中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题01 数形结合之轴对称的性质易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=140°，则∠2为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．将长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使得，其中EF，EG为折痕，则的度数为（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．40° B．70° C．80° D．140°
4．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
5．如图的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选在（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
6．如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
7．将一张纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数是（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，∠A度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．20° B．30° C．40° D．45°
9．一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
10．如图，直线AB、CD相 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0 B．6 C．7 D．9
二、填空题
11．如图,∠AOB=30 ,点M、N分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是射线OB、OA上的动点,点P为∠AOB内一点,且OP＝8,则△PMN的周长的最小值＝___________.2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．如图，点P关于OA，OB的对称点分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为______cm．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．如图，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，再将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，点D的对应点为，设，则的大小为________．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．将一张长方形的纸按照如图所示折叠后，点C、D两点分别落在点、处，若EA平分，则_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．如图，小明用一张等腰直角三角形纸片做折纸实验，其中∠C=90°，AC=BC=10，AB=10，点C关于折痕AD的对应点E恰好落在AB边上，小明在折痕AD上任取一点P，则△PEB周长的最小值是___________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．如图，在Rt△ABC中，，点为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合，则∠CEF的度数为________．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．如图，长方形ABCD点E，F分别在边AB，CD上，连接EF将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点处，得折痕EN，点G在CD上，，则∠BEM为___度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．如图，把一张长方形的纸片沿着折叠，点、分别落在、的位置，且．则的度数为__________．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
20．ABCD是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别边AD、BC、AD上的三点，连接EF、FH．
（1）将长方形纸片的ABCD按如图①所 ( http: / / www.21cnjy.com )示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D′，点B′在FC′上，则∠EFH的度数为 ；www.21-cn-jy.com
（2）将长方形纸片的AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD按如图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D'（B′、C′的位置如图所示），若∠B'FC′＝16°，求∠EFH的度数；2-1-c-n-j-y
（3）将长方形纸片的ABCD按如图③所示的 ( http: / / www.21cnjy.com )方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′，D′（B′、C′的位置如图所示）．若∠EFH＝n°，则∠B′FC′的度数为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21．已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点B、点C都在格点（正方形的顶点）上．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)的面积等于______个平方单位；
(2)以BC为边画出所有与全等的三角形；
(3)在直线l上确定点P，使的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）
22．同学们，我们己学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），己知，请你画出它的角平分线，并填空：因为OC是的平分线，所以∠______=∠______21教育名师原创作品
（2）如图（2），己知，若将沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分．
理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以_______，所以射线_________是∠_________的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在OC上的D处并且使OD过点C，折痕为OF．直接利用（2）的结论；
①若，求的度数．（写出计算说理过程）
②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程）
( http: / / www.21cnjy.com / )
23．如图，P为内一定点，M、N分别是射线OA、OB上的点，
（1）当周长最小时，在图中画出（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，已知，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
24．如图，长方形纸片ABCD，点E，F ( http: / / www.21cnjy.com )，C分别在边AD，AB，CD上．将∠AEF沿折痕EF翻折，点A落在点A'处；将∠DEG沿折痕EG翻折，点D落在点D'处．【版权所有：21教育】
（1）如图1，若∠AEF＝40°，∠DEG＝35°，求∠A'ED'的度数；
（2）如图1，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）；
（3）如图2，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。2-1-c-n-j-y
专题01 数形结合之轴对称的性质易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=140°，则∠2为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．60° C．70° D．80°
【标准答案】C
【思路指引】
如图（见解析），先根据长方形的性质可得，再根据平行线的性质可得的度数，然后根据折叠的性质即可得．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
如图，由长方形的性质得：
由折叠的性质得：，即
解得
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )【名师指路】
本题考查了平行线的性质、折叠的性质，掌握理解折叠的性质是解题关键．
2．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．
【详解详析】
第一个图案是轴对称图形，
第二个图案不是轴对称图形，
第三个图案是轴对称图形，
第四个图案不是轴对称图形，
综上所述：是轴对称图形的图案有2个，
故选：B．
【名师指路】
本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
3．将长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使得，其中EF，EG为折痕，则的度数为（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．40° B．70° C．80° D．140°
【标准答案】B
【思路指引】
由折叠可得，∠AEF=∠AEA'，∠BEG=∠BEB'，再根据∠AEF+∠BEG=（∠AEA'+∠BEB'）进行计算即可．
【详解详析】
解：由折叠可得，∠AEF=∠AEA'，∠BEG=∠BEB'，
∵∠A'EB′=40°，
∴∠AEA'+∠BEB'=140°，
∴∠AEF+∠BEG= （∠AEA'+∠BEB'）=×140°=70°，
故选B．
【名师指路】
本题考查翻折变换、矩形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
4．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由折叠可知 ，进而得到，过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M，由BD＝4AD得到，进而得到，再利用三角形面积公式推出，即可求解．21·cn·jy·com
【详解详析】
解：由折叠可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴①，
过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ， ，
∵BD＝4AD，
∴ ，
∴ ②，
①－②得： ，
∵CM⊥AB，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
故选：C．
【名师指路】
本题考查折叠的性质、全等三角形的性质及三角形面积，解题关键是正确作出辅助线．
5．如图的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选在（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
【标准答案】A
【思路指引】
首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．
【详解详析】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点．
故选：A．
【名师指路】
此题考查了最短路径问题，成轴对称图形的性质．解题的关键是作出其中一点关于直线a的对称点，对称点与另一点的连线和直线a的交点就是所要找的点．【出处：21教育名师】
6．如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CED的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解详析】
解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵△CDE由△CDB折叠而成，
∴∠CED=∠B=65°，
∵∠CED是△AED的外角，
∴∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了三角形内角和定理，翻折变换的性质，根据题意得出∠ADE=∠CED-∠A是解题关键．
7．将一张纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据轴对称的性质，得，，根据平角的性质，推导得；根据角度和差的性质，得，通过计算即可得到答案．
【详解详析】
∵、为两条折痕
∴，
∵
∴，即
∵
∴
∵
∴
∴
故选：D．
【名师指路】
本题考查了轴对称、角度和差运算的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、角度和差运算的性质，从而完成求解．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，∠A度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．20° B．30° C．40° D．45°
【标准答案】B
【思路指引】
通过三角形全等证得三个角相等，再通过直角三角形两锐角互余求得三个角都是30°
【详解详析】
∵该图为折叠图形
∴△ECB≌△EDB
∴∠EBC=∠EBD，∠EDB=∠C=90°，
又D为AB中点
∴AD=BD
在△ADE和△BDE中
∴ △ADE≌△BDE
∴∠EAD=∠EBD
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
即∠A+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠A==30°
故选B．
【名师指路】
本题考查折叠问题、全等三角形判定与性质、三角形内角和，掌握这些是本题关键．
9．一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】A
【思路指引】
由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题．
【详解详析】
由第一次对折后中间有一个矩形，排除B、C；
由第二次折叠矩形正在折痕上，排除D；
故选：A．
【名师指路】
本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力，关键是由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解答．
10．如图，直线AB、CD ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝3.5，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0 B．6 C．7 D．9
【标准答案】B
【思路指引】
由对称得OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【详解详析】
解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝3.5，OP＝OP2＝3.5，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜7，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了轴对称的性质和三角形三边的关系的应用，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形三边的关系．
二、填空题
11．如图,∠AOB=30 ,点M、N分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是射线OB、OA上的动点,点P为∠AOB内一点,且OP＝8,则△PMN的周长的最小值＝___________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】8
【详解详析】
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=8．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8．
故答案为8．
12．如图，点P关于OA，OB的对 ( http: / / www.21cnjy.com )称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为______cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】18
【思路指引】
根据对称轴的意义，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出△PMN的周长．
【详解详析】
∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm．
【名师指路】
本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与 ( http: / / www.21cnjy.com )对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
13．如图，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，再将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，点D的对应点为，设，则的大小为________．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】16
【思路指引】
由折叠的性质可得∠A′BC=∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠D′BE=∠DBE，根据∠ABC+∠CBE+∠DBE=180°，∠A′BD′=∠CBA′+∠D′BE ∠CBE，即可得解.
【详解详析】
解：由折叠的性质可得∠A′BC=∠ABC，∠D′BE=∠DBE，
∵∠ABC+∠CBE+∠DBE=180°，∠ABC=35°,∠EBD=63°，
∴∠CBE=180°-∠ABC-∠DBE=180°-35°-63°=82°，
∴∠A′BD′=∠CBA′+∠D′BE ∠CBE=35°+63°-82°=16°.
故答案为：16.
【名师指路】
本题考查了折叠问题，角度的计算，解题的关键是掌握折叠的性质.
14．将一张长方形的纸按照如图所示折叠后，点C、D两点分别落在点、处，若EA平分，则_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】120°
【思路指引】
由折叠的性质，则，由角平分线的定义，得到，然后由邻补角的定义，即可求出答案．
【详解详析】
解：根据题意，由折叠的性质，则
，
∵EA平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：120°．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出的度数．
15．如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据A与B表示的数求出AB的长，再由折叠后AB的长，求出BC的长，即可确定出C表示的数．
【详解详析】
解：∵A，B表示的数为-7，3，
∴AB=3-（-7）=4+7=10，
∵折叠后AB=2，
∴BC==4，
∵点C在B的左侧，
∴C点表示的数为3-4=-1．
故答案为：-1．
【名师指路】
本题考查了数轴，折叠的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
16．如图，小明用一张等腰直角三角形纸片做折纸实验，其中∠C=90°，AC=BC=10，AB=10，点C关于折痕AD的对应点E恰好落在AB边上，小明在折痕AD上任取一点P，则△PEB周长的最小值是___________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
连接CE，根据折叠和等腰三角形性质得出当 ( http: / / www.21cnjy.com )P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．
【详解详析】
解：连接CE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE=10，∠CAD=∠EAD，
∴BE=10-10，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=10+10-10=10．
故答案为：10．
【名师指路】
本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，关键是求出P点的位置．
17．如图，在Rt△ABC中，，点为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合，则∠CEF的度数为________．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】90°
【思路指引】
由条件得到∠B+∠A=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )再根据折叠前后对应角相等得到∠B=∠CED，∠A=∠FED，进而∠CEF=∠CED+∠FED=∠B+∠A=90°．
【详解详析】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵△BCD沿CD翻折，使点落在点处，将沿翻折，点A恰好与点E重合，
由折叠前后对应角相等可知：
∴∠B=∠CED，∠A=∠FED，
∴∠CEF=∠CED+∠FED=∠B+∠A=90°，
故答案为：90°．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质及直角三角形两个锐角互余等知识点，熟练掌握折叠的性质是解决本类题的关键．
18．如图，长方形ABCD点E，F分别在边AB，CD上，连接EF将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点处，得折痕EN，点G在CD上，，则∠BEM为___度．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】75
【思路指引】
由题意易得，则有，然后可得，，进而可得，最后问题可求解．
【详解详析】
解：由折叠的性质可得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为75．
【名师指路】
本题主要考查折叠的性质、角的和差关系及领补角，熟练掌握折叠的性质、角的和差关系及领补角是解题的关键．21世纪教育网版权所有
19．如图，把一张长方形的纸片沿着折叠，点、分别落在、的位置，且．则的度数为__________．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】##度
【思路指引】
根据轴对称的性质，得，从而推导得；根据平角的性质，列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解详析】
∵一张长方形的纸片沿着折叠，点、分别落在、的位置
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程、角、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、角的运算、轴对称的性质，从而完成求解．
三、解答题
20．ABCD是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别边AD、BC、AD上的三点，连接EF、FH．
（1）将长方形纸片的ABCD按如图①所 ( http: / / www.21cnjy.com )示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D′，点B′在FC′上，则∠EFH的度数为 ；
（2）将长方形纸片的ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D按如图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D'（B′、C′的位置如图所示），若∠B'FC′＝16°，求∠EFH的度数；
（3）将长方形纸片的ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )按如图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′，D′（B′、C′的位置如图所示）．若∠EFH＝n°，则∠B′FC′的度数为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）90°；（2）98°；（3）180°﹣2n°
【思路指引】
（1）由折叠可得∠BFE＝∠B′FE，∠CFH＝∠C′FH，进而得出∠EFH＝（∠B′FB+∠C′FC），即可得出结果；
（2）可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，根据2x+16°+2y＝180°，得出x+y＝82°，进而得到∠EFH；
（3）可设∠BFE＝∠B′FE＝x ( http: / / www.21cnjy.com )，∠CFH＝∠C′FH＝y，即可得到x+y＝180°﹣n°，再根据∠EFH＝∠B′FE+∠C′FH﹣∠B′FC′＝x+y﹣∠B′FC′，即可得到∠B′FC′．
【详解详析】
解：（1）∵沿EF、FH折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE，∠CFH＝∠C′FH，
∵点B′在C′F上，
∴∠EFH＝∠B′FE+∠C′FH＝（∠B′FB+∠C′FC）＝×180°＝90°，
故答案为：90°；
（2）∵沿EF、FH折叠，
∴可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，
∵∠B'FC′＝16°，
∴2x+16°+2y＝180°，
∴x+y＝82°，
∴∠EFH＝x+16°+y＝16°+82°＝98°；
（3）∵沿EF、FH折叠，
∴可设∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y，
∴∠EFH＝180°﹣（∠BFE+∠CFH）＝180°﹣（x+y），
∵∠EFH＝n°，
∴x+y＝180°﹣n°，
∵∠EFH＝∠B′FE+∠C′FH﹣∠B′FC′＝x+y﹣∠B′FC′，
∴∠B′FC′＝x+y﹣∠EFH＝180°﹣n°﹣n°＝180°﹣2n°，
故答案为：180°﹣2n°．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质，角度的和差，平角的定义，掌握角度的计算是解题的关键．
21．已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点B、点C都在格点（正方形的顶点）上．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)的面积等于______个平方单位；
(2)以BC为边画出所有与全等的三角形；
(3)在直线l上确定点P，使的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）
【标准答案】(1)3
(2)见解析
(3)见解析
【思路指引】
（1）利用割补法求三角形面积=长方形面积-3个三角形面积即可；
（2）以BC的垂直平分线为对 ( http: / / www.21cnjy.com )称轴，作出点A的对称点A1，连结A1B、A1C，得出△A1CB使△ABC≌△A1CB，以BC所在直线为对称轴作点A的对称点A2，连结A2B、A2C，得出△A2CB使△ABC≌△A2BC，以BC中点为旋转中心，将点A绕旋转中心旋转180°，得点A3，连结A3B、A3C，得出△A3CB使△ABC≌△A3CB；
（3）作点B关于直线l的对称点B′，根据两点之间线段最短，连结AB′交直线l于P即可．
(1)
解：S△ABC=2×4-
(2)
根据勾股定理AB==A1C=A2B=A3C，AC==A1B=A3B=A2C
在△ABC和△A1CB中，
，
∴△ABC≌△A1CB（SSS），
在△ABC和△A2BC中，
，
∴△ABC≌△A2BC（SSS），
在△ABC和△A3CB中，
，
∴△ABC≌△A3CB（SSS），
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)
作点B关于l的对称点B′，连结AB′，交直线l于P，
∵点B关于l的对称点B′
∴PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′≥AB′
当A、P、B′三点共线时最短，PA+PB最短= AB′，
【名师指路】
本题考查用割补法求三角形面积，利用轴对称性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，中心对称性质画网格图形，最短路径，三角形全等判定，勾股定理，掌握用割补法求三角形面积，利用轴对称性质，中心对称性质画网格图形，最短路径，三角形全等判定，勾股定理是解题关键．21·世纪*教育网
22．同学们，我们己学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），己知，请你画出它的角平分线，并填空：因为OC是的平分线，所以∠______=∠______21*cnjy*com
（2）如图（2），己知，若将沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分．
理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以_______，所以射线_________是∠_________的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在OC上的D处并且使OD过点C，折痕为OF．直接利用（2）的结论；
①若，求的度数．（写出计算说理过程）
②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）∠AOC，∠BOC；（2）∠AOC，OC，∠AOB；（3）①，过程见解析，②90°，始终是90°，过程见解析．
【思路指引】
(1)根据角的平分线的定义解答即可；
(2)根据折叠的意义解答即可；
(3)①根据折叠的意义，平角的定义，角平分线的定义解答即可；②根据计算探究规律．
【详解详析】
解：（1）如图(1)，根据角的平分线的定义，知∠AOC＝∠BOC，
故答案为：∠AOC，∠BOC；
（2）如图(2)，AOC，所以射线OC_是∠AOB的角平分线，
故答案为：∠AOC，OC，∠AOB；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1） （2） （3）
（3）①由（2）“翻折”结论得
，，
而
，
所以，
所以；
②当时，同理可得，，
，
所以，
综上所述，发现始终是90°．
【名师指路】
本题考查了角的平分线，角的平分线的基本作图，折叠的意义，折叠的应用，熟练掌握角的平分线的意义和折叠的意义是解题的关键．
23．如图，P为内一定点，M、N分别是射线OA、OB上的点，
（1）当周长最小时，在图中画出（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，已知，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析，（2）35°
【思路指引】
（1）作P关于OA，OB ( http: / / www.21cnjy.com )的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，于是得到结论；21cnjy.com
（2）根据对称的性质可以证得∠OPN+∠OPM＝∠OP2N+∠OP1M＝110°，∠P1OP2＝2∠AOB，根据三角形内角和即可求解．
【详解详析】
解：（1）作P关于OA，OB的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )点P1，P2．连接OP1，OP2．分别交OA、OB于点M、N，△PMN的周长为P1 P2长，此时周长最短；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，
∴∠P1OP＝2∠MOP，∠OP1M＝∠OPM，
同理，∠P2OP＝2∠NOP，∠OP2N＝∠OPN，
∴∠P1OP2＝2∠AOB，
∵∠OPN+∠OPM＝∠OP2N+∠OP1M＝110°，
∴∠P1OP2＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝35°．
【名师指路】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出图形，利用对称得出角之间的关系是解题的关键．
24．如图，长方形纸片ABCD，点E， ( http: / / www.21cnjy.com )F，C分别在边AD，AB，CD上．将∠AEF沿折痕EF翻折，点A落在点A'处；将∠DEG沿折痕EG翻折，点D落在点D'处．www-2-1-cnjy-com
（1）如图1，若∠AEF＝40°，∠DEG＝35°，求∠A'ED'的度数；
（2）如图1，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）；
（3）如图2，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路指引】
（1）由折叠的性质，得到，，然后由邻补角的定义，即可求出答案；
（2）由折叠的性质，先求出，然后求出∠FEG的度数即可；
（3）由折叠的性质，先求出，然后求出∠FEG的度数即可．
【详解详析】
解：（1）将∠AEF沿折痕EF翻折，点A落在点A'处；将∠DEG沿折痕EG翻折，点D落在点D'处，
∴，，
∴；
（2）根据题意，则
，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）根据题意，
，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【名师指路】
本题考查了折叠的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，正确得到，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
