5.3.3古典概型 课件（共53张PPT）
文档属性
| 名称 | 5.3.3古典概型 课件（共53张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 547.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-11 06:03:05 | ||
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文档简介
(共53张PPT)
古典概型
自 学 导 引
1.了解基本事件的特点.
3.理解古典概型的定义.
4.会用古典概型的概率公式解决一些实际问题.
1.基本事件的特点.
(1)任何两个基本事件是________.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_______ _.
2.古典概型试验有两个共同的特征
(1)在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有___________不同的基本事件;
(2)每个基本事件发生的可能性是___________的.
互斥的
基本事件的和
有限个
相等
3.古典概型的概率公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 ;如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=___________.
1.古典概型
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,每次试验只能出现一个基本事件,每个基本事件的出现是等可能的,这就是古典概型.
(2)古典概型是一种最基本的概型,也是学习其他概率的基础.深入理解等可能性事件必须抓住以下三个特点:第一,对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同试验结果;第二,对于这有限个不同试验结果,它们出现的可能性是相等的;第三,求事件的概率可以不通过大量重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析计算即可.
2.古典概型的概率公式
(1)如果试验的基本事件的总数为n,A表示一个基本事件,即
(2)对于古典概型,如果试验的所有结果(基本事件)数为n,随机事件A包含的基本事件数为m,则由互斥事件概率的加法公式可得
所以,在古典概型中,
(3)用集合的观点来考查A的概率,有利于帮助学生生动、形象地理解事件A与基本事件的关系,有利于理解公式
.如右上图所示,把一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I,其中每一个结果就是I中的一个元素,把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合,则事件A是集合I的一个子集,则有
3.应用公式计算概率的步骤
(1)判断试验是否为古典概型;
(2)算出基本事件总数n;
(3)算出事件A包含的基本事件数m;
(4)代入公式:
题型一 基本事件的个数问题
例1:连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的基本事件空间;
(2)求这个试验的基本事件的总数;
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件
分析:用列举法写出所有结果.
解:(1)这个试验的基本事件空间Ω=
{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),
(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)};
(2)基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
规律技巧:在一次试验中,所有发生的每一个基本结果都称为一个基本事件,所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.
变式训练1:一只口袋里装有大小相同的5个球,其中3个白
球,2个黑球,从中一次摸出两个球.
(1)共有多少个基本事件
(2)两个球都是白球包含几个基本事件
解:(1)记白球为1 2 3号,黑球为4 5号,有以下基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个.
(2)两个球都是白球包含(1,2),(1,3),(2,3)共3个基本事件.
题型二 古典概率的计算
例2:袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)A:取出的两球都是白球;
(2)B:取出的两球1个是白球,另1个是红球.
分析:首先应求出任取两球的基本事件的总数,然后需分别求出事件A:取出的两球都是白球的总数和事件B:取出的两球1个是白球,而另1个是红球的总数.套用公式求解即可.
解:设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个.
(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的基本事件数,即是从4个白球中任取两个的基本事件数,共有6个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)(2,4),(3,4).
∴取出的两个球全是白球的概率为
(2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个为红球,而另一个为白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5)(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8个.
∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为
规律技巧:取出两球的结果数15还可以这样计算,从袋中6个球中任取两球,并按抽取顺序(x,y)记录结果,由于随机抽取,因此x有6种,y有5种,共有5×6=30种,但在记录的结果中有些是重复的,如(1,2),(2,1)是30种中的两种,它们在“从袋中取出2球”这件事上,是同一种情况,从而应有5×6÷2=15种情况.
变式训练2:(2009·福建)袋中有大小 形状相同的红 黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1)试问:一共有多少种不同的结果 请列出所有可能的结果;
(2)若摸到红球时得到2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.
解:(1)一共有8种不同的结果,列举如下:
(红 红 红) (红 红 黑) (红 黑 红) (红 黑 黑) (黑 红 黑) (黑 黑 红) (黑 黑 黑) (黑 红 红).
(2)记“摸球3次所得总分为5”的事件为A,则事件A包含的基本事件有:(红 红 黑) (红 黑 红) (黑 红 红),事件A包含3个基本事件,由(1)知,基本事件总数为8.所以事件A的概率为
题型三 较复杂的概率计算问题
例3:同时抛掷两枚相同的骰子,求:
(1)点数之和为7的概率;
(2)点数之和不大于5的概率;
(3)有一个点数是6的概率.
分析:解答本题可先列出抛掷两枚骰子的所有基本事件,由于含基本事件较多,可采用表格的方法列出,然后再分情况解答.
解:列表:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
第二枚掷
得点数
第一枚掷
得点数
由表可知,共有基本事件36种.
(1)设点数之和为7的事件为A,则A包含的基本事件有:(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种.
(2)设点数之和不大于5的事件为B,则B包含的基本事件有:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10种,
(3)设有一个点数是6的事件为C,则C包含的基本事件有:
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),共11种,
规律技巧:在求概率时,通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点表示,以方便我们更直接 更准确地找出某个事件所包含的基本事件种数,然后代入公式求出概率.
变式训练3:现从A B C D E五人中选取三人参加一个重要会
议.五人被选中的机会相等.求:
(1)A被选中的概率;
(2)A和B同时被选中的概率;
(3)A或B被选中的概率.
解:从A B C D E五人中任选三人参加会议共有以下10种方式:
(A B C) (A B D) (A B E) (A C D) (A C E) (A D E) (B C D) (B C E) (B D E) (C D E),且每种结果出现是等可能的.
(1)事件“A被选中”共有6种方式.故所求事件的概率
(2)A B同时被选中共有3种方式,故所求事件的概率为
(3)方法一:“A或B被选中”的对立事件为“A和B均未被选中”,故所求事件的概率
方法二:“A或B被选中”即A B两人至少有一个被选中,共有9种方式.
故所求事件的概率.
例4:(2009·山东)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值;
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经验测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
分析:本题主要考查分层抽样及古典概型的应用,考查应用所学知识解决实际问题的能力.
解:(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,
则z=2000-(100+300)-150-450-600=400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,
因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.
用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,
则基本事件空间包含的基本事件有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个,
事件E包含的基本事件有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个,
(3)样本平均数
设D表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包含的基本事件有:
9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,
变式训练4:(2008·辽宁)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
答案:C
解析:从4张卡片随机取2张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),6种基本事件,其数字之和为奇数的有(1,2) ,(1,4),(2,3),(3,4).
1.从甲 乙 丙三人中,任选两名代表,甲被选中的概率为( )
答案:D
解析:甲 乙 丙三人中任选两名代表有如下三种情况:(甲 乙) (甲 丙) (乙 丙),其中甲被选中包含两种,因此概率
2.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )
答案:D
解析:由题知,在该问题中基本事件总数为5,一位乘客等车这一事件包含2个基本事件,故所求概率为
3.一枚硬币连掷3次,只有两次出现正面的概率是( )
解析:一枚硬币连掷3次,有8个不同的结果,而两次出现正面向上的情况有(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),包含3个结果,因此所求概率为 .
答案:A
4.有4条线段,长度分别为1 3 5 7,从这四条线中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率是( )
解析:在4条线段1,3,5,7中任取3条有4种取法:(1,3,5),(1,5,7),(1,3,7),(3,5,7),其中仅有(3,5,7)能构成三角形,故所求概率为 .
答案:A
5.从含有3个元素的集合中任取一个子集,所取的子集恰含两个元素的概率为( )
解析:设集合A={a1,a2,a3},则A有8个子集,它们是 ?,{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},{a1,a2,a3}.其中含有两个元素的子集有3个.故所求概率为P= .
答案:D
6.利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生,其中戴眼镜的同学有120人,若在这个学校随机调查一名学生,则这名学生戴眼镜的概率是________.
0.6
解析:依题意知,随机调查一名学生,戴眼镜的概率为
7.从编号为1到100的100张卡片中,任取一张,所得编号是4的倍数的概率为___________.
0.25
解析:设4的倍数为4k,k取整数,令1≤4k≤100,解得1≤k≤25,即在1到100之间共有25个数是4的倍数,因此
8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它的六个面分别标有点数1 2 3 4 5 6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log2xy=1的概率为________.
解析:由log2xy=1,得y=2x,∵1≤y≤6,∴x=1,2,3.而先后抛掷两个骰子,有6×6=36个基本结果,而适合题意的结果有3个,由古典概型公式知,所求概率为
9.随意安排甲 乙 丙3人在3天节日中值班,每人值班1天,则
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法
(2)其中甲在乙之前的排法有多少种
(3)甲排在乙之前的概率为多少
解:(1)三人值班共有排法(甲 乙 丙) (甲 丙 乙) (乙 甲 丙) (乙 丙 甲) (丙 乙 甲) (丙 甲 乙)6种.
(2)因为甲排在乙之前与甲排在乙之后的可能性是相等的,且甲排在乙之前与甲排在乙之后构成对立事件,∴甲排在乙之前的排法有3种.
(3)甲排在乙之前的概率为
10.(2008·四川文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:
5,6,7,8,9,10.
把这6名学生的得分看成一个总体.
(1)求该总体的平均数;
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解:(1)总体平均数为
(5+6+7+8+9+10)=7.5.
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果
有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共有15个基本结果.事件A包含的基本结果有:(5,9),(5,10) ,(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共7个基本结果.
所以所求的概率为
11.(2009·江苏)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________.
0.2
解析:从5根竹竿中任取2根的取法有 ×5×4=10种可能结果,而满足它们的长度恰好相差0.3 m的取法就有2种,即取2.5和2.8,2.6和2.9.
由古典概型公式得
12.(2009·天津)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,对列举法计算2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
解:(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数的比为 ∴从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,C1,C2为在C区中抽得的2个工厂.在这7个工厂中随机地抽取2个,全部可能的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21种.
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),共有11种.所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为
古典概型
自 学 导 引
1.了解基本事件的特点.
3.理解古典概型的定义.
4.会用古典概型的概率公式解决一些实际问题.
1.基本事件的特点.
(1)任何两个基本事件是________.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_______ _.
2.古典概型试验有两个共同的特征
(1)在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有___________不同的基本事件;
(2)每个基本事件发生的可能性是___________的.
互斥的
基本事件的和
有限个
相等
3.古典概型的概率公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 ;如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=___________.
1.古典概型
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,每次试验只能出现一个基本事件,每个基本事件的出现是等可能的,这就是古典概型.
(2)古典概型是一种最基本的概型,也是学习其他概率的基础.深入理解等可能性事件必须抓住以下三个特点:第一,对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同试验结果;第二,对于这有限个不同试验结果,它们出现的可能性是相等的;第三,求事件的概率可以不通过大量重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析计算即可.
2.古典概型的概率公式
(1)如果试验的基本事件的总数为n,A表示一个基本事件,即
(2)对于古典概型,如果试验的所有结果(基本事件)数为n,随机事件A包含的基本事件数为m,则由互斥事件概率的加法公式可得
所以,在古典概型中,
(3)用集合的观点来考查A的概率,有利于帮助学生生动、形象地理解事件A与基本事件的关系,有利于理解公式
.如右上图所示,把一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I,其中每一个结果就是I中的一个元素,把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合,则事件A是集合I的一个子集,则有
3.应用公式计算概率的步骤
(1)判断试验是否为古典概型;
(2)算出基本事件总数n;
(3)算出事件A包含的基本事件数m;
(4)代入公式:
题型一 基本事件的个数问题
例1:连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的基本事件空间;
(2)求这个试验的基本事件的总数;
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件
分析:用列举法写出所有结果.
解:(1)这个试验的基本事件空间Ω=
{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),
(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)};
(2)基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
规律技巧:在一次试验中,所有发生的每一个基本结果都称为一个基本事件,所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.
变式训练1:一只口袋里装有大小相同的5个球,其中3个白
球,2个黑球,从中一次摸出两个球.
(1)共有多少个基本事件
(2)两个球都是白球包含几个基本事件
解:(1)记白球为1 2 3号,黑球为4 5号,有以下基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个.
(2)两个球都是白球包含(1,2),(1,3),(2,3)共3个基本事件.
题型二 古典概率的计算
例2:袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)A:取出的两球都是白球;
(2)B:取出的两球1个是白球,另1个是红球.
分析:首先应求出任取两球的基本事件的总数,然后需分别求出事件A:取出的两球都是白球的总数和事件B:取出的两球1个是白球,而另1个是红球的总数.套用公式求解即可.
解:设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个.
(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的基本事件数,即是从4个白球中任取两个的基本事件数,共有6个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)(2,4),(3,4).
∴取出的两个球全是白球的概率为
(2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个为红球,而另一个为白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5)(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8个.
∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为
规律技巧:取出两球的结果数15还可以这样计算,从袋中6个球中任取两球,并按抽取顺序(x,y)记录结果,由于随机抽取,因此x有6种,y有5种,共有5×6=30种,但在记录的结果中有些是重复的,如(1,2),(2,1)是30种中的两种,它们在“从袋中取出2球”这件事上,是同一种情况,从而应有5×6÷2=15种情况.
变式训练2:(2009·福建)袋中有大小 形状相同的红 黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1)试问:一共有多少种不同的结果 请列出所有可能的结果;
(2)若摸到红球时得到2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.
解:(1)一共有8种不同的结果,列举如下:
(红 红 红) (红 红 黑) (红 黑 红) (红 黑 黑) (黑 红 黑) (黑 黑 红) (黑 黑 黑) (黑 红 红).
(2)记“摸球3次所得总分为5”的事件为A,则事件A包含的基本事件有:(红 红 黑) (红 黑 红) (黑 红 红),事件A包含3个基本事件,由(1)知,基本事件总数为8.所以事件A的概率为
题型三 较复杂的概率计算问题
例3:同时抛掷两枚相同的骰子,求:
(1)点数之和为7的概率;
(2)点数之和不大于5的概率;
(3)有一个点数是6的概率.
分析:解答本题可先列出抛掷两枚骰子的所有基本事件,由于含基本事件较多,可采用表格的方法列出,然后再分情况解答.
解:列表:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
第二枚掷
得点数
第一枚掷
得点数
由表可知,共有基本事件36种.
(1)设点数之和为7的事件为A,则A包含的基本事件有:(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种.
(2)设点数之和不大于5的事件为B,则B包含的基本事件有:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10种,
(3)设有一个点数是6的事件为C,则C包含的基本事件有:
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),共11种,
规律技巧:在求概率时,通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点表示,以方便我们更直接 更准确地找出某个事件所包含的基本事件种数,然后代入公式求出概率.
变式训练3:现从A B C D E五人中选取三人参加一个重要会
议.五人被选中的机会相等.求:
(1)A被选中的概率;
(2)A和B同时被选中的概率;
(3)A或B被选中的概率.
解:从A B C D E五人中任选三人参加会议共有以下10种方式:
(A B C) (A B D) (A B E) (A C D) (A C E) (A D E) (B C D) (B C E) (B D E) (C D E),且每种结果出现是等可能的.
(1)事件“A被选中”共有6种方式.故所求事件的概率
(2)A B同时被选中共有3种方式,故所求事件的概率为
(3)方法一:“A或B被选中”的对立事件为“A和B均未被选中”,故所求事件的概率
方法二:“A或B被选中”即A B两人至少有一个被选中,共有9种方式.
故所求事件的概率.
例4:(2009·山东)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值;
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经验测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
分析:本题主要考查分层抽样及古典概型的应用,考查应用所学知识解决实际问题的能力.
解:(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,
则z=2000-(100+300)-150-450-600=400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,
因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.
用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,
则基本事件空间包含的基本事件有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个,
事件E包含的基本事件有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个,
(3)样本平均数
设D表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包含的基本事件有:
9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,
变式训练4:(2008·辽宁)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
答案:C
解析:从4张卡片随机取2张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),6种基本事件,其数字之和为奇数的有(1,2) ,(1,4),(2,3),(3,4).
1.从甲 乙 丙三人中,任选两名代表,甲被选中的概率为( )
答案:D
解析:甲 乙 丙三人中任选两名代表有如下三种情况:(甲 乙) (甲 丙) (乙 丙),其中甲被选中包含两种,因此概率
2.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )
答案:D
解析:由题知,在该问题中基本事件总数为5,一位乘客等车这一事件包含2个基本事件,故所求概率为
3.一枚硬币连掷3次,只有两次出现正面的概率是( )
解析:一枚硬币连掷3次,有8个不同的结果,而两次出现正面向上的情况有(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),包含3个结果,因此所求概率为 .
答案:A
4.有4条线段,长度分别为1 3 5 7,从这四条线中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率是( )
解析:在4条线段1,3,5,7中任取3条有4种取法:(1,3,5),(1,5,7),(1,3,7),(3,5,7),其中仅有(3,5,7)能构成三角形,故所求概率为 .
答案:A
5.从含有3个元素的集合中任取一个子集,所取的子集恰含两个元素的概率为( )
解析:设集合A={a1,a2,a3},则A有8个子集,它们是 ?,{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},{a1,a2,a3}.其中含有两个元素的子集有3个.故所求概率为P= .
答案:D
6.利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生,其中戴眼镜的同学有120人,若在这个学校随机调查一名学生,则这名学生戴眼镜的概率是________.
0.6
解析:依题意知,随机调查一名学生,戴眼镜的概率为
7.从编号为1到100的100张卡片中,任取一张,所得编号是4的倍数的概率为___________.
0.25
解析:设4的倍数为4k,k取整数,令1≤4k≤100,解得1≤k≤25,即在1到100之间共有25个数是4的倍数,因此
8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它的六个面分别标有点数1 2 3 4 5 6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log2xy=1的概率为________.
解析:由log2xy=1,得y=2x,∵1≤y≤6,∴x=1,2,3.而先后抛掷两个骰子,有6×6=36个基本结果,而适合题意的结果有3个,由古典概型公式知,所求概率为
9.随意安排甲 乙 丙3人在3天节日中值班,每人值班1天,则
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法
(2)其中甲在乙之前的排法有多少种
(3)甲排在乙之前的概率为多少
解:(1)三人值班共有排法(甲 乙 丙) (甲 丙 乙) (乙 甲 丙) (乙 丙 甲) (丙 乙 甲) (丙 甲 乙)6种.
(2)因为甲排在乙之前与甲排在乙之后的可能性是相等的,且甲排在乙之前与甲排在乙之后构成对立事件,∴甲排在乙之前的排法有3种.
(3)甲排在乙之前的概率为
10.(2008·四川文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:
5,6,7,8,9,10.
把这6名学生的得分看成一个总体.
(1)求该总体的平均数;
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解:(1)总体平均数为
(5+6+7+8+9+10)=7.5.
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果
有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共有15个基本结果.事件A包含的基本结果有:(5,9),(5,10) ,(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共7个基本结果.
所以所求的概率为
11.(2009·江苏)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________.
0.2
解析:从5根竹竿中任取2根的取法有 ×5×4=10种可能结果,而满足它们的长度恰好相差0.3 m的取法就有2种,即取2.5和2.8,2.6和2.9.
由古典概型公式得
12.(2009·天津)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,对列举法计算2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
解:(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数的比为 ∴从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,C1,C2为在C区中抽得的2个工厂.在这7个工厂中随机地抽取2个,全部可能的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21种.
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),共有11种.所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为