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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题02 专题探究之与线有关的动态问题难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、填空题
1．如图，甲、乙两个动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环形运动，乙点按逆时针方向环形运动．若甲的速度是乙的速度的倍．则它们第次相遇在边_________上．21·cn·jy·com
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2．在平面直角坐标系中，点P是直线上的动点，过点P作直线l垂直于x轴，直线l与直线相交于点Q，设点P的横坐标为m，当PQ >6时，m的取值范围是____________．
3．数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处、按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，那么线段的长度为______．21·世纪*教育网
4．线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为________．www-2-1-cnjy-com
5．如图1，点C在线段AB上，图中共 ( http: / / www.21cnjy.com )有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．【版权所有：21教育】
（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知AB＝15c ( http: / / www.21cnjy.com )m．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．21教育名师原创作品
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6．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．【来源：21·世纪·教育·网】
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7．如图所示：已知，，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过____后的距离为．
二、解答题
8．如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P Q分别从A B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．21*cnjy*com
（1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________；
（2）在（1）的条件下，若，求t的值；
（3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
9．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是____ ( http: / / www.21cnjy.com )________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？21*cnjy*com
10．如图，点是线段的中点，，点将线段分为两部分，．
（1）求线段的长．
（2）点在线段上，若点距离点的长度为，求线段的长．
11．如图，数轴上点B表示的数为﹣4，点A表示的数为10．
（1）求A、B两点间的距离；
（2）若动点P、Q分别以每秒8个单位长度和每秒4个单位长度的速度从点A、B同时出发沿数轴向负方向作匀速运动，当点P的运动时间为t秒时，
①写出点P、Q所表示的数；（用含t的代数式表示）
②若数轴上的点M到点P和点Q的距离相等，求的值．
12．如图，M是线段AB上一点， ( http: / / www.21cnjy.com )且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．
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（1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值．
（2） 若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长．
13．如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、CB的中点．
（1）求线段MN的长度．
（2）若C为线段AB上任意一点且满足AC+CB＝acm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？请你用一句简洁的话描述你发现的结论．2·1·c·n·j·y
（3）若C为线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB＝bcm，M、N分别为AC、CB的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形并写出你的结论．
14．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度．
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．
（3）动点P、Q分别从A、B同 ( http: / / www.21cnjy.com )时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
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15．如图，线段AB＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )5厘米，P是AB上任一点，C、D两点分别从A、P同时向B点运动，且C点的运动速度为3厘米/秒，D点的运动速度为2厘米/秒，运动的时间为t秒．
（1）若BP＝10厘米．
①运动1秒时，CP＝ 厘米，DB＝ 厘米，CD＝ 厘米；
②当C在线段AP上运动时，试说明BD＝2CD；
（2）如果运动3秒时，CD＝2厘米，试探索PB的值．
16．在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是的暗点，例如，如图1，在数轴上分别表示数，-1，2，1，0，则的点C是的亮点，又是的暗点；点D是的亮点，又是的暗点．
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（1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为－2，点N表示的数为4，则的亮点表示的数是 ，的暗点表示的数是 ；21世纪教育网版权所有
（2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所 ( http: / / www.21cnjy.com )表示的数为－20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．21cnjy.com
①求当t为何值时，P是的暗点；
②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．
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17．（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段 ( http: / / www.21cnjy.com )AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，【出处：21教育名师】
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（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
18．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC=2，求AB的长；
（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系；2-1-c-n-j-y
【解决问题】（3）如图②，现 ( http: / / www.21cnjy.com )有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；www.21-cn-jy.com
（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．
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19．如图，线段AB＝20厘米，点C ( http: / / www.21cnjy.com )以每秒钟2厘米的速度从点A匀速运动到点B，当点C与点B重合时运动停止．点M为线段AC中点，点N为线段BC中点．设运动时间为t（t≠0）秒．
（1）当点C与点B重合时，t＝ 秒；
（2）在运动过程中，MN的长度是否与t的取值有关？若有关，请用含有t的代数式表示线段MN的长；若无关，请利用代数式的相关知识说明理由．
（3）在点C开始运动的同时，点P以每秒钟4厘米的速度从点B出发，在点B和点M之间做往返运动，当点C停止运动时，点P也停止运动．
①当点P与点M重合时，求线段CN的长．
②在运动时间t从第4秒开始到停止运动的过程中，请直接写出当PM＝3PC时的t值．
20．如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）
（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ；
（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；
（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．
求：①P、Q相遇时求P对应的数；
②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度 ( http: / / www.21cnjy.com )从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果）
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本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题02 专题探究之与线有关的动态问题难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、填空题
1．如图，甲、乙两个动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环形运动，乙点按逆时针方向环形运动．若甲的速度是乙的速度的倍．则它们第次相遇在边_________上．【出处：21教育名师】
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【标准答案】AB
【思路指引】
因为甲的速度是乙的速度的3倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，4次一个循环，从而不难求得它们第2019次相遇位置.
【详解详析】
每次相遇的位置依次是：DC、AD、BA、BC，依此循环.
故它们第2019次相遇位置与第三次相同，在AB边上.
【名师指路】
本题难度中等，主要考查学生对规律的总结能力，发现规律是解题的关键.
2．在平面直角坐标系中，点P是直线上的动点，过点P作直线l垂直于x轴，直线l与直线相交于点Q，设点P的横坐标为m，当PQ >6时，m的取值范围是____________．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意分别设，，令进行计算即可得解．
【详解详析】
设，
∵PQ >6
∴
∴
∴，
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数的动点问题，掌握通过设点的方式用绝对值表示两点之间距离的方法是解决本题的关键．【版权所有：21教育】
3．数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处、按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，那么线段的长度为______．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×9，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×9，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×9，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度．
【详解详析】
解：由题可知：，
此第一次跳动到的中点处时，，
同理，第二次从点跳动到处，，
同理，跳动次后，，
故线段的长度为：，
故答案为．
【名师指路】
本题考查了两点间的距离，是一道找规律 ( http: / / www.21cnjy.com )的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
4．线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为________．
【标准答案】或6
【思路指引】
根据时间与速度可以分别表示出AP、BQ，结合分别从相遇前和相遇后，利用线段的和差关系计算出的值．
【详解详析】
解：此题可分为两种情况进行讨论：
①如图1，
点P、Q相遇前，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ，
当时，t＝2(15－t－2t)，
解得t＝；
②如图2，
点P、Q相遇后，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB，
当时，t＝2(t＋2t－15)，
解得t＝6．
综上所述：的值为或6．
故答案为：或6．
【名师指路】
此题考查了与线段有关的动点问题，正确理解题意，利用线段的和差关系列出方程是解题的关键．
5．如图1，点C在线段AB上，图中 ( http: / / www.21cnjy.com )共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知AB＝15c ( http: / / www.21cnjy.com )m．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．
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【标准答案】 是 7.5或
【思路指引】
（1）根据“巧点”的定义即可求解；
（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动 ( http: / / www.21cnjy.com )时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，分①Q为AP中点；②AQ＝2PQ；③PQ＝2AQ；进行讨论求解即可．
【详解详析】
解：（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点”
（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，
A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，
①Q为AP中点，，∴t＝7.5；
②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，
∵AQ＝2PQ，
∴15﹣t＝2（3t﹣15），
∴；
③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），
∴t＝97.5（舍去）．
综上所述：t＝7.5或．
故答案为：（1）是；（2）7.5或．
【名师指路】
本题主要考查两点间的距离及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
6．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
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【标准答案】1或
【思路指引】
设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解详析】
设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），
即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，
∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【名师指路】
考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
7．如图所示：已知，，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过____后的距离为．
【标准答案】0.9或1.1或或．
【思路指引】
设经过t秒后PQ距离为0.5cm ( http: / / www.21cnjy.com )，然后分情况分别进行考虑：①当P、Q在AB上且P在Q左侧时；②当P、Q在AB上且P在Q右侧时；③当Q从A返回还未到B时；④当Q从A返回运动并超过B点时；⑤当Q超过P时．
【详解详析】
解：设经过t秒后PQ距离为0.5cm，
①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图1所示：
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由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，
②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图2所示：
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由题意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s，
③Q到达A所用时间为5÷3=s，
当Q从A返回还未到B时，如图3所示：
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由题意得：，解得：t=4.5s，但此时AQ= cm>5cm，不符合题意；
④当Q从A返回运动并超过B点时，如图4所示：
此时Q从B-A-B用时为：s，
由题意得：，
解得：s；
⑤当Q超过P时，如图5所示：
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由题意得：，
解得：s，
综上所述，当P、Q相距0.5cm时，经过的时间为0.9s或1.1s或或，
故答案为：0.9或1.1或或．
【名师指路】
本题考查两点间的距离，解一元一次方程，涉及列代数式，分类讨论的思想，解题的关键是分哪几种情况讨论．
二、解答题
8．如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P Q分别从A B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________；
（2）在（1）的条件下，若，求t的值；
（3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
【标准答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，见解析
【思路指引】
（1）由点A表示的数为，AO＝2OB可知，可求出OB，AB长，从而得出结论；
（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝6+t，分别代入2OP﹣OQ＝9列式即可求出t的值；
（3））设线段的长为b，则 ，分两种情况去绝对值，求出t的值，即可解决问题．
【详解详析】
（1）∵点A表示的数为，AO＝2OB，
∴AO＝12，OB＝6，
∴AB＝18，
∴线段中点表示的数为3．
故答案是：6；﹣3；
（2）当P Q相遇时，（秒），
∴．当点P在上时，，
∵，
∴，，符合；
当点P在原点O右侧时，，
∵，，
，符合．
综上所述，若，t的值为或13.
（3）设线段的长为b，则．
∵点P在线段上运动，
∴．．
若，则，
∴，
∴，
解得．
∴，
又∵，
∴；
若，则，
∴，
∴，
解得．
∴．
∵．
∴．
综上所述，线段与线段之间的数量关系为或．
【名师指路】
本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示 ( http: / / www.21cnjy.com )、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．【来源：21·世纪·教育·网】
9．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）；
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？
【标准答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5
【思路指引】
（1）根据非负数的和等于0，则=0，=0，进而即可求解；
（2）分别用含t的代数式表示PM=4t，PN=4t-8，进而即可求解；
（3）分别表示出P、Q所在点表示的数，再列出方程，即可求解．
【详解详析】
解：（1）∵，≥0，≥0，
∴=0，=0，即：a=10，b=-6，
∴A表示的数是10，点B表示的数是-6，
∵动点P从点A出发，以毎秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是：10-8t，
故答案是：10，-6，10-8t；
（2）当点P在点B的左侧运动时，PA=8t，PB=8t-16，
∵M、N分别是PA、PB的中点，
∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8，
∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；
（3）设运动t秒，P所在点表示的数为：10-8t，Q所在点表示的数为：-6-4t，
∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．
【名师指路】
本题主要考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，用代数式表示出两点间的距离公式，是解题的关键．
10．如图，点是线段的中点，，点将线段分为两部分，．
（1）求线段的长．
（2）点在线段上，若点距离点的长度为，求线段的长．
【标准答案】（1）；（2）或
【思路指引】
(1)先计算出AB的长，再计算PB，则OP=OB-BP；
(2) 运用分类的思想计算即可．
【详解详析】
解：（1）∵点是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）若在左侧，，
，
若在右侧，，
，
∴的长为或．
【名师指路】
本题考查了线段的中点，线段的计算，运用分类思想求解是解题的关键．
11．如图，数轴上点B表示的数为﹣4，点A表示的数为10．
（1）求A、B两点间的距离；
（2）若动点P、Q分别以每秒8个单位长度和每秒4个单位长度的速度从点A、B同时出发沿数轴向负方向作匀速运动，当点P的运动时间为t秒时，21世纪教育网版权所有
①写出点P、Q所表示的数；（用含t的代数式表示）
②若数轴上的点M到点P和点Q的距离相等，求的值．
【标准答案】（1）14；（2）①点P表示的数为，点Q表示的数为；②的值为
【思路指引】
（1）直接根据数轴上两点之间的距离可进行求解；
（2）①由题意易得，然后问题可求解；②当点P和点Q重合时，则有，由题意可分当点P在点Q的右边时和当点P在点Q的左边时，然后把线段AM和线段OQ表示出来，进而问题可求解．
【详解详析】
解：（1）由题意得：A、B两点间的距离为10-（-4）=14；
（2）①由题意得：，
∴点P表示的数为，点Q表示的数为；
②当点P和点Q重合时，则有，
解得：，
由①可知：，
∵数轴上的点M到点P和点Q的距离相等，
∴点M是线段PQ的中点，
则可分：当点P在点Q的右边时，则，（），
∴，
∴，，
∴；
当点P在点Q的左边时，则，（），
∴，
∴，，
∴，
∴综上所述：的值为．
【名师指路】
本题主要考查数轴上的动点问题、线段的和差及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题、线段的和差及一元一次方程的应用是解题的关键．
12．如图，M是线段AB上一点， ( http: / / www.21cnjy.com )且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值．
（2） 若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长．
【标准答案】（1）2 cm；（2）2.5cm．
【思路指引】
（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；
（2）根据题意可知BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM，依此即可求出AM的长．
【详解详析】
解：（1）当点C，D运动了2s时，CM＝2 cm，BD＝6 cm，
∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm，
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2 cm；
（2）∵C，D两点的速度分别为1cm/s，3 cm/s，
∴BD＝3CM．
又∵MD＝3AC，
∴BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM，
∴AMAB＝2.5cm．
【名师指路】
本题考查关于线段的计算等知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．
13．如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、CB的中点．
（1）求线段MN的长度．
（2）若C为线段AB上任意一点且满足AC+CB＝acm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？请你用一句简洁的话描述你发现的结论．21教育网
（3）若C为线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB＝bcm，M、N分别为AC、CB的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形并写出你的结论．
【标准答案】（1）7cm；（2）cm,C在线段AB上时，MN长度为AB的一半；（3）cm 图见详解．
【思路指引】
（1）由M、N分别是AC、BC中点，即可算出MC与CN的长度，MN＝MC+CN即可得出答案；
（2）根据（1）的解法即可得出结论；
（3）根据题意画出图形，、N分别是AC、BC中点，则可得出MC与NC的长度，由MN＝MC﹣NC即可得出答案．21教育名师原创作品
【详解详析】
解：（1）∵M、N分别是AC、BC中点，
∴，，
∵MN＝MC+CN7cm；
（2）cm．
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴，
又∵MN＝MC+CN，
∴cm．
C在线段AB上时，MN长度为AB的一半；
（3）当点C在线段AB的延长线时，如图，
∵M、N分别是AC、BC中点，
∴，，
MN＝MC﹣NCcm．
【名师指路】
本题主要考查了两点之间的距离，熟练掌握两点之间距离的计算方法进行计算是解决本题的关键．
14．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度．
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．
（3）动点P、Q分别从A、B ( http: / / www.21cnjy.com )同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
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【标准答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求时间t为4或或．
【思路指引】
（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解．
【详解详析】
解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，
∴MN=MC+CN=8厘米；
（2）∵AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=a，CN=BC=b，
∴MN=MC+CN=a+b；
（3）①当点P在线段AC上，即0＜t≤5时，
C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；
②当点P在线段BC上，即5＜t≤时，
P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t=；
③当点Q在线段BC上，即＜t≤6时，
Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t=；
④当点Q在线段AC上，即6＜t≤8时，
C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍），
综上所述：所求时间t为4或或．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
15．如图，线段AB＝15厘米，P是AB ( http: / / www.21cnjy.com )上任一点，C、D两点分别从A、P同时向B点运动，且C点的运动速度为3厘米/秒，D点的运动速度为2厘米/秒，运动的时间为t秒．
（1）若BP＝10厘米．
①运动1秒时，CP＝ 厘米，DB＝ 厘米，CD＝ 厘米；
②当C在线段AP上运动时，试说明BD＝2CD；
（2）如果运动3秒时，CD＝2厘米，试探索PB的值．
【标准答案】（1）①2，8，4；②见解析；（2）10厘米或14厘米
【思路指引】
（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD=CP+PB-DB即可求出答案；
②用t表示出AC、DP、BD、CD的长度即可求证BD=2CD；
（2）当t=3时，求出DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
【详解详析】
解：（1）①CP=15-10-3=2（厘米），DB=10-2=8（厘米），CD=5+2-3=4（厘米）．
故答案为：2，8，4；
②由题意可得：AC=3t，DP=2t，AB=15，BP=10，
∴BD=10-2t，CB=15-3t，
∴CD=CB-DB=15-3t-(10-2t)=5-t，
∴BD=2CD；
（2）设PB=x，则AP=15-x，
由题意可得：AC=9，PD=6，
∴DB=PB-PD=x-6，
①当点C在点D的左边时，
∵CD=AB-AC-DB=15-9-(x-6)，CD=2，
∴15-9-(x-6)=2，
解得x=10；
②当点C在点D的右边时，
∵CD=AC-AP-DP=9-(15-x)-6，CD=2，
∴9-(15-x)-6=2，
解得x=14．
综上所述，PB的值是10厘米或14厘米．
【名师指路】
本题考查一元一次方程的应用，两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想，属于中等题型．
16．在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是的暗点，例如，如图1，在数轴上分别表示数，-1，2，1，0，则的点C是的亮点，又是的暗点；点D是的亮点，又是的暗点．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为－2，点N表示的数为4，则的亮点表示的数是 ，的暗点表示的数是 ；www-2-1-cnjy-com
（2）如图3，数轴上的点A所 ( http: / / www.21cnjy.com )表示的数为点所表示的数为－20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．21*cnjy*com
①求当t为何值时，P是的暗点；
②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）2，；（2）①；②当点P为亮点时，；当点P为亮点时，；当点A为亮点时，；当点A为亮点时，【来源：21cnj*y.co*m】
【思路指引】
（1）结合题意，根据数轴、线段、有理数加减法和除法、绝对值的性质计算，即可得到答案；
（2）①根据题意，列一元一次方程并求解，即可得到答案；
②结合题意，分点P为亮点、点P为亮点、点A为亮点、点A为亮点四种情况，通过列方程并求解，即可得到答案．
【详解详析】
（1）根据题意，的亮点表示的数在线段上，即：亮点表示的数
∵
∴的亮点表示的数是：2；
根据题意，的暗点表示的数在线段延长线上，即：暗点表示的数，或暗点表示的数
∵
∴的暗点表示的数是：；
故答案为：2，；
（2）①根据题意，点P是的暗点，即点P在线段的延长线上
∴，
∵
∴
∴；
②当点P为亮点时，即P在线段上
∴，
∴
∴
当点P为亮点时，即P在线段上
∴
∴；
当点A为亮点时，即A在线段上
∴，
∴
∴
当点A为亮点时，即A在线段上
∴，即
∴，
∴
∴
∴当点P为亮点时，；当点P为亮点时，；当点A为亮点时，；当点A为亮点时，．
【名师指路】
本题考查了有理数、一元一次方程、线段的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、有理数运算、一元一次方程的性质，从而完成求解．www.21-cn-jy.com
17．（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条 ( http: / / www.21cnjy.com )线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
【标准答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．
【思路指引】
（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．
（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：，即N为CD的中点；情况2：，即N为靠近C点的三等分点；情况3：，即N为靠近D点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN的长度．21·世纪*教育网
（3）由题意可知，A不可能是“ ( http: / / www.21cnjy.com )奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是 “奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．
【详解详析】
（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，
根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．
故答案是：是；
（2）是线段CD的“奇妙点”
根据定义，此题共分为三种情况．
当，即N为CD的中点时，有CN=12cm．
当，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm．
当，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．
故答案为：8或12或16．
（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．
t秒后，，．
当P点是“奇妙点”时，．
由“奇妙点”定义可分三种情况．
当时，有 解得
当时，有 解得
当时，有 解得
当Q点是“奇妙点”时，．
当时，有 解得
当时，有 解得
当时，有 解得
综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；
当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．
【名师指路】
本题属于新定义题，主要是考察了线段 ( http: / / www.21cnjy.com )中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键．
18．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC=2，求AB的长；
（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系；
【解决问题】（3）如图②，现 ( http: / / www.21cnjy.com )有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；
（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）AB的长为（）；（2）BD长为2，；（3）C表示的数为（），的长为（）；（4）点D表示的数是1或或或．
【思路指引】
（1）利用BC=πAC求出BC的长度，进而求出AB的长．
（2）设AC的长为x，BD的长为y，利用圆周率点的定义，得到关于x与y的关系式，进而得到x=y，故此时有．
（3）利用旋转一周即为圆的周长，得到C点表示的数，假设M点离O点最近，设，利用圆周率点及题（2）的结论，求出，最后求出MN的长度即可．.
（4）设点D表示的数为m，根据条件分四类情况：，，，，进行分类讨论，设出对应的方程进行求解m的值．
【详解详析】
（1）,，
，
．
（2）点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，
，．
设， ，则有，，
，
，
，
．
（3）由题意可知：C点表示的数是
均为线段OC的圆周率点，
不妨设M点里O点近，且，，
，解得，
，，，
由（2）可知：
．
（4）解：设点D表示的数为m，根据题意可知，共分为四种情况．
①若，则有，解得．
②若，则有，解得．
③若，则有，解得．
④若，则有，解得．
综上所述，点D表示的数是1或或或．
【名师指路】
本题是新定义题型，主要考察了列方程和分类讨论的思想，读懂题目中的新定义，并且正确找到分类讨论的所有情况，是解决本题的关键．2·1·c·n·j·y
19．如图，线段AB＝20厘米 ( http: / / www.21cnjy.com )，点C以每秒钟2厘米的速度从点A匀速运动到点B，当点C与点B重合时运动停止．点M为线段AC中点，点N为线段BC中点．设运动时间为t（t≠0）秒．
（1）当点C与点B重合时，t＝ 秒；
（2）在运动过程中，MN的长度是否与t的取值有关？若有关，请用含有t的代数式表示线段MN的长；若无关，请利用代数式的相关知识说明理由．2-1-c-n-j-y
（3）在点C开始运动的同时，点P以每秒钟4厘米的速度从点B出发，在点B和点M之间做往返运动，当点C停止运动时，点P也停止运动．21*cnjy*com
①当点P与点M重合时，求线段CN的长．
②在运动时间t从第4秒开始到停止运动的过程中，请直接写出当PM＝3PC时的t值．
【标准答案】（1）10；（2）与t的取值无关，理由见解析；（3）①6厘米；②秒或8秒
【思路指引】
（1）当点C与点B重合时，此时点C运动了20厘米，根据时间=路程÷速度，即可求得运动的时间；
（2）MN的长度与t的取值无关，根据中点的意义及线段的和差关系即可求得MN的长；
（3）①考虑首次重合时，由AM+BP= ( http: / / www.21cnjy.com )20，建立方程即可求得t的值，从而可求得CN的长；再考虑有无再次重合的可能，当点P首次回到起点时，点M与点C离点B的距离，即可判断能否再次重合；
②分两种情况：点P位于点C的左侧和点P位于点C的右侧；当点P位于点C左侧时，则有，由此关系式建立方程即可，当点P位于点C右侧时，则有，由此关系式建立方程即可．
【详解详析】
（1）当点C与点B重合时，此时点C运动了20厘米，则运动时间为20÷2=10（秒）
故答案为：10
（2）MN的长度与t的取值无关；理由如下：
∵M、N分别是AC、BC的中点
∴，
∵AC+BC=20
∴
即MN的长度与t的取值无关
（3）①当点P与点M首次重合时，如图
则AM+BP=20
由题意：AC=2t厘米，则AM=t厘米，BP=4t厘米
∴t+4t=20
解得：t=4
此时AC=2×4=8(厘米)，BC=20 8=12(厘米)
∴
点P与点M没有第二次重合的可能
点P与点M首次重合时，BP=16厘米，点P要 ( http: / / www.21cnjy.com )再运动16÷4=4秒才能回到B点，也就是说点P回到起点共花费8秒，此时点M从起点运动了8厘米，则点C运动了16厘米，点C距离终点B只有4厘米，只要2秒即可到达终点，而点P从点B这时只能运动8厘米，点M只能运动2厘米；当点P与点M运动了8秒时，M点与B点相距20 8=12（厘米），但8+2<12，即点P与点M不可能有第二次重合；
故当点P与点M重合时，CN=6厘米；
②由题意，运动4秒后，点M运动了(t 4)厘米，点P运动了4(t 4)厘米
则PM=4(t 4) (t-4)=(3t 12)厘米
当点P位于点C左侧时，如图所示
∵PM=3PC
则
∵
故得方程：
解得：
当点P位于点C右侧时，如图所示
∵PM=3PC
则
则
解得：t=8
综上所述，当t为秒或8秒时，PM=3PC
【名师指路】
本题是线段上动点问题，考查了 ( http: / / www.21cnjy.com )中点的含义，线段的和差关系，解一元一次方程，分类讨论思想，有一定难度，要善于抓住问题的本质，如（2）问中重合本质是行程问题中的相遇问题；另外注意(2)小题中要考虑是否有第二次重合的可能．21cnjy.com
20．如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）
（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ；
（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；
（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．
求：①P、Q相遇时求P对应的数；
②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒 ( http: / / www.21cnjy.com )的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果）
【标准答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①，②16．
【思路指引】
（1）根据中点的定义可得；
（2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得；
（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，据此知点M的运动时间为秒，再根据路程＝速度×时间可得答案．
【详解详析】
解：（1）根据题意知点C表示的数为4，
故答案为：4；
（2）设点C表示的数为x，
当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合题意，舍去；
当点C在点A左侧时，由题意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6，
当点C在点B右侧时，由题意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14，
即点C表示的数为﹣6或14；
（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，
由题意知﹣4+t＝12﹣2t，
解得：t，
则相遇时点P对应的数为﹣4；
②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，
∴点M的运动时间为秒，
则点M所经过的总路程是316单位．
【名师指路】
本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键．
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