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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 计算能力之角的综合运算专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，∠AOC=∠BOD=80°，如果∠AOD=138°，那么∠BOC等于（ ）
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A．22° B．32° C．42° D．52°
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意先计算出∠COD的度数，然后进一步利用∠BOD ∠COD加以计算求解即可.
【详解详析】
∵∠AOC=∠BOD=80°，∠AOD=138°，
∴∠COD=∠AOD ∠AOC=58°，
∴∠BOC=∠BOD ∠COD=80° 58°=22°，
故选：A.
【名师指路】
本题主要考查了角度的计算，熟练掌握相关方法是解题关键.
2．已知如图，，，小明想过点引一条射线，使（与都小于平角），那么的度数是（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B．或 C． D．或
【标准答案】D
【思路指引】
分OD在∠AOB的内部与外部两种情况，画出图形求解即可．
【详解详析】
解：①当OD在∠AOB内部时，如图①，
∵，∠AOB=100°，
∴∠BOD=∠AOB=×100°=75°，
∴∠BOC=∠BOD-∠BOC=75°-30°=45°．
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②当OD在∠AOB外部时，如图②，
∵，∴∠AOD:∠AOB=1:2，
∴∠AOD=50°，
又∠AOC=∠AOB-∠BOC=100°-30°=70°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=50°+70°=120°，
故∠COD的度数为45°或120°．
故选：D．
【名师指路】
此题主要考查了角的计算，根据已知进行分类讨论是解题关键．
3．把一副三角尺按如图所示拼在一起，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由图形和三角尺各角度数得出∠AOB的度数是30°和90°的和，求出即可．
【详解详析】
解：根据图形可知：∠ABC=30°+90°=120°，
故选：D．
【名师指路】
本题考查角的有关计算的应用，解题关键是准确观察图形和正确计算．
4．如果∠AOB=45°，∠BOC=30°，则∠AOC等于（ ）
A．75° B．15°
C．75°或15° D．不能确定
【标准答案】C
【思路指引】
分①当射线OC在∠AOB内部时和②当射线OC在∠AOB外部时两种情况求∠AOC的度数即可.
【详解详析】
分为两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠AOB–∠BOC=45°–30°=15°；
②如图2，当射线OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+30°=75°；
故选C．
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【名师指路】
本题主要考查了角的计算，明确分①当射线OC在∠AOB内部时和②当射线OC在∠AOB外部时两种情况求解是解决问题的关键.【版权所有：21教育】
5．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
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A．60° B．75° C．90° D．105°
【标准答案】D
【思路指引】
如图，先利用三角形的外角性质求出∠BAE的度数，进而可得∠CAE的度数，问题即得解决.
【详解详析】
解：如图，由题意得∠BAE+∠B=∠DEF，∠BAE+30°=45°，所以∠BAE=15°.
所以∠CAE=75°，所以∠α=105°.
( http: / / www.21cnjy.com / )【名师指路】
本题以三角板为载体，考查了三角形的外角性质定理和直角三角形的性质，掌握基本知识是解题的关键.
6．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．点 B．点 C．点 D．点
【标准答案】A
【思路指引】
先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．
【详解详析】
解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ，
即时针转了24°，
∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知：
分针转动： ，
由每一大格对应30°知： ，
即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：
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由此确定此时是10点48分；
故答案为：A．
【名师指路】
此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．
7．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C．或 D．或
【标准答案】D
【思路指引】
分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．
【详解详析】
解：分两种情况：
①如图平分时，，
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即，
解得；
②如图平分时，，
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即，
解得．
综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．
故选：．
【名师指路】
本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
8．如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论：
①； ②；
③； ④
其中正确的个数有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
【标准答案】C
【思路指引】
根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可．
【详解详析】
解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∵平分，平分，
∴,
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵不能证明，故④错误；
∴正确的选项有3个；
故选：C.
【名师指路】
本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，解题的关键是熟练掌握角的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算.www-2-1-cnjy-com
9．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上，下列各组角一定能互补的是（ ）
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A．∠BCD和∠ACF B．∠ACD和∠ACF
C．∠ACB和∠DCB D．∠BCF和∠ACF
【标准答案】A
【思路指引】
因为是直角三角板，所以∠ACB和∠DCF都等于90°，所以利用角的和差把选项中的角能转化成∠ACB+∠DCF即为正确答案.
【详解详析】
∵∠BCD+∠ACF=∠BCD+∠ACD+∠DCF=∠ACB+∠DCF=90°+90°=180°,
∴选A
【名师指路】
本题中出现一副三角板，我们需注意到三角板中的直角，又提出问题为互补，所以我们应将相应的角，利用角的和差等量变化成直角，若能即为正确答案.
10．一副三角板、，如图1放置，（=30°、45°），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜＜90°，则下列结论中正确的个数有（ ）
①的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作，则平分
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】A
【思路指引】
根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．
【详解详析】
如图1，当时
如图2，当时
因此，的角度不恒为，则①错误
如图1，当时
由角平分线的定义得
如图2，当时
由角平分线的定义得
因此，的角度恒为定值，则②正确
边与三角板的三边所在直线夹角不可能成
如图1，当时，设DE与AB的交点为F
，即
DE只与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次；DB只与三角板的BC边所在直线夹角成，次数为1次www.21-cn-jy.com
如图2，当时，延长DE交AB于点F
，即
只有DB与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次
因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次，则③错误
如图3，作
，即平分
如图4，作
显然不平分，则④错误
综上，正确的个数只有②这1个
故选：A．
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【名师指路】
本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，依据正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论一种情况．
二、填空题
11．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝__________时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．
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【标准答案】105°或75°
【思路指引】
分两种情况：①AB⊥CD，交DC延长线于E，OB交DC延长线于F，②AB⊥CD于G，OA交DC于H求出答案．
【详解详析】
解：①如图1，AB⊥CD，交DC延长线于E，OB交DC延长线于F，
∵∠B=45°，∠BEF=90°，
∴∠CFO=∠BFE=45°，
∵∠DCO=60°，
∴∠COF=15°
∴∠AOC=90°+15°=105°；
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②如图2，AB⊥CD于G，OA交DC于H，
∵∠A=45°，∠AGH=90°，
∴∠CHO=∠AHG=45°，
∵∠DCO=60°，
∴∠AOC=180°-60°-45°=75°；
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故答案为：105°或75°．
【名师指路】
此题考查了三角形的角度计算，正确掌握三角板的度数及各角度的关系是解题的关键．
12．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝_____．
【标准答案】20°或120°
【思路指引】
如图，当OE在AB的上面时，根据邻补 ( http: / / www.21cnjy.com )角的定义得到∠BOC＝180° ∠AOC＝180° 70°＝110°，于是得到∠COE＝∠BOE ∠BOC＝130° 11°＝20°；当OE在直线AB的下面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180° ∠AOC＝180° 70°＝110°，于是得到∠COE′＝180° ∠DOE′＝180° 60°＝120°．
【详解详析】
如图，
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当OE在AB的上面时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BOE＝130°，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；
当OE在直线AB的下面时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BOD＝∠AOC＝70°，
∴∠DOE′＝∠BOE′﹣∠BOD＝130°﹣70°＝60°，
∴∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°，
综上所述，∠COE＝20°或120°，
故答案为：20°或120°．
【名师指路】
本题考查了对顶角，邻补角．解题的关键是采用形数结合的方法分情况讨论．
13．已知：AOB＝32°，BOC＝24°，AOD＝15°，则锐角COD＝____
【标准答案】71°或41°或23°或7°
【思路指引】
当BOC在AOB的外部时，AOD在AOB的外部和内部两种情形；当BOC在AOB的内部时，AOD在AOB的外部和内部两种情形．
【详解详析】
当BOC在AOB的外部时，AOD在AOB的外部时，
COD=AOB+BOC+AOD=32°+24°+15°=71°；
当BOC在AOB的外部时，AOD在AOB的内部时，
COD=AOB+BOC-AOD=32°+24°-15°=41°；
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当BOC在AOB的内部时，AOD在AOB的外部时，
COD=AOB-BOC+AOD=15°+32°-24°=23°；
当BOC在AOB的内部时，AOD在AOB的内部时，
COD=AOD +BOC-AOB =24°+15°-32°=7°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：71°或41°或23°或7°．
【名师指路】
本题考查了角的计算，学会用分类思想计算是解题的关键．
14．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠C ( http: / / www.21cnjy.com )OE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是_____．
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【标准答案】①②④
【思路指引】
由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；
由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断②正确；
由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；
由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF， ( http: / / www.21cnjy.com )由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．
【详解详析】
解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
而∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
故答案为：①②④．
【名师指路】
本题考查了角度的计算，解题的关键是结合图形和题中信息准确判断．
15．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是__________________（填序号）
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【标准答案】①②③
【思路指引】
结合题意，根据角的度量的性质，得及，从而推导得；根据角的和差的性质，计算得以及，从而完成求解．21*cnjy*com
【详解详析】
∵射线、分别经过刻度117和153
∴
把绕点逆时针方向旋转到，得
∵，
∴，即①正确；
∵射线经过刻度27
∵
∴射线经过刻度为：
∴
∴
∴，即②正确；
∵，且
∴
∴
∴射线经过刻度为：，即③正确；
故答案为：①②③．
【名师指路】
本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而完成求解．
16．已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝ ∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB＝β，则∠BOE＝_____．（用含β的代数式表示）21教育名师原创作品
【标准答案】β或β
【思路指引】
【详解详析】
解：如图1，∵∠AOB＝β，OC是∠AOB的平分线，
∴∠COB=β，
∵∠BOD＝ ∠COD，
∴∠BOD＝ ∠COB=β，∠COD=β，
∵OE平分∠COD，
∴∠EOD=∠COD=β，
∠BOE＝β+β=β；
如图2，∵∠AOB＝β，OC是∠AOB的平分线，
∴∠COB=β，
∵∠BOD＝ ∠COD，
∴∠BOD＝ ∠COB=β，∠COD=β，
∵OE平分∠COD，
∴∠EOD=∠COD=β，
∠BOE＝β-β=β；
故答案为：β或β
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【名师指路】
本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是画出正确图形，结合分类讨论思想，准确进行计算．
17．在同一平面内，，，，至少有一边在内部，则的度数为___．
【标准答案】或或．
【思路指引】
对射线OC、OD在∠AOB内部和外部进行分类讨论，然后按照角的和差计算即可．
【详解详析】
解：∵，，，
如图1，OC、OD都在∠AOB内部，
；
如图2，OC在∠AOB内部， OD在∠AOB外部，
，
如图3，OC在∠AOB外部， OD在∠AOB内部，
，
故答案为：或或．
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【名师指路】
本题考查了角的和差，解题关键是画出准确图形，分类讨论，准确计算．
18．如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为 ______． (用含的式子表示)
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【标准答案】
【思路指引】
先求出，利用角平分线的性质求出∠COD=，由得到，再根据推出的度数.
【详解详析】
∵，，
∴ ，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=，
∵∠COE=∠COD+∠DOE，且，
∴,
∴,
∴,
∵,∠BOD=∠BOE+∠DOE，
∴∠BOE=3∠DOE=
故答案为：.
【名师指路】
此题考查平角的定义，角平分线的性质，几何图形中角度的和差计算.
19．已知∠AOB=110°，∠AOD=∠AOC，∠BOD=4∠BOC(∠BOC<35°)，则∠COD的度数为____________．
【标准答案】60°或.
【详解详析】
当OD在∠AOB内部时，分两种情况：
i如图①，当OC在∠AOB内部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=3x，
∵∠AOD=∠AOC，∠AOC=∠COD+∠AOD,
∴∠COD=∠AOC,
∴∠AOC=，
∵∠AOB=110°,
∴x+=110°，
得x=20°，
∴∠COD=3x=60°；
ii如图②，当OC在∠AOB外部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=5x，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠COD=∠AOC,
∴∠AOC=,
∵∠AOB=110°,
∴x+=110°，
得，
∴∠COD=5x=.
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当OD在∠AOB外部时，分两种情况：
i：如图3，当OC在∠AOB内部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=3x，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠AOC=3∠AOD,
∴4∠AOC=3x
∠AOC=，
∴
得，
∵∠BOC<35°
∴不合题意舍去；
ii：如图4，当OC在∠AOB外部时，设∠BOC=x，则∠BOD=4x，∠COD=5x，
∵∠AOD=∠AOC，
∴∠AOC=3∠AOD,
∴4∠AOD=5x
∠AOC=，
∴4x-=110°，
得，
∵∠BOC<35°
∴不合题意舍去；
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故填60°或.
【名师指路】
此题考察角度计算，注意分类讨论，应考虑到∠BOC在∠AOB内部或是外部两种情况，（因为∠COD=∠AOC,故OD在∠AOB外不成立），设∠BOC=x，根据角度关系求得x的值即可得到∠COD的度数.21cnjy.com
20．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD=__________°．
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【标准答案】150
【详解详析】
试题分析：首先根据直角定义可得∠COE ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，再根据角的和差关系可得∠AOC=∠COE+∠AOE=90°+60°=150°，根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=150°．
三、解答题
21．如图1，正方形和长方形的周长相等，且各有一条边在数轴上，点对应的数分别是．正方形以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度向左移动．设正方形和长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t．
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(1)长方形的面积是______．
(2)当S是长方形面积的一半时，求t的值．
(3)如图2，当正方形和长方形运动到点B和点F重合时，停止运动，将正方形绕点B顺时针旋转，旋转角度为，点分别在线段、线段的延长线上，平分，判断和之间的数量关系，用等式表示，并说明理由．21·cn·jy·com
【标准答案】(1)60
(2)t的值为或
(3)∠ABP=∠CBN，理由见解析.
【思路指引】
（1）由数轴上两点间的距离求出BC ( http: / / www.21cnjy.com )=8，FG=6，进而可得正方形ABCD的周长为32，再根据正方形ABCD和长方形EFGH周长相等，即可求EF长，进而求其面积；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）分情况讨论：①当点F在正方形BC边上时；②当点F在正方形BC边左边时两种情况即可；
（3）由角平分线定义得∠EBP=∠CBE，由平角定义得∠ABE=180 -∠ABC-∠CBN=90 -∠CBN，根据角的和差即可得到∠ABP=∠CBN21教育网
(1)
解：∵四边形ABCD是正方形，BC=-5-(-13)=8，
∴正方形ABCD的周长为32，
∵四边形EFGH是长方形，FG=8-2=6，
∴长方形EFGH的周长为2(EF+FG)= 2(EF+6)，
∵正方形ABCD和长方形EFGH周长相等，
∴2(EF+6)=32，
∴EF=10，
∴S长方形EFGH=10×6=60，
故答案为：60
(2)
解：当点F在正方形BC边上时，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
正方形ABCD以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时长方形EFGH以每秒1个单位长度的速度向左移动，移动时间为t，【出处：21教育名师】
∴CC1=2t，FF1=t，CF=2-(-5)=7，
∴F1C1= CC1+ FF1- CF=2t+t-7=3t-7，
∵重叠部分的面积=F1C1·C1D1=×60=30，且C1D1=8，
∴F1C1=，
∴3t -7=，
∴t=；
当点F在正方形BC边左边时，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
正方形ABCD以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时长方形EFGH以每秒1个单位长度的速度向左移动，移动时间为t，2-1-c-n-j-y
∴BB2=2t，GG2=t，BG=8-(-13)=21，
∴B2G2= BG - BB2- GG2=21-3t，
∵重叠部分的面积=B2G2·A2B2=30，且A2B2=8，
∴B2G2=，
∴21-3t=，
∴t=，
故t的值为或
(3)
∵平分，
∴∠EBP=∠CBE，
∵∠ABE=180 -∠ABC-∠CBN=90 -∠CBN，
∴∠ABP=∠EBP-∠ABE=∠CBE-90 +∠CBN=（180 -∠CBN）-90 +∠CBN=∠CBN，
即∠ABP=∠CBN
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )应用、数轴等知识点，体现了分类讨论思想，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．也考查了角平分线的定义等知识.
22．如图1，O为直线AB ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．
①求t值；
②试说明此时ON平分∠AOC；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；21·世纪*教育网
（3）如图3若∠AOC＝60°， ( http: / / www.21cnjy.com )将三角尺从图1的位置开始绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旅转．当ON与OC重合时，射线OC开始绕点O以每秒20°的速度沿顺时针方向旋转，三角尺按原来的速度和方向继续旋转，当三角板运动到OM边与OA第一次重合时停止运动．当射线OC运动到与OA第一次重合时停止运动．设三角形运动的时间为t．那么在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线？若存在，直接写出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）①t=3；②见解析；（2）β=α+60°；（3）t=15或t=24或t=54
【思路指引】
（1）①求出∠BOC，利用角平分线的定义求出∠BOM，进而求出∠AON，然后列方程求解；
②求出∠CON=15°即可求解；
（2）用含t的代数式表示出α和β，消去t即可得出结论；
（3）分三种情况列方程求解即可．
【详解详析】
解：（1）①∵∠AOC＝30°，
∴∠COM=60°，∠BOC=150°，
∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC=75°，
∴∠AON=180°-90°-75°=15°，
∴5t=15，
∴t=3；
②∵∠AOC=30°，∠AON=15°，
∴∠CON=15°，
∴此时ON平分∠AOC；
（2）由旋转的性质得，∠AON＝α=5t①，∠COM＝β=60°+5t②，
把①代入②，得
β=α+60°；
（3）当ON与OC重合时，60÷5=12秒，
当OC与OA重合时，(360-60)÷20+12=27秒，
当OC平分∠MON，且OC未与OA重合时，则∠CON=45°，
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由题意得，60+20(t-12)-5t=45，
解得t=15；
当OM平分∠CON，且OC未转到OA时，则∠CON=180°，
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由题意得，60+20(t-12)-5t=180，
解得t=24；
当OM平分∠CON，且OC转到OA时，则∠AOM=90°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意得，∴360-90=5t，
∴t=54，
综上可知，当t=15或t=24或t=54时， ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线．
【名师指路】
本题考查了角的和差，角平分线的定义，以及一元一次方程的定义，正确识图是解答本题的关键．
23．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线的同一侧作射线，，，使．
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（1）如图①，若平分，则的度数是_______；
（2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且在内部时，
①若，求的度数；
②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示．
【标准答案】（1）；（2）①80°；②．
【思路指引】
（1）由题意根据角平分线可得∠BOD=30°，∠BOE=90°，进而可得∠AOE的度数；
（2）①由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：2可得∠BOD=40°，∠BOE=100°，进而可得∠AOE的度数；
②由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：n可得，再由①的思路可得答案．
【详解详析】
解：（1）因为平分，，
所以，，
所以．
故答案为：；
（2）①因为，，
所以，
所以，
所以．
②．
因为，，
所以，
所以，
所以．
【名师指路】
本题主要考查角的运算，注意掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
24．如图，∠AOD ＝ 130°，∠BOC：∠COD ＝ 1:2，∠AOB是∠COD补角的．
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（1）∠COD ＝ _______ ；
（2）平面内射线OM满足∠AOM ＝ 2∠DOM，求∠AOM的大小；
（3）将∠COD固定，并将射线OA， ( http: / / www.21cnjy.com )OB同时以2°/s的速度顺时针旋转，到OA与OD重合时停止．在旋转过程中，若射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，当∠POQ＋∠AOD＝50°时，求旋转时间t（秒）的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）∠AOM的大小为或（3）旋转时间t（秒）的取值范围为
【思路指引】
（1），用分别表示出与的大小，利用角之间的关系，即可求解．
（2）分射线OM在∠AOD 的内部和外部两类情况进行讨论，利用角与角之间的关系，即可求出答案．
（3）先观察到，寻找临界情况，利用角的关系求出对应两种临界情况下的旋转角度，进而求出时间t（秒）的取值范围．
【详解详析】
（1）解：设：，
∠BOC：∠COD ＝ 1:2，∠AOB是∠COD补角的．
，。
，
，
解得：，
故．
（2）解：当射线OM在∠AOD 的内部时，如下图所示：
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∠AOD ＝ 130°，且∠AOM ＝ 2∠DOM，
当射线OM在∠AOD 的外部时，如下图所示：
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∠AOD ＝ 130°，且∠AOM ＝ 2∠DOM，
故∠AOM的大小为或．
（3）解：有（1）可得：，
射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，
，，
可以观察到：，
若要求解时间的取值范围，需要找到临界情况，
当与重合时，此时恰好有，， 如下图所示：
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可以观察到，若与未重合之前，必有一定不满足∠POQ＋∠AOD＝50°，故此时的时间恰好取到最小值，
由题意可知：一共旋转了，故时间，
，
当与重合时，此时有，，
如下图所示：
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若此时继续往下旋转，必有，一定不满足∠POQ＋∠AOD＝50°，故此时的时间恰好取到最大值，
由题意可知：一共旋转了，故时间，
，
综上所述：．
【名师指路】
本题主要是考查了求解角度大小、角平分线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质以及角中的动点问题，熟练地利用角与角之间的关系，求解未知角的度数，针对求解动点的时间取值范围，尝试利用条件，找到满足题意的临界情况，是求解该题的关键．
25．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于
（1）如图2，当绕点逆时针旋转到与重合时，则 ；
（2）如图3，当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即∠BOC ＝ 80°）时，求的度数；
（3）当从图2中的位置绕点顺时针旋转且，其中为正整数）时，则 ．
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【标准答案】（1）100°；（2）100°；（3）100°或140°．
【思路指引】
（1）当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，可得∠MON＝∠MOB＋∠BON，再根据已知条件进行计算即可；
（2）当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即∠BOC ＝ 80°）时，如图3，可得∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON，再根据已知条件进行计算即可；
（3）根据∠COD从图2中的位置绕点O顺 ( http: / / www.21cnjy.com )时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），分两种情况画图：①当0＜n＜60时，②当60＜n＜180时，结合（2）进行角的和差计算即可．
【详解详析】
解：（1）∵∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠DON＝∠BOD，
当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，
∴∠MON＝∠MOB＋∠BON＝∠AOC＋∠BOD＝×120°＋×60°＝80°＋20°＝100°；
故答案为：100°；
（2）∵，∠BOC ＝ 80°，
∴，，
∵∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON=∠AOB-∠AOC-∠BOD=∠AOB-（∠AOC+∠BOD）==100°；
故答案为：100°；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），
①当0＜n＜60时，如图，
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∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋n°，
∠BOD＝∠BOC＋∠DOC＝n°＋60°，
∴∠MON＝∠MOC＋∠DOC ∠DON＝（120°＋n°）＋60° （n°＋60°）＝100°，
②当60＜n＜180时，如图，
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∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝360° （∠AOB＋∠BOC）＝360° （120°＋n°）＝240° n°，
∠BOD＝∠BOC＋∠DOC＝n°＋60°，
∴∠MON＝360° ∠AOM ∠AOB ∠BON＝360° （240° n°） 120° （60°＋n°）＝140°，
故答案为：100°或140°．
【名师指路】
本题考查了角的计算，熟练掌握角的和求法，根据角的旋转情况进行分类讨论是解决问题的关键．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题04 计算能力之角的综合运算专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，∠AOC=∠BOD=80°，如果∠AOD=138°，那么∠BOC等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．22° B．32° C．42° D．52°
2．已知如图，，，小明想过点引一条射线，使（与都小于平角），那么的度数是（ ）21·cn·jy·com
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A． B．或 C． D．或
3．把一副三角尺按如图所示拼在一起，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4．如果∠AOB=45°，∠BOC=30°，则∠AOC等于（ ）
A．75° B．15°
C．75°或15° D．不能确定
5．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
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A．60° B．75° C．90° D．105°
6．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．点 B．点 C．点 D．点
7．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C．或 D．或
8．如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论：
①； ②；
③； ④
其中正确的个数有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
9．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上，下列各组角一定能互补的是（ ）
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A．∠BCD和∠ACF B．∠ACD和∠ACF
C．∠ACB和∠DCB D．∠BCF和∠ACF
10．一副三角板、，如图1放置，（=30°、45°），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜＜90°，则下列结论中正确的个数有（ ）
①的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作，则平分
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝__________时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．21世纪教育网版权所有
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12．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝_____．
13．已知：AOB＝32°，BOC＝24°，AOD＝15°，则锐角COD＝____
14．如图，∠AOB＝∠COD ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是_____．
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15．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是__________________（填序号）
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16．已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝ ∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB＝β，则∠BOE＝_____．（用含β的代数式表示）21教育网
17．在同一平面内，，，，至少有一边在内部，则的度数为___．
18．如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为 ______． (用含的式子表示)
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19．已知∠AOB=110°，∠AOD=∠AOC，∠BOD=4∠BOC(∠BOC<35°)，则∠COD的度数为____________．
20．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD=__________°．
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三、解答题
21．如图1，正方形和长方形的周长相等，且各有一条边在数轴上，点对应的数分别是．正方形以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度向左移动．设正方形和长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t．
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(1)长方形的面积是______．
(2)当S是长方形面积的一半时，求t的值．
(3)如图2，当正方形和长方形运动到点B和点F重合时，停止运动，将正方形绕点B顺时针旋转，旋转角度为，点分别在线段、线段的延长线上，平分，判断和之间的数量关系，用等式表示，并说明理由．www.21-cn-jy.com
22．如图1，O为直线AB上一点，过点O作 ( http: / / www.21cnjy.com )射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
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（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．21·世纪*教育网
①求t值；
②试说明此时ON平分∠AOC；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；www-2-1-cnjy-com
（3）如图3若∠AOC＝60°，将三角尺从图 ( http: / / www.21cnjy.com )1的位置开始绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旅转．当ON与OC重合时，射线OC开始绕点O以每秒20°的速度沿顺时针方向旋转，三角尺按原来的速度和方向继续旋转，当三角板运动到OM边与OA第一次重合时停止运动．当射线OC运动到与OA第一次重合时停止运动．设三角形运动的时间为t．那么在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线？若存在，直接写出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
23．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线的同一侧作射线，，，使．
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（1）如图①，若平分，则的度数是_______；
（2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且在内部时，
①若，求的度数；
②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示．
24．如图，∠AOD ＝ 130°，∠BOC：∠COD ＝ 1:2，∠AOB是∠COD补角的．
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（1）∠COD ＝ _______ ；
（2）平面内射线OM满足∠AOM ＝ 2∠DOM，求∠AOM的大小；
（3）将∠COD固定，并将射线 ( http: / / www.21cnjy.com )OA，OB同时以2°/s的速度顺时针旋转，到OA与OD重合时停止．在旋转过程中，若射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，当∠POQ＋∠AOD＝50°时，求旋转时间t（秒）的取值范围．21*cnjy*com
25．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于
（1）如图2，当绕点逆时针旋转到与重合时，则 ；
（2）如图3，当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即∠BOC ＝ 80°）时，求的度数；
（3）当从图2中的位置绕点顺时针旋转且，其中为正整数）时，则 ．
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