数学人教A版（2019）必修第二册10.2事件的相互独立（共18张ppt）

(共18张PPT)
第十章 概率
10.2事件的相互独立
学习目标
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.
2.结合古典概型，利用独立性计算概率．
数学学科素养
1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．
2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.
学习 重难点
重点：利用独立性计算概率
难点：至少、至多问题的概率
复习回顾——概率的基本性质
对任意的事件A，都有 P(A)0;
性质1
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，
即P(Ω)=1，P(φ)=0
性质2
如果事件A与事件B互斥，
那么P（AUB）=P(A)+P(B)
性质3
如果事件A与事件B互为对立事件，
那么P（B）=1-P(A)，P(A)=1-P(B)
性质4
如果事件AB，那么P(A)P(B)
性质5
设A，B是一个随机试验中的两个事件，
我们有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
性质6
新知讲授——事件的相互独立性
分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
思考1
因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.
而A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)},
所以AB={(1,0)}.
由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25.
于是P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
新知讲授——事件的相互独立性
一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
思考2
因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.
而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},
B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},
P(A)=P(B)=P(AB)=
于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积.
新知讲授——事件的相互独立性
相互独立
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A与事件B相互独立.简称独立.
必然事件Ω
必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响，所以必然事件 与任何事件A相互独立.
不可能事件
不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响，所以不可能事件 与任何事件A相互独立.
新知讲授——事件的相互独立性
一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.分别验证①A与,②与B,③与是否独立,你有什么发现？
思考3
解析：①对于A与，因为A=AB A，而且AB与A互斥，所以
P(A)=P(AB A)=P(AB)＋P(A)
=P(A)P(B)+P(A)，
所以P(A)=P(A)-P(A)P(B)
=P(A)(1-P(B))=P(A)P().
由事件的独立性定义，A与相互独立.
类似地，可以证明事件与B, 与也都相互独立.
我们知道，如果三个事件A，B，C两两互斥，那么概率加法公式P(A1A2 A3) =P(A1)＋P(A2)+P(A3)成立．但当三个事件A，B，C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
新知讲授——事件的相互独立性
事件3
袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
事件2
袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
事件1
篮球比赛的“罚球两次”中
事件A：第一次罚球，球进了；
事件B：第二次罚球，球进了.
判断下列事件是否为相互独立事件.
判断
相互独立事件的判断方法：
1.定义法：P(AB)=P(A)P(B)
2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。
例一
一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
解
析
解析：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,2),(2,1)}
所以P(A)=P(B)=P(AB)=
此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.
解析
变式练习1
分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，事件B=“第2枚正面朝上”，事件C=“2枚硬币朝上的面相同”，A，B，C中哪两个相互独立？
抛掷两枚质地均匀硬币,其全部事件有︰(正,正),(正,反),(反,正) ,(反,反),总计4个
事件A为“第1枚正面朝上”,它包括:(正,正) ,(正,反)，总计2个,故P(A)=
事件B为“第2枚正面朝上”,它包括:(正正) ,(反,正)，总计2个,故P(B)=
事件C为"2枚硬币朝上的面相同”,它包括∶( 正,正) ,(反,反),总计2个，故P(C)=
事件AB为"第1枚正面朝上且第2枚正面朝上”，它只有(正，正)，一种情形，故P(AB)=P(A)P(B)，故A与B相互独立.
事件BC为"第2枚正面朝上且2枚硬币朝上的面相同"，它也就是“两枚均正面朝上”，它只有(正，正)，一种情形,故P(BC)=P(B)P(C),故B与C相互独立
事件AC为"第1枚正面朝上且2枚硬币朝上的面相同",它也就是“两枚均正面朝上”，它只有(正，正)，一种情形，
故P(AC)=P(A)P(C),故A与C相互独立综上所述，A ，B，C两两互相独立
例二
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
解
析
设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则=“甲脱靶”，=“乙脱靶”，由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与，与B，与都相互独立，由已知可得， P(A)=0.8，P(B)=0.9，P()=0.2，P()=0.1
(1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72
(2)“恰好有一人中靶”=A∪B，且A与B互斥,根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26
(3)事件“两人都脱靶”=，所以P()=P()P()=0.2×0.1=0.02
(4)方法1:事件“至少有一人中靶”=AB∪A∪B,且AB，A与B两两互斥，所以P(AB∪A∪B)=P(AB)+P(A)+P(B)=0.98.
方法2.由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中把”的概率为1-P()=1-0.02=0.98.
解析
变式练习2
天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0. 2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都降雨的概率；
（2）甲、乙两地都不降雨的概率；
（3）至少一个地方降雨的概率.
(1)设A={在元旦假期甲地降雨}，则P(A)=0.2，B={在元旦假期乙地降雨},P(B)=0.3，则在元旦假期甲、乙两地都降雨为事件AB
在这段时间内两地是否降雨相互没有响，P(AB)=P(A)P(B)=0.2×0.3=0.06
(2)在元旦假期甲、乙两地都不降雨为事件，由已知在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，P()=P()P()=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
(3)设A={在元旦假期甲地降雨}，则P(A)=0.2 ;B={在元旦假期乙地降雨} ,则P(B)=0.3则在元旦假期甲、乙两地都不降雨与至少一个地方降雨为对立事件，所以元旦假期甲、乙两地至少一个地方降雨的概率为1一0.56=0.44
例三
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为0.75，乙每轮猜对的概率为2/3.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响,求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率
解
析
解析：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1,B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立性假定，得
P(A1)=，P(A2)=.
P(B1)=，P(B2)=.
设A=“两轮活动'星队'猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2,A2与B1分别相互独立，
所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是
解析
变式练习3
设样本空间={a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}.请验证A，B，C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
由题意可得P(A)=，P(B)=，P(C)=，
P(AB)=，P(AC)=，P(BC)=P(ABC)=,
所以P(AB)= P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)= P(B)P(C)，
即A,B,C两两独立.
但P(A)P(B)P(C)=
所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
课堂检测
2．假设P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A与B相互独立，则P(AB)=_______，P(A∪B)=________.
因为A与B相互独立，
所以P(AB)= P(A)P(B) =0.7× 0.8 = 0.56,
P(AUB) =P(A)＋P(B)-P(AB)=0.7＋0.8-0.56 = 0.94.
课堂检测
3．若P(A)>0，P(B)>0，证明：事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立.
由题意，假设A，B相互独立，根据事件独立性的定义，必有
P(AB)=P(A)P(B)① ,
假如A，B事件同时也是互斥的，即A，B不会同时发生，
根据概率的定义，有P(AB) =0②
由①②可知，P(A)P(B)=0 ,即P(A)= 0或P(B)= 0 ,
与题设P(A) > 0，P(B)>0矛盾，所以原结论正确.
课堂小结
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A∪B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件 .
(4)A，B恰有一个发生为事件A ∪ B．
(5)A，B中至多有一个发生为事件A ∪ B ∪ .
课堂小结
相互独立事件的判断方法：
1.定义法：P(AB)=P(A)P(B)
2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。