BE＝3，再在Rt△ECB中，由勾股定理得CE2+BC2＝BE2，进而可得CE2+（2CE）2＝32，求得CE= ，根据BC=2CE即可求得BC长.
17．（2022九下·萧山开学考）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．
【答案】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有1种情况，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
18．（2022九下·萧山开学考）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c的二元一次方程组即可得解；（2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式.
19．（2022九下·萧山开学考）如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，且C为弧BD的中点.若EC＝2，tan∠CEB＝2.
（1）
求证：△ABE∽△DCE，并求出BE的长；
（2）
求⊙O的面积.
【答案】（1）证明：∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABE∽△DCE；
连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CEB＝ ＝2，
∴BC＝2EC＝4，
∴BE＝
（2）解：∵C为弧BD的中点，
∴ ，
∴DC＝BC＝4，
∵△ABE∽△DCE，
∴ ，即 ，
∴AB＝4 ，
∴AO＝2 ，
∴⊙O的面积＝π （2 ）2＝20π
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆的面积
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，由∠A＝∠D，∠B＝∠C即可证明△ABE∽△DCE；连接BC，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，在直角三角形ECB中，由tan∠CEB＝
＝2，得BC＝2EC＝4，再由勾股定理得BE＝
，代入BC和EC值即可求得BE长；
（2）由C为弧BD的中点，得
，即得DC＝BC＝4，再由（1）已证明△ABE∽△DCE，根据相似性质得 ，即 ，求得AB＝4 ，进而得AO＝2 ，再根据⊙O的面积＝π r2，代入半径值即可求解.
20．（2022九下·萧山开学考）某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）求DB的长度(结果保留根号）.
【答案】（1）解：∵AB=2m，∠ABC=45°，
∴AC=BC==AB·sin45°= =
（2）解：∵∠ADC=30°
∴ CD= = =
∴BD=CD-BC=
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出CD的长；然后根据BD=CD-BC，可求出BD的长.
21．（2022九下·萧山开学考）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝ DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长.
【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴
∵DF＝ DC，
∴
∴
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴
又∵DF＝ DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，由AE=ED得
，由 DF＝DC得，进而得
，根据夹角相等，夹边比值相等可证明△ABE∽△DEF；
（2）根据正方形性质可得ED∥BG，进而得，由DF＝DC，正方形的边长为4，求得ED＝2，CG＝6，再由BG＝BC+CG，代入数据即可求出BG长.
22．（2022九下·萧山开学考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A.点B的坐标为（3，5）.
（1）
求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）
点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
（3）
已知C点的坐标为（0，2），当m取何值时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1与线段BC只有一个交点.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，整理得，m2﹣4m+3＝0，
解，得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+14＝（x﹣3）2+5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）解：∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1，
∴顶点A的坐标为（m，2m﹣1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x﹣1；
（3）解：由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2+2m﹣1＝2，
解，得m＝1或﹣3，
所以当m＝1或﹣3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝﹣3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是﹣3≤m≤3且m≠1.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2﹣4m+3＝0，解得m=1或m=3，再将m=1或m=3分别代入抛物线解析式中，并将一般式利用配方法转化为顶点式，即可求得顶点A的坐标；
（2）利用配方法将抛物线一般式y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1化为顶点式y＝（x﹣m）2+2m﹣1，则顶点A坐标为（m，2m-1），根据点A坐标记为（x，y），即可求得y=2x-1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上运动，且形状不变，由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2+2m﹣1＝2，解得m＝1或﹣3，因此当m＝1或﹣3时，抛物线经过点C（0，2），结合图象当m＝﹣3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点）；当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，即可求m的取值范围是-3≤m≤3且m≠1.
23．（2022九下·萧山开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC.
（1）求证：∠ADG＝∠F；
（2）已知AE＝CD，BE＝2.
①求⊙O的半径长；
②若点G是AF的中点，求△CDG与△ADG的面积之比.
【答案】（1）证明：连接BG，
∵AB是直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠B+∠BAG＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∴∠AEF＝90°，
∴∠F+∠BAF＝90°，
∴∠B＝∠F，
∵∠ADG＝∠B，
∴∠ADG＝∠F
（2）解：①连接OD，
设⊙O的半径为r，则AB＝2r，
∵AE＝CD，BE＝2，
∴CD＝AE＝2r﹣2，
∵CD⊥AB，
∴DE＝ CD＝r﹣1，
∵OD2＝OE2+DE2，
∴r2＝（r﹣2）2+（r﹣1）2，
∴r＝5，r＝1（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径长为5；
②∵∠ADG＝∠F，∠DAG＝∠FAD，
∴△ADG∽△AFD，
∴ ，
∴AD2＝AG AF，
∵DE＝4，AE＝8，
∴AD＝ ，
∵∠GDF＝∠DAF，∠F＝∠F，
∴△FCG∽△FAD，
∴ ，
∴FG FA＝FC FD，
∵点G是AF的中点，
∴AG＝FG，S△ADG＝S△DGF，
∴AD2＝FC FD，
∴80＝DF（DF﹣8），
∴DF＝4+4 （负值舍去），
∴△CDG与△ADG的面积之比＝△CDG与△DGF的面积之比＝CD：DF＝8：（4+4 ）＝ .
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BG，利用直径所对的圆周角是直角，易证∠AGB＝90°，再根据垂直的定义及余角的性质，可证得∠B＝∠F，然后由∠ADG＝∠B，可证得结论。
（2）①连接OD，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，分别用含r的代数式表示出DE，CD，再利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；②根据有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ADG∽△AFD，利用相似三角形的对应边成比例，可证AD2＝AG AF；再利用勾股定理求出AD的长； 有两组对应角相等的两三角形相似，可证得 △FCG∽△FAD ，利用相似三角形的对应边成比例，易证FG FA＝FC FD，再证明AG＝FG，S△ADG＝S△DGF，就可推出AD2＝FC FD，然后可建立关于DF的方程，解方程求出DF的值，根据△CDG与△ADG的面积之比＝△CDG与△DGF的面积之比＝CD：DF，代入计算可求值。
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