4.2 提公因式法 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
4.2 提公因式法
北师大版 八年级下
新知导入
把一个多项式化成几个整式的积的形式，
这种变形叫做把这个多项式因式分解。
复习回顾：什么是因式分解？
新知导入
整式乘法
一个多项式
因式分解
几个因式的乘积
实质：就是把加减形式化成乘积形式。
过程：因式分解与整式乘法互为逆运算。
复习回顾：因式分解与整式乘法有什么关系
新知导入
　 667 × 37+667 ×63
=667 ×（37+63）
=667 ×100
=66700
提出公因数
667
观察发现：请你用合适的方法解决下列计算。
新知导入
问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？
问题2：每一项的因式都分别有哪些？
问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因
式是什么？
ma, mb, mc
依次为m, a和m, b和m, c
有，为m
问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式.
a, b, ab
观察发现：仔细观察，完成下列问题。
新知讲解
ab+bc 3x +x mb +nb-b
多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
b
x
b
探索新知：观察下列多项式，各项中有相同的因式吗
新知讲解
2x2+6x3
系数：
最大公约数
2
字母：
相同的字母
x
所以公因式是2x2
指数：
相同字母的最低次幂
2
探索新知：观察下列多项式，各项的公因式是什么？
新知讲解
确定多项式各项公因式的方法：
1.定系数：找多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：找多项式各项中都含有的相同字母.
3.定指数：找各项相同字母的最低次幂.
新知讲解
（1）x-x2；
（2）abc+2a；
（3）abc-b2+2ab；
（4）a2+ax2；
x
a
b
a
练一练：写出下列多项式的公因式。
合作探究
活动探究：你能尝试将多项式找 2x 2 + 6x3因式分解吗？
2 x 2+ 6 x3
解：
2 x 2+ 6 x3
=
2x2· 1+ 2x2·3x
=
2x2 (1 +3x)
合作探究
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
提公因式法概念
合作探究
1.确定公因式
2.提取公因式 即将多项式化为两个因式的乘积。
提公因式法分解因式的步骤：
合作探究
（1）3x＋x3 （2） 7x3-21x2
解： （1） 3x＋x3
＝x · 3+ x· x2
＝ x(3＋x2)
（2） 7x3-21x2
＝ 7x2 · x- 7x2 ·3
＝ 7x2（x-3）
注意：公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同的字母，各字母的指数取次数最低的。
例1：因式分解。
合作探究
例2：小付因式分解的有误吗？试说明理由，并给出正解。
解：原式 =ab ·8a2b – ab ·12b2c+ ab
= ab(8a2b – 12b2c)
分解因式：8a3b2 – 12ab3c+ab
正确解：原式 =ab ·8a2b – ab ·12b2c+ ab ·1
= ab(8a2b – 12b2c +1)
注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1，并且提公因式后括号里多项式的项数与原多项式的项数相同。
←不能漏掉
合作探究
－24x3＋12x2－28x
解：－24x3＋12x2－28x
＝ －（ 24x3-12x2＋28x ）
＝ －（ 4x ·6x2 -4x · 3x＋4x ·7 ）
＝ － 4x (6x2 －3x＋7)
注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数成为正数，在提出“-”时，多项式的各项都要变号。
例3：因式分解。
合作探究
（1）a（x-3）+2b（x-3） （2）y（x+1）+y2（x+1）2
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式。整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
解：（1）a（x-3）+2b（x-3）
= （x-3）（a+2b）
（2）y（x+1）+y2（x+1）2
= y（x+1）[1+y（x+1）]
= y（x+1） （xy+y+1）
例4：因式分解。
（1）a（x-y）+b（y-x） （2）6（m-n）3-12（n-m）2
注意：注意观察多项式的形式，通过变形提取负号找到公因式，提负号括号里每一项都要变号。
解：（1） a（x-y）+b（y-x）
= a（x-y）-b（x-y）
= （x-y）（a-b）
（2） 6（m-n）3-12（n-m）2
= 6（m-n）3-12[-（m-n）] 2
= 6（m-n）3-12（m-n）2
= 6（m-n）2 （m-n-2）
合作探究
例4：因式分解。
合作探究
找准公因式，一次要提净；
全家都搬走，留1把家守。
提负要变号，变形看奇偶。
用提公因式法分解因式口诀
课堂练习
1. 多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（　　）
A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
解析：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数，为4；
（2）字母取各项都含有的相同字母，为xy；
（3）相同字母的指数取次数最低的，x为m次，y为n-1次；
D
课堂练习
2. 若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（　　）
A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8
解析：因为ab=﹣3，a﹣2b=5，
所以a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）
=﹣3×5=﹣15．
A
课堂练习
3.计算：2005 -2005×2004
　　
解析：原式＝2005×2005-2005×2004
＝ 2005×（2005-2004）
＝ 2005
　　
课堂练习
解析：原式＝15a(a－b)2n＋1－10ab(a－b)2n
　　　 ＝5a(a－b)2n [3(a－b)－2b]
　　　　　＝ 5a(a－b)2n (3a－5b)。
4.分解因式 15a(a－b) 2n＋1－10ab(b－a)2n(n为正整数)。
课堂总结
因式
分解
提公因式法（单项式）
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
板书设计
提公因式法
一、确定多项式各项公因式的方法：
二、提公因式的步骤：
三、注意要点：
作业布置
1.已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
2.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.
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