人教A版（2019）必修第二册第六章平面向量及其应用（word版含答案）

人教A版（2019）必修第二册 第六章 平面向量及其应用
一、单选题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（ ）
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．2∶∶1 D．1∶∶2
2．已知，且，则（ ）
A．1 B．3 C． D．5
3．若，且，则四边形ABCD的形状为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
4．已知向量，，若，则实数（ ）
A．2 B． C． D．
5．设为实数，已知向量=(-1，2)，=(1，).若，则向量+2与之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．设均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．7
7．已知平面向量满足，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．已知的外接圆圆心为O，，则（ ）
A．2 B．4 C．5 D．9
9．在中分别是的对边，，若且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
10．在等边△ABC中，D为BC的中点，点P为△ACD内一点（含边界），若，则的取值（ ）
A． B． C． D．
11．如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．设为单位向量，且，则______________.
14．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，则______．
15．已知向量，，若向量与垂直，则______．
16．已知、、表示共面的三个单位向量，，那么的取值范围是__________．
三、解答题
17．如图，从山顶到山脚有两条线路供游人选择，一条从沿直线路径步行到达，另一条从乘缆车到达后，然后沿直线路径步行到，已知米，经测量得（且为锐角）．
（1）求路径的长；
（2）甲从以m/min的速度沿步行1min后，乙乘缆车以130m/min的速度驶向，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小．
18．已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
19．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.
20．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）的面积.
条件①：，.
条件②：，.
21．已知、是两个单位向量，且．
（1）与能否垂直？请说明理由；
（2）若与夹角为60°，求k的值．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．D
三角形中，由角的比例关系可得A＝30°，B＝60°，C＝90°，结合正弦定理即可求a∶b∶c.
【详解】
在△ABC中，有A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，即A＝30°，B＝60°，C＝90°，
由正弦定理知：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.
故选：D
2．D
利用向量的垂直，求出，然后求解向量的模．
【详解】
解：，，且，可得，解得，
所以，则．
故选：．
3．D
根据向量共线的性质及平面几何的性质可判断.
【详解】
解：∵
所以四边形是梯形
又
所以梯形是等腰梯形
故选：
本题考查向量共线的应用，属于基础题.
4．A
由题意求出的坐标，再分别计算出，，，再根据得到方程，解得.
【详解】
解析根据题意，向量，，则，
则，，.
若，则有，
解得.
故选：
本题考查平面向量模的计算，属于基础题.
5．A
根据向量垂直的坐标运算解得，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量，若，则，解得，
所以，所以，，，
设向量+2与之间的夹角 ，则， ，
所以向量+2与之间的夹角为.
故选：A.
6．A
由已知，利用向量数量积的运算律求得，又即可求.
【详解】
由题设，，又均为单位向量，
∴，
∴，则.
故选：A
7．B
结合作等价变形即可求解.
【详解】
由题知，，，
则，
代值运算得：，解得或（舍去），故.
故选：B
8．A
根据三角形外心是三角形各边垂直平分线的交点这一特点，结合数量积的几何意义，即可求得结果.
【详解】
在中，，
所以.
如图所示，连接并延长与圆交于点，连接，
因为是圆心，所以，
则有，
所以
同理可得，
所以.
故选：A．
9．B
由三角形内角和定理及诱导公式可得，，再利用正弦定理，将已知等式中的角化边，可得，然后利用余弦定理，可得的值，最后由三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：在中，由，即，
，
，
，
由正弦定理得，
，，
，
，化简得，
又由余弦定理得，
，即，解得或（舍），
的面积．
故选：B．
10．D
过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F，过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N，求出，，即得解.
【详解】
解；过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F，
由题意知，点P在线段EF上，
过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N（如图所示），
由题得，即，.
所以.
故选：D.
11．D
中由正弦定理求得后可得，从而得，角，得，用余弦定理可得．
【详解】
在中，根据正弦定理得，
由，
所以，
所以，
所以，则，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以．
故选：D．
关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边．
12．C
先分析得出点与点重合时，的模最大，即最小，进而得解．
【详解】
，
由图易知，向量所成的角为钝角，
所以，
，
，当最小时，的模最大，
数形结合易知点与点重合时，的模最大，即最小，
，，
是的中点，
则．
故选：．
本题考查平面向量的数量积及平面向量基本定理的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13．
整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.
【详解】
因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
14．##
利用余弦定理，即可得到关于的方程组，解之即可.
【详解】
∵，∴，
又，
由余弦定理可得：，
即，
∴，又，
∴，
故答案为：
15．
利用向量垂直的性质直接求解．
【详解】
解：向量，，
，
向量与垂直，
，
解得．
故答案为：．
本题考查实数值的求法，考查向量的数量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
16．
计算出的值，利用平面向量的数量积的运算性质结合余弦函数的有界性可求得的取值范围.
【详解】
已知、、表示共面的三个单位向量，，则，
，
所以，，
而，因此，.
故答案为：.
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
17．（1）1260；（2）分钟.
（1）求出，再由正弦定理得出路径的长；
（2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，由余弦定理求出，再由的范围得出所求时间.
【详解】
（1）在中，由得，由，A为锐角得，
∴．
∵，
∴．
（2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，则
．
∵
∴当时，甲，乙两人距离最短，此时甲已出发分钟．
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）
（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数在区间，上的值域；
（Ⅱ）先求出，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得面积的最大值．
【详解】
解：（Ⅰ）
，
由，有，所以
函数的值域为．
（Ⅱ）由，有，
为锐角，，．
，由余弦定理得：，
，．
，
当，即为正三角形时，的面积有最大值．
19．（1）；（2）.
（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合，可求，结合范围，即可求得的值．
（2）由已知利用余弦定理可得，由已知及（1）可知，利用三角形面积公式可求从而可求四边形面积,根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．
【详解】
（1）在中，∵，∴，
∴，
∴
又∵，故，
∴，即．
又∵，∴．
（2）在中，，∴．
又，由（1）可知，∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，∴，
∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为．
20．选择条件①：（1）；（2）；选择条件②：（1）；（2）.
选择条件①：
（1）由三角形内角和关系和正弦定理化简可得，在结合已知数据即可求出；
（2）由余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求出.
选择条件②：
（1）由三角形内角和关系和正弦定理化简可得，再由余弦定理可求出A，再利用正弦定理即可求出；
（2）由求出，再根据三角形面积公式即可求出.
【详解】
选择条件①：，.
（1）在中，，则，，
所以，
.
所以，
整理得，
由正弦定理可得，
则，解得.
（2）因为，，所以，
由（1）及余弦定理可得，
又，所以，
所以.
选择条件②：，.
（1）在中，，则，，
所以，
.
所以，
整理得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
又，所以.
因为，所以，
所以.
由正弦定理得.
（2）由（1）知，
所以.
关键点睛：一是能够利用三角形内角和定理及诱导公式对题设条件进行变换；二是能根据正弦定理、余弦定理对所给关系式进行“边”与“角”之间的转化.
21．（1）不能垂直，理由见解析；（2）．
（1）将已知条件平方，根据进行化简，由此得到的结果，根据结果不为零说明不能垂直；
（2）根据（1）中的化简结果，代入模长和夹角由此得到关于的方程，从而求解出的值.
【详解】
（1）∵，∴，
∴，
且由化简可得．
∵，∴．∴与不能垂直．
（2）∵与夹角为60°，且，
∴，
∴，解得．
答案第1页，共2页
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