初中数学湘教版八年级下册1.3 直角三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2019八下·来宾期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
2．（2019八下·桂林期末）如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一条直角边和一个锐角对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和斜边对应相等
4．（2020八下·丹东期末）如图，在 中， 是AC上一点， 于点E， 连接BD，若AC=8cm，则 等于（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5．下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一条边对应相等 B．斜边和一直角边对应相等
C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等
6．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．斜边相等 B．一锐角对应相等
C．两锐角对应相等 D．两直角边对应相等
7．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一条直角边和一个锐角对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和一条斜边对应相等
8．下列说法正确的是（ ）
A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．有一个角是30°的两个等腰三角形全等
D．斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等
9．（2021八上·大连月考）如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是 （ ）
A．BD＝CD B．DE＝DF C．∠B＝∠C D．AB＝AC
10．我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
二、填空题
11．（2019八下·来宾期末）如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝ ．
12．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌ ，全等的根据是 ．
13．有 和一条 对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“ ”.
14．已知Rt△ABC的两直角边不相等，如果要画一个三角形与Rt△ABC全等，且使所画三角形两条直角边与Rt△ABC的两条直角边分别在同一条直线上（Rt△ABC本身不算），那么满足上述条件的三角形最多能画出 个．
三、解答题
15．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
16．（2019八上·灌云月考）如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
四、综合题
18．（2019八下·南山期中）如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
19．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．
（1）求证： AF=CE．
（2）求证：AB∥CD．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB为公共边，也为 Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，
∴ 若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要一组直角边对应相等，
即 AC＝AD或BC＝BD ；
故答案为：B.
【分析】 用“HL”证明两个直角三角形全等，需要证明斜边和一组直角边对应相等。现知斜边相等，则只需一组直角边对应相等，据此分析判断即可。
2．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AC=BC，AE=CD，
∴△AEC≌△CDB（HL），
∴CD=AE=7，CE=BD=2，
∴ED=CD-CE=7-2=5，
故答案为：B.
【分析】根据斜边直角边定理证明△AEC≌△CDB，再由全等三角形的性质定理得对应边相等，则CD和CE的长度可求，于是求出ED的长度。
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
B、正确，符合判定AAS；
C、正确，符合判定SAS；
D、正确，符合判定HL．
故答案为：A
【分析】两直角三角形中，已经具有一对直角对应相等，如果添加两个锐角对应相等，则这两个三角形是三个角对应相等，三个角对应相等的三角形只是相似，不一定全等；如果添加一条直角边和一个锐角对应相等，可以利用ASA判定这两个直角三角形全等；如果添加两条直角边对应相等，可以利用SAS判定这两个直角三角形全等，如果添加一条直角边和斜边对应相等，可以利用HL判定这两个直角三角形全等.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴DC=DE，
又∵AC=8cm，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据已知条件证明 ，证明DC=DE即可；
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法依次分析各选项即可判断。
A．一条边对应相等，C．一个锐角对应相等，D．两个锐角对应相等，均无法判定两个直角三角形全等；
B．斜边和一直角边对应相等，可以判定两个直角三角形全等，本选项正确。
故选B.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握直角三角形全等的判定方法，即可完成。
6．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而AAA是不能判定三角形全等的，所以正确的答案只有选项D了．
【解答】A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误．
B、C选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此B、C选项错误．
D选项的根据是全等三角形判定中的SAS判定．
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【解答】A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
B、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
8．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】A、画出图形（反例)，判断A即可；画出反例图形，即可判断B；根据顶角是30°或底角是30°，即可判断C；根据直角三角形的全等的判定定理HL，即可判断D．
【解答】A、如图：
AC=CD，BC=BC，∠B=∠B，但△BDC和△ABC不全等，故本选项错误；
B、△ABC的面积是×2×1=1，△EFG的面积是×1×2=1，但△ABC和△EFG不全等，故本选项错误；
C、当一个是底角是30°，而另一个是顶角是30°时，两等腰三角形不全等，故本选项错误；
D、根据HL即可得出结论，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解此题的关键是举出反例图形，培养学生分析问题的能力
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，先根据“HL”证得Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得到结果。
【解答】在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD，AE＝AF，
因为，Rt△ADE≌Rt△ADF，
所以，DE＝DF，
故选B。
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．其中AAA、SSA不能判定两个三角形全等，由此即可求解．
【解答】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL共5种
故选A。
11．【答案】40
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ∵∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF （HL），
∴∠FDE=∠A=50°，
∴∠DFE=90°-∠A=90°-50°=40°；
故答案为：40.
【分析】 在Rt△ABC和Rt△DEF中，利用斜边直角边定理求得Rt△ABC≌Rt△DEF ，于是全等三角形对应角相等，得∠FDE=∠A=50°，从而由∠DFE=90°-∠A，求得∠DFE的度数。
12．【答案】△DFE；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等
【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。
13．【答案】斜边；直角边；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”
【分析】根据直角三角形全等的判定定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”即可得出答案。
14．【答案】7
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】如图所示：
△AMC，△EFC，△EGC，△HGC，△HFC，△BCN，△MNC共7个，
故答案为：7
【分析】在BC的延长线上取点F，使CF=AC，在CA的延长线上取点E，是CE=CB，连接EF，三角形CEF就是所求的三角形；在BC的延长线上取点M，使CM=BC连接AM，三角形AMC就是所求的三角形；在BC上取点G，使CG=AC，在CA的延长线上去点E，是CE=CB，连接EG，三角形CEG就是所求的三角形；在AC的延长线上取点N，使CN=AC，在CB的延长线上取点M，是CM=CB，连接MN，三角形CMN就是所求的三角形；在BC的延长线上取点F，使CF=AC，在CA的延长线上取点H，是CH=CB，连接FH，三角形CFH就是所求的三角形；在BC上取点G，使CG=AC，在AC的延长线上取点H，是CH=CB，连接HG，三角形GHF就是所求的三角形；，在AC的延长线上取点N，是CN=CA，连接BN，三角形CBN就是所求的三角形，从而得出答案。
15．【答案】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可．
16．【答案】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP=BC时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=5cm；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP=AC=10cm，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置．
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合．
17．【答案】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．
18．【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与ADCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL），
∴AF=DE
（2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥FE
∴OP平分∠EOF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt
△ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE；
（2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。
19．【答案】（1）证明：（1）在 和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE(HL)．∴AF=CE
（2）证明：由（1）知∠ACD=∠CAB，∴AB∥CD．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据直角三角形全等判定，可解此题．
1 / 1初中数学湘教版八年级下册1.3 直角三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2019八下·来宾期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB为公共边，也为 Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，
∴ 若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要一组直角边对应相等，
即 AC＝AD或BC＝BD ；
故答案为：B.
【分析】 用“HL”证明两个直角三角形全等，需要证明斜边和一组直角边对应相等。现知斜边相等，则只需一组直角边对应相等，据此分析判断即可。
2．（2019八下·桂林期末）如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AC=BC，AE=CD，
∴△AEC≌△CDB（HL），
∴CD=AE=7，CE=BD=2，
∴ED=CD-CE=7-2=5，
故答案为：B.
【分析】根据斜边直角边定理证明△AEC≌△CDB，再由全等三角形的性质定理得对应边相等，则CD和CE的长度可求，于是求出ED的长度。
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一条直角边和一个锐角对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和斜边对应相等
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
B、正确，符合判定AAS；
C、正确，符合判定SAS；
D、正确，符合判定HL．
故答案为：A
【分析】两直角三角形中，已经具有一对直角对应相等，如果添加两个锐角对应相等，则这两个三角形是三个角对应相等，三个角对应相等的三角形只是相似，不一定全等；如果添加一条直角边和一个锐角对应相等，可以利用ASA判定这两个直角三角形全等；如果添加两条直角边对应相等，可以利用SAS判定这两个直角三角形全等，如果添加一条直角边和斜边对应相等，可以利用HL判定这两个直角三角形全等.
4．（2020八下·丹东期末）如图，在 中， 是AC上一点， 于点E， 连接BD，若AC=8cm，则 等于（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴DC=DE，
又∵AC=8cm，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据已知条件证明 ，证明DC=DE即可；
5．下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一条边对应相等 B．斜边和一直角边对应相等
C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法依次分析各选项即可判断。
A．一条边对应相等，C．一个锐角对应相等，D．两个锐角对应相等，均无法判定两个直角三角形全等；
B．斜边和一直角边对应相等，可以判定两个直角三角形全等，本选项正确。
故选B.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握直角三角形全等的判定方法，即可完成。
6．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．斜边相等 B．一锐角对应相等
C．两锐角对应相等 D．两直角边对应相等
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而AAA是不能判定三角形全等的，所以正确的答案只有选项D了．
【解答】A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误．
B、C选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此B、C选项错误．
D选项的根据是全等三角形判定中的SAS判定．
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一条直角边和一个锐角对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和一条斜边对应相等
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【解答】A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
B、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
8．下列说法正确的是（ ）
A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．有一个角是30°的两个等腰三角形全等
D．斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】A、画出图形（反例)，判断A即可；画出反例图形，即可判断B；根据顶角是30°或底角是30°，即可判断C；根据直角三角形的全等的判定定理HL，即可判断D．
【解答】A、如图：
AC=CD，BC=BC，∠B=∠B，但△BDC和△ABC不全等，故本选项错误；
B、△ABC的面积是×2×1=1，△EFG的面积是×1×2=1，但△ABC和△EFG不全等，故本选项错误；
C、当一个是底角是30°，而另一个是顶角是30°时，两等腰三角形不全等，故本选项错误；
D、根据HL即可得出结论，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解此题的关键是举出反例图形，培养学生分析问题的能力
9．（2021八上·大连月考）如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是 （ ）
A．BD＝CD B．DE＝DF C．∠B＝∠C D．AB＝AC
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，先根据“HL”证得Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得到结果。
【解答】在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD，AE＝AF，
因为，Rt△ADE≌Rt△ADF，
所以，DE＝DF，
故选B。
10．我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．其中AAA、SSA不能判定两个三角形全等，由此即可求解．
【解答】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL共5种
故选A。
二、填空题
11．（2019八下·来宾期末）如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝ ．
【答案】40
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ∵∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF （HL），
∴∠FDE=∠A=50°，
∴∠DFE=90°-∠A=90°-50°=40°；
故答案为：40.
【分析】 在Rt△ABC和Rt△DEF中，利用斜边直角边定理求得Rt△ABC≌Rt△DEF ，于是全等三角形对应角相等，得∠FDE=∠A=50°，从而由∠DFE=90°-∠A，求得∠DFE的度数。
12．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌ ，全等的根据是 ．
【答案】△DFE；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等
【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。
13．有 和一条 对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“ ”.
【答案】斜边；直角边；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”
【分析】根据直角三角形全等的判定定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”即可得出答案。
14．已知Rt△ABC的两直角边不相等，如果要画一个三角形与Rt△ABC全等，且使所画三角形两条直角边与Rt△ABC的两条直角边分别在同一条直线上（Rt△ABC本身不算），那么满足上述条件的三角形最多能画出 个．
【答案】7
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】如图所示：
△AMC，△EFC，△EGC，△HGC，△HFC，△BCN，△MNC共7个，
故答案为：7
【分析】在BC的延长线上取点F，使CF=AC，在CA的延长线上取点E，是CE=CB，连接EF，三角形CEF就是所求的三角形；在BC的延长线上取点M，使CM=BC连接AM，三角形AMC就是所求的三角形；在BC上取点G，使CG=AC，在CA的延长线上去点E，是CE=CB，连接EG，三角形CEG就是所求的三角形；在AC的延长线上取点N，使CN=AC，在CB的延长线上取点M，是CM=CB，连接MN，三角形CMN就是所求的三角形；在BC的延长线上取点F，使CF=AC，在CA的延长线上取点H，是CH=CB，连接FH，三角形CFH就是所求的三角形；在BC上取点G，使CG=AC，在AC的延长线上取点H，是CH=CB，连接HG，三角形GHF就是所求的三角形；，在AC的延长线上取点N，是CN=CA，连接BN，三角形CBN就是所求的三角形，从而得出答案。
三、解答题
15．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
【答案】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可．
16．（2019八上·灌云月考）如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．
【答案】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP=BC时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=5cm；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP=AC=10cm，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置．
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．
四、综合题
18．（2019八下·南山期中）如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与ADCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL），
∴AF=DE
（2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥FE
∴OP平分∠EOF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt
△ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE；
（2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。
19．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．
（1）求证： AF=CE．
（2）求证：AB∥CD．
【答案】（1）证明：（1）在 和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE(HL)．∴AF=CE
（2）证明：由（1）知∠ACD=∠CAB，∴AB∥CD．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据直角三角形全等判定，可解此题．
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