初中数学湘教版八年级下册第一章 直角三角形 单元练习
一、单选题
1．如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．三角形的三条角平分线交于一点，这个点（ ）
A．到这个三角形各顶点的距离相等
B．到这个三角形各边的距离相等
C．到这个三角形各边中点的距离相等
D．以上说法都不对
3．（2016·宝安模拟）如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，以B为圆心，任意长为半径画弧分别交BA、BC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结BP并延长交AC于点D，若△BDC的面积为20，则△ABD的面积为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．12
4．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．（2018八上·防城港期中）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD=2，则点D到AB的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021八下·富顺月考）如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是( ).
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2020八下·南昌月考）如图所示，点 的表示的数为 ， ，以 为圆心， 为半径画弧，交数轴于点 ，则点 表示的数是（ ）
A． B． C． D．
10．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（ ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
二、填空题
11．（新人教版数学八年级上册12．1全等三角形 同步练习）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”．
12．（2017八上·济源期中）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是 ．（填写序号）
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=
14．（华师大版数学八年级上册第14章第1节14.1.1直角三角形三边的关系同步练习）斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是 ．
15．（新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形同步练习）△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝ .
16．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 .
三、解答题
17．（新人教版数学八年级上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质 同步练习）如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系？并加以证明．
18．（新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形同步练习）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的
高．求CD的长.
19．（新人教版数学八年级上册第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定同步练习）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90 ，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
求证： Rt△ABE≌Rt△CBF．
20．（新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.3.1等腰三角形同步练习）如图3，在△ABC中，已知AD是∠BAC的平 分线，DE.DF分别垂直于AB.AC，垂足分别为E.F，且D是BC的中点，你认为线段EB与FC相等吗？如果相等，请说明理由．
21．（新人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理 同步训练）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120nmile，乙巡逻艇每小时航行50nmile，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长．
【解答】∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，
PO为公共边，∴△POE≌△POF，
∴PF=PE=6．
故选C．
【点评】此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据三角形的三条角平分线交于一点，利用角平分线性质对各个选项逐一分析即可．
【解答】三角形的三条角平分线交于一点，
只有当此三角形为等边三角形时，
这个点到这个三角形各顶点的距离才相等，
到这个三角形各边中点的距离才相等，
故A、C错误．
根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以三角形的三条角平分线交于一点，
这个点到这个三角形各边的距离相等，所以B正确，
故选B．
【点评】此题主要考查学生对角平分线性质的理解和掌握，要求学生熟练掌握角平分线性质，为以后的有关此类知识的证明题打好基础．
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图知，BD平分∠ABC，
过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，
则DE=DF，
∵△BDC的面积为20，BC=10，
∴DE=DF=4，
∵AB=8，
∴△ABD的面积= AB DF= ×8×4=16，
故选C．
【分析】根据角平分线的作法可得BD平分∠ABC，再根据角平分线的性质得到DE=DF=4，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
【解答】根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（)2+（)2=（)2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
5．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL)，则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值。
【解答】∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL)
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故选C.
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件。
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选B．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD=2．
【解答】由角平分线的性质，得点D到AB的距离=CD=2．
故选B．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD=，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离=AD=3．
故选：A．
【分析】先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．本题利用勾股定理和角平分线的性质．
9．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点C的表示的数为2，BC=1，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，
∴BO= =
则A表示- ．
故答案为：D．
【分析】首先利用勾股定理得出BO的长，再利用A点的位置得出答案．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意知树折断的两部分与地面形成一直角三角形，根据勾股定理求出BC的长即可解答．
【解答】如图所示，
AB=10米，AC=6米，根据勾股定理得，
8m<9m.
故选A．
【点评】考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键
11．【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】因为BE，CD是△ABC的高，所以∠CDB=∠BEC=90°， △CDB和△BEC是直角三角形；且BD＝EC，BC=CB所以△BCD≌△CBE；
【分析】首先根据三角形的高可得两个高所在的三角形是直角三角形，再根据由已知一组直角边和一组斜边相等，利用直角三角形的判断方法，可得两个直角三角形全等．
12．【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC= ∠ABC=25°，
∴∠DOC=25°+60°=85°，②错误；
∠BDC=60°﹣25°=35°，③正确；
∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，
∴AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠DAC=55°，④正确，
故答案为：①③④．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可．
13．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴AD=2CD=2
∴BD=AD=2，
故答案为2．
【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．
14．【答案】60cm2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由题意，此三角形的另一条直角边为 (cm)，所以面积为×15×8=60 (cm2)．
【分析】由勾股定理求出直角三角形的另一边长，由面积公式求出直角三角形的面积．
15．【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；因为AB＝10，则BC是AB的一半为5..
【分析】根据三角形内角和的定理得∠A，∠B，∠C的度数；由含30°角的直角三角形的性质可得BC是AB的一半即可得BC的长度，
16．【答案】6
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
故答案为：6．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
17．【答案】解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：
过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，BE=BE，AE=DE，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），
∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，
∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先根据直角三角形的判定Rt△BAE≌Rt△BDE，再根据角平分线的性质进行等量代换．
18．【答案】解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高，AB=AC=2a， ∴AC=2CD∴DC=a，
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得∠DAC=30°，根据等腰三角形的性质∴∠DAC=30°再根据含30°角的直角三角形的性质可得DC=a，
19．【答案】证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°．在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE=CF， AB=BC， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°．在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE=CF， AB=BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
【分析】结合图形和所给条件可得△ABE和△CBF为直角三角形，再利用HL可判定两个直角三角形全等．
20．【答案】解：相等，理由：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF， 在Rt△BED和Rt△CFD中，∵DE=DF，BD=DC，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴EB=FC．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】利用角平分线的性质，得DE=DF，再证Rt△BED≌Rt△CFD得到EB=FC.
21．【答案】AC=120× =12(nmile)，BC=50× =5(nmile)，又因为AB=13nmile，所以AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，由∠CBA=50°，知∠CAB=40°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东50°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】正确运用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定，从而根据已知条件求出直角三角形中两个锐角的度数是本题的基本思路.
1 / 1初中数学湘教版八年级下册第一章 直角三角形 单元练习
一、单选题
1．如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长．
【解答】∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，
PO为公共边，∴△POE≌△POF，
∴PF=PE=6．
故选C．
【点评】此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．
2．三角形的三条角平分线交于一点，这个点（ ）
A．到这个三角形各顶点的距离相等
B．到这个三角形各边的距离相等
C．到这个三角形各边中点的距离相等
D．以上说法都不对
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据三角形的三条角平分线交于一点，利用角平分线性质对各个选项逐一分析即可．
【解答】三角形的三条角平分线交于一点，
只有当此三角形为等边三角形时，
这个点到这个三角形各顶点的距离才相等，
到这个三角形各边中点的距离才相等，
故A、C错误．
根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以三角形的三条角平分线交于一点，
这个点到这个三角形各边的距离相等，所以B正确，
故选B．
【点评】此题主要考查学生对角平分线性质的理解和掌握，要求学生熟练掌握角平分线性质，为以后的有关此类知识的证明题打好基础．
3．（2016·宝安模拟）如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，以B为圆心，任意长为半径画弧分别交BA、BC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结BP并延长交AC于点D，若△BDC的面积为20，则△ABD的面积为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．12
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图知，BD平分∠ABC，
过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，
则DE=DF，
∵△BDC的面积为20，BC=10，
∴DE=DF=4，
∵AB=8，
∴△ABD的面积= AB DF= ×8×4=16，
故选C．
【分析】根据角平分线的作法可得BD平分∠ABC，再根据角平分线的性质得到DE=DF=4，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
4．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
【解答】根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（)2+（)2=（)2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
5．如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL)，则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值。
【解答】∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL)
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故选C.
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件。
6．（2018八上·防城港期中）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选B．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD=2，则点D到AB的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD=2．
【解答】由角平分线的性质，得点D到AB的距离=CD=2．
故选B．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键．
8．（2021八下·富顺月考）如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是( ).
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD=，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离=AD=3．
故选：A．
【分析】先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．本题利用勾股定理和角平分线的性质．
9．（2020八下·南昌月考）如图所示，点 的表示的数为 ， ，以 为圆心， 为半径画弧，交数轴于点 ，则点 表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点C的表示的数为2，BC=1，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，
∴BO= =
则A表示- ．
故答案为：D．
【分析】首先利用勾股定理得出BO的长，再利用A点的位置得出答案．
10．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（ ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意知树折断的两部分与地面形成一直角三角形，根据勾股定理求出BC的长即可解答．
【解答】如图所示，
AB=10米，AC=6米，根据勾股定理得，
8m<9m.
故选A．
【点评】考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键
二、填空题
11．（新人教版数学八年级上册12．1全等三角形 同步练习）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”．
【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】因为BE，CD是△ABC的高，所以∠CDB=∠BEC=90°， △CDB和△BEC是直角三角形；且BD＝EC，BC=CB所以△BCD≌△CBE；
【分析】首先根据三角形的高可得两个高所在的三角形是直角三角形，再根据由已知一组直角边和一组斜边相等，利用直角三角形的判断方法，可得两个直角三角形全等．
12．（2017八上·济源期中）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC= ∠ABC=25°，
∴∠DOC=25°+60°=85°，②错误；
∠BDC=60°﹣25°=35°，③正确；
∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，
∴AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠DAC=55°，④正确，
故答案为：①③④．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴AD=2CD=2
∴BD=AD=2，
故答案为2．
【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．
14．（华师大版数学八年级上册第14章第1节14.1.1直角三角形三边的关系同步练习）斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是 ．
【答案】60cm2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由题意，此三角形的另一条直角边为 (cm)，所以面积为×15×8=60 (cm2)．
【分析】由勾股定理求出直角三角形的另一边长，由面积公式求出直角三角形的面积．
15．（新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形同步练习）△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝ .
【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；因为AB＝10，则BC是AB的一半为5..
【分析】根据三角形内角和的定理得∠A，∠B，∠C的度数；由含30°角的直角三角形的性质可得BC是AB的一半即可得BC的长度，
16．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 .
【答案】6
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
故答案为：6．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
三、解答题
17．（新人教版数学八年级上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质 同步练习）如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系？并加以证明．
【答案】解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：
过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，BE=BE，AE=DE，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），
∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，
∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先根据直角三角形的判定Rt△BAE≌Rt△BDE，再根据角平分线的性质进行等量代换．
18．（新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形同步练习）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的
高．求CD的长.
【答案】解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高，AB=AC=2a， ∴AC=2CD∴DC=a，
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得∠DAC=30°，根据等腰三角形的性质∴∠DAC=30°再根据含30°角的直角三角形的性质可得DC=a，
19．（新人教版数学八年级上册第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定同步练习）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90 ，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
求证： Rt△ABE≌Rt△CBF．
【答案】证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°．在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE=CF， AB=BC， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°．在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE=CF， AB=BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
【分析】结合图形和所给条件可得△ABE和△CBF为直角三角形，再利用HL可判定两个直角三角形全等．
20．（新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.3.1等腰三角形同步练习）如图3，在△ABC中，已知AD是∠BAC的平 分线，DE.DF分别垂直于AB.AC，垂足分别为E.F，且D是BC的中点，你认为线段EB与FC相等吗？如果相等，请说明理由．
【答案】解：相等，理由：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF， 在Rt△BED和Rt△CFD中，∵DE=DF，BD=DC，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴EB=FC．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】利用角平分线的性质，得DE=DF，再证Rt△BED≌Rt△CFD得到EB=FC.
21．（新人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理 同步训练）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120nmile，乙巡逻艇每小时航行50nmile，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？
【答案】AC=120× =12(nmile)，BC=50× =5(nmile)，又因为AB=13nmile，所以AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，由∠CBA=50°，知∠CAB=40°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东50°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】正确运用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定，从而根据已知条件求出直角三角形中两个锐角的度数是本题的基本思路.
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