人教A版（2019）选择性必修第三册6.3二项式定理同步练习（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第三册6.3二项式定理同步练习（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 471.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-10 20:29:53 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 6.3二项式定理 同步练习
一、单选题
1．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
2．二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为（ ）
A． B． C．6 D．15
3．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
5．在的展开式中，的系数是（ ）
A．20 B． C． D．
6．二项式的展开式中系数为无理数的项数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B．-517 C．-217 D．-177
8．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
9．若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
A．90 B．-90 C．180 D．-180
10．的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
11．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B．-517 C．-217 D．-177
12．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B．-517 C．-217 D．-177
二、填空题
13．的展开式中，常数项为___________.
14．若存在，使得和（其中）的展开式中含项的系数相等，则的最大值为______.
15．的展开式中各项系数的和为3，那么展开式中的常数项为___________.
16．的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为，则正实数a的值为______．
三、解答题
17．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.
（1）求n；
（2）求展开式中系数最大的项.
18．已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096．
（1）求（）的展开式中的常数项的值；
（2）在的展开式中，求项的系数的值．
19．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；
（2）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
20．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）．
21．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024.
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；
（2）求的展开式中项的系数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】
由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】
方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
2．A
先写出二项式的展开式生的通项公式，由通项公式结合条件先求出参数，再根据通项公式可求出答案.
【详解】
二项式的展开式生的通项公式为
当时，为常数项.则，
令，得，所以含项的系数.
故选：A
3．C
先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.
【详解】
二项式展开式的通项为，
令可得二项式展开式中的系数为，
∴展开式中的系数为，
可得，解得，
故选：C．
4．C
将代入即为各项系数之和，可求出，再结合展开式得通项即可求解常数项.
【详解】
展开式的各项系数之和为32,
令，得，解得，
则的展开式的通项为，
令，可得常数项为.
故选：C.
本题主要考查了二项式定理的应用，熟记二项式展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.
5．D
根据，转化为求的展开式和的系数，求出通项即可得到答案.
【详解】
，
的展开式的通项是，
令，则，则的展开式中的系数为，
令，则，则的展开式中的系数为，
故展开式中的系数是.
故选：D.
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，属于基础题.
6．B
写出二项展开式通项公式，由的指数不为整数可得无理项的个数．
【详解】
展开式通项公式为，，
当时，是整数，时，是不是整数，系数是无理数，共有3项．
故选：B．
7．B
利用赋值法令求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
【详解】
常数项是，
令求各项系数和，，
则除常数项外，其余各项系数的和为.
故选：B
8．A
根据二项式系数的性质求得，系数的最大值为求得，从而求得的值．
【详解】
由题意可得，又展开式的通项公式为，
设第项的系数最大，则，即，
求得或6，此时，，，
故选：A．
方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,最大的就是最中间两个；
求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，需列出不等式组，解之求得.
9．C
由已知可知项数n=10，再表示通项并令其中x的指数为零，求得指定项的系数即可.
【详解】
解：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即，
则通项为，
令，则.
故选：C.
10．D
由题设知，即可求a，再写出展开式通项，即可求其常数项.
【详解】
令知：展开式中各项系数和为，
由题设有，即，
∴该展开式中常数项为，
故选：D．
11．B
利用赋值法令求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
【详解】
常数项是，
令求各项系数和，，
则除常数项外，其余各项系数的和为.
故选：B
12．B
利用赋值法令求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
【详解】
常数项是，
令求各项系数和，，
则除常数项外，其余各项系数的和为.
故选：B
13．16
结合二项式展开式的通项公式求得常数项，
【详解】
的展开式中，
常数项为.
故答案为：
14．
分别利用通项公式，求得和的展开式中含项的系数，然后由其相等求解.
【详解】
由的展开式中第项为，
令，得，
∴含项的系数为.
同理的展开式中含项的系数为.
由，得，
又在上是减函数.
∵，∴，
故的最大值为.
故答案为：
15．
先求出a的值，再把的按照二项式定理展开，可得的展开式中常数项．
【详解】
令，可得的展开式中各项系数的和为
，．
故该展开式中常数项为，
故答案为：
关键点点睛：本题主要考查二项式定理的应用，关键掌握二项展开式的通项公式，二项式系数的性质．
16．3
设，然后分别令，，可求出，再结合已知条件可求出答案
【详解】
设，
令，得，①
令，得，②
②①，得，
又因为，，
所以，解得．
故答案为：3
17．（1）；（2）系数最大的项为.
（1）由题意利用等差数列的定义、二项展开式的通项公式，求得的值．
（2）二项展开式的通项公式求得展开式中系数最大的项．
【详解】
解：（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，
∴
解得(舍去).
（2）设第项的系数为最大，则，
则.解得.
当时，
当时，，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为.
18．（1）；（2）．
（1）先根据二项式展开式二项式系数的性质，求出的值，再写出展开式的通项，令的指数为0，即可求出常数项；
（2）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数的性质计算．
【详解】
（1）因为二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096，
所以，可得，
即的展开式的通项是：
（），
令得：，
∴常数项是；
（2）由（1）知，
即，
展开式中项的系数分别为：
所以的展开式中项的系数为：
．
方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和以及各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
19．（1）函数在，上是减函数，在，上是增函数，理由见解析；（2）答案见解析.
（1）设，，由此入手可得函数在和上的单调性，再利用奇偶性可得整个定义域上的单调性;
（2）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数．分n是奇数还是偶数，分别写出函数的单调性，再变形，利用结论可得其单调性，进而可得最值．
【详解】
（1）因为，所以函数的定义域为.
设，.
当时，， 函数在上是增函数；
当时, 函数在上是减函数;
又，
所以函数是偶函数，
于是，该函数在上是减函数，在上是增函数，
综上所述：函数在，上是减函数，在，上是增函数；
（2）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数.
当n是奇数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数, 在上是减函数；
当n是偶数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数, 在上是增函数.
因为
，
所以在上是减函数，在上是增函数.
所以，当或时，取得最大值；当时取得最小值.
本题考查函数单调性的综合运用，主要考查利用对勾函数，研究函数的单调性，并做推广，从而研究函数的最值．
20．(1)8；
(2).
（1）由题设可得，进而写出第三、四项的系数，结合已知列方程求n值即可.
（2）由（1）有，确定有理项的对应k值，进而求得对应项的系数，即可得结果.
(1)
由题意，二项式展开式的通项公式．
所以第三项系数为，第四项系数为，
由，解得，即n的值为8．
(2)
由（1）知：．
当，3，6时，对应的是有理项．
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
故展开式中有理项的系数之和为．
21．（1）所有有理项为和；（2）164.
（1）写出通项并化简，进而讨论x的指数为整数的情况，最后得到答案；
（2）写出每一项中x2项的系数并求和，进而通过组合数的性质得到答案.
【详解】
（1）由题意得，2n＝1 024，∴n＝10，
∴展开式的通项为，
由或k=6，
所以有理项为.
（2）由，
∴x2项的系数为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
2．二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为（ ）
A． B． C．6 D．15
3．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
5．在的展开式中，的系数是（ ）
A．20 B． C． D．
6．二项式的展开式中系数为无理数的项数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B．-517 C．-217 D．-177
8．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
9．若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
A．90 B．-90 C．180 D．-180
10．的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
11．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B．-517 C．-217 D．-177
12．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A．63 B．-517 C．-217 D．-177
二、填空题
13．的展开式中，常数项为___________.
14．若存在，使得和（其中）的展开式中含项的系数相等，则的最大值为______.
15．的展开式中各项系数的和为3，那么展开式中的常数项为___________.
16．的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为，则正实数a的值为______．
三、解答题
17．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.
（1）求n；
（2）求展开式中系数最大的项.
18．已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096．
（1）求（）的展开式中的常数项的值；
（2）在的展开式中，求项的系数的值．
19．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；
（2）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
20．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）．
21．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024.
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；
（2）求的展开式中项的系数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】
由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】
方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
2．A
先写出二项式的展开式生的通项公式，由通项公式结合条件先求出参数，再根据通项公式可求出答案.
【详解】
二项式的展开式生的通项公式为
当时，为常数项.则，
令，得，所以含项的系数.
故选：A
3．C
先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.
【详解】
二项式展开式的通项为，
令可得二项式展开式中的系数为，
∴展开式中的系数为，
可得，解得，
故选：C．
4．C
将代入即为各项系数之和，可求出，再结合展开式得通项即可求解常数项.
【详解】
展开式的各项系数之和为32,
令，得，解得，
则的展开式的通项为，
令，可得常数项为.
故选：C.
本题主要考查了二项式定理的应用，熟记二项式展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.
5．D
根据，转化为求的展开式和的系数，求出通项即可得到答案.
【详解】
，
的展开式的通项是，
令，则，则的展开式中的系数为，
令，则，则的展开式中的系数为，
故展开式中的系数是.
故选：D.
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，属于基础题.
6．B
写出二项展开式通项公式，由的指数不为整数可得无理项的个数．
【详解】
展开式通项公式为，，
当时，是整数，时，是不是整数，系数是无理数，共有3项．
故选：B．
7．B
利用赋值法令求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
【详解】
常数项是，
令求各项系数和，，
则除常数项外，其余各项系数的和为.
故选：B
8．A
根据二项式系数的性质求得，系数的最大值为求得，从而求得的值．
【详解】
由题意可得，又展开式的通项公式为，
设第项的系数最大，则，即，
求得或6，此时，，，
故选：A．
方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,最大的就是最中间两个；
求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，需列出不等式组，解之求得.
9．C
由已知可知项数n=10，再表示通项并令其中x的指数为零，求得指定项的系数即可.
【详解】
解：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即，
则通项为，
令，则.
故选：C.
10．D
由题设知，即可求a，再写出展开式通项，即可求其常数项.
【详解】
令知：展开式中各项系数和为，
由题设有，即，
∴该展开式中常数项为，
故选：D．
11．B
利用赋值法令求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
【详解】
常数项是，
令求各项系数和，，
则除常数项外，其余各项系数的和为.
故选：B
12．B
利用赋值法令求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
【详解】
常数项是，
令求各项系数和，，
则除常数项外，其余各项系数的和为.
故选：B
13．16
结合二项式展开式的通项公式求得常数项，
【详解】
的展开式中，
常数项为.
故答案为：
14．
分别利用通项公式，求得和的展开式中含项的系数，然后由其相等求解.
【详解】
由的展开式中第项为，
令，得，
∴含项的系数为.
同理的展开式中含项的系数为.
由，得，
又在上是减函数.
∵，∴，
故的最大值为.
故答案为：
15．
先求出a的值，再把的按照二项式定理展开，可得的展开式中常数项．
【详解】
令，可得的展开式中各项系数的和为
，．
故该展开式中常数项为，
故答案为：
关键点点睛：本题主要考查二项式定理的应用，关键掌握二项展开式的通项公式，二项式系数的性质．
16．3
设，然后分别令，，可求出，再结合已知条件可求出答案
【详解】
设，
令，得，①
令，得，②
②①，得，
又因为，，
所以，解得．
故答案为：3
17．（1）；（2）系数最大的项为.
（1）由题意利用等差数列的定义、二项展开式的通项公式，求得的值．
（2）二项展开式的通项公式求得展开式中系数最大的项．
【详解】
解：（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，
∴
解得(舍去).
（2）设第项的系数为最大，则，
则.解得.
当时，
当时，，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为.
18．（1）；（2）．
（1）先根据二项式展开式二项式系数的性质，求出的值，再写出展开式的通项，令的指数为0，即可求出常数项；
（2）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数的性质计算．
【详解】
（1）因为二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096，
所以，可得，
即的展开式的通项是：
（），
令得：，
∴常数项是；
（2）由（1）知，
即，
展开式中项的系数分别为：
所以的展开式中项的系数为：
．
方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和以及各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
19．（1）函数在，上是减函数，在，上是增函数，理由见解析；（2）答案见解析.
（1）设，，由此入手可得函数在和上的单调性，再利用奇偶性可得整个定义域上的单调性;
（2）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数．分n是奇数还是偶数，分别写出函数的单调性，再变形，利用结论可得其单调性，进而可得最值．
【详解】
（1）因为，所以函数的定义域为.
设，.
当时，， 函数在上是增函数；
当时, 函数在上是减函数;
又，
所以函数是偶函数，
于是，该函数在上是减函数，在上是增函数，
综上所述：函数在，上是减函数，在，上是增函数；
（2）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数.
当n是奇数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数, 在上是减函数；
当n是偶数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数, 在上是增函数.
因为
，
所以在上是减函数，在上是增函数.
所以，当或时，取得最大值；当时取得最小值.
本题考查函数单调性的综合运用，主要考查利用对勾函数，研究函数的单调性，并做推广，从而研究函数的最值．
20．(1)8；
(2).
（1）由题设可得，进而写出第三、四项的系数，结合已知列方程求n值即可.
（2）由（1）有，确定有理项的对应k值，进而求得对应项的系数，即可得结果.
(1)
由题意，二项式展开式的通项公式．
所以第三项系数为，第四项系数为，
由，解得，即n的值为8．
(2)
由（1）知：．
当，3，6时，对应的是有理项．
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
故展开式中有理项的系数之和为．
21．（1）所有有理项为和；（2）164.
（1）写出通项并化简，进而讨论x的指数为整数的情况，最后得到答案；
（2）写出每一项中x2项的系数并求和，进而通过组合数的性质得到答案.
【详解】
（1）由题意得，2n＝1 024，∴n＝10，
∴展开式的通项为，
由或k=6，
所以有理项为.
（2）由，
∴x2项的系数为
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