梅州中学2020-2021高一下学期数学周练（10）含答案(word版含答案)

梅州中学2020-2021高一下学期数学周练（10）
一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）
1.若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 异面 C. 异面或相交 D. 相交、平行或异面
2.已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，则此正三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的表面积为（ ）
A. 9π B. 18π C. 27π D. 36π
5.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O，则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于（ ）
A. B. C. D.
7.（多选题）下面四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ）
A. B. C. D.
8.（多选题）如图,在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中, O为底面正方形的中心, M ,N分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( )
A. ∥平面 B. 平面∥平面
C. 直线与直线MN所成角的大小为90° D.
二、填空题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）
9.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：①，②，③，④.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：______.
10.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段上的任意一点，有下面三个命题：①平面；②；③．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．
梅州中学2020-2021高一下学期数学周练（10）
班级________姓名__________座号_______成绩__________
1、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）
9.____________________________________
10.____________________
三、解答题
11.（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，
（1）求证：平面；
（2）求证：直线平面
（3）求直线与平面所成角的正切值.
试卷答案
1-6CADCAB 7AD 8.ABD
9.若，，则 10.①②③
11.
【分析】
（1）由题意知，利用线面垂直的判断定理即可证明；
（2）由菱形的性质知由平面，可知，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（3）过作连结，结合，可得平面，可得以是直线与平面所成角，在中利用三角函数的定义即可求解.
【详解】解：（1）因为四边形是菱形，所以，
因为平面，平面
所以平面.
（2）因为四边形是菱形，所以
又因为平面平面
所以又因为
所以平面
（3）过作连结
因为平面平面所以
又因为所以平面
所以是直线与平面所成角
在中，
所以
所以是直线与平面所成角的正切值
1. C
借助正方体模型，找出三条直线a，b，c，符合题意，判断b，c的位置关系.
【详解】解：考虑正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，
直线AB看做直线a，直线B'C'看做直线b，
即直线a和直线b是异面直线，
若直线CD看做直线c，可得a，c平行，则b，c异面；
若直线A'B'看做直线c，可得a，c平行，则b，c相交.
若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，这与a，b异面矛盾，故b，c不平行.
【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，考查数形结合思想和分类讨论思想，以及推理能力，属于基础题.
2. A
根据的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，进而求得正三棱锥的体积.
【详解】由于，所以，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为2，其面积为，所以正三棱锥的体积为.
【点睛】本小题主要考查根据斜二测画法的直观图，求原图的边长，考查正棱锥的体积的求法，属于基础题.
3. D
利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.
【详解】A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.
B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.
C.若，，则可能，所以不正确.
D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.所以，所以有，所以正确.
【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.
4. C
根据题意用球的半径表示底面正方形面积以及锥体的高，再根据体积求球半径，最后根据球的表面积公式求结果.
【详解】设球的半径为R，则，解得R＝3，
故半球的表面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查球的表面积、锥的外接球，考查基本分析求解能力，属基础题.
5.A
细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则答案可求.
【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，
设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，
∴细沙的体积为.
细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为，
则，得. ∴.
【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题
6.B
连接，设侧棱与底面边长都等于，计算，，，，再根据点到底面的距离等于点到底面的距离，求解与底面所成角的正弦值，即可.
【详解】如图所示，设三棱柱的侧棱与底面边长都等于.
连接，则.
在中，，得.
在中，，即，
则为等边三角形，所以.
在菱形中，得.
又因为点到底面的距离等于点到底面的距离
所以与底面所成角的正弦值为.
即与底面所成角的余弦值为.
【点睛】本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.
7.AD
对每个图形进行分析，根据面面平行的性质定理对A判断．由线面平行 判定定理对D判断，由线面相交的定义对B，C判断．
【详解】（下面说明只写主要条件，其他略）
A如图连接，可得，
从而得平面，平面，
于是有平面平面，∴平面，
B．如图连接交于点，连接，易知在底面正方形中不是中点（实际上是四等分点中靠近的一个），而是中点，因此与不平行，在平面内，与必相交，此交点也是直线与平面的公共点，直线与平面相交而不平行，
C.如图，连接，正方体中有，因此在平面内，直线与平面相交而不平行，
D.如图，连接，可得，，即，直线与平面平行，
【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，掌握证明线面平行的方法是解题基础．
8.ABD
选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD∥平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON∥PD，所以只需证明PD⊥PB，利用勾股定理证明即可.
【详解】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又
∥ON，所以，故ABD均正确.
9.若，，则
若，，则，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论.
【详解】解：l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
可得若，，则，
理由：在内取两条相交直线a，b，
由可得.，
又，可得.，
而a，b为内的两条相交直线，可得.
【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，基础题
10.①②③
①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错.
【详解】①如右图所示：
因为平面平面，平面，所以平面，故①正确；
②连接，如右图所示：
因为平面，所以，
又因为且，所以平面，
又因为平面，所以，故②正确；
③连接，如右图所示：
因为平面，所以，又因为，且，
所以平面，又平面，所以，
由②的证明可知，且，所以平面，
又因为平面，所以，故③正确，
【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断，涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力，难度一般.