人教A版（2019）选择性必修第三册第六章计数原理同步练习(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第三册第六章计数原理同步练习(word版含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 266.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-10 19:03:04 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 同步练习
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
3．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男 女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（ ）
A．72种 B．108种 C．144种 D．210种
4．已知展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（ ）．
A．-14 B．-13 C．1 D．2
5．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等．则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan等于（ ）
A．32 B．64
C．128 D．256
6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（ ）
A．360种 B．50种 C．60种 D．90种
7．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（ ）
A．32 B．23
C．43 D．24
8．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（ ）种
A．5 B．8 C．14 D．21
9．从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是（ ）
A．9 B．10 C．20 D．25
10．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ）
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
11．有8位学生春游，其中小学生2名 初中生3名 高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻 3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A．288种 B．144种 C．72种 D．36种
12．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为（ ）
A．140 B．240
C．360 D．800
二、填空题
13．某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是______．
14．已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中项的系数是__________.
15．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为________．
16．若的展开式中第5项的二项式系数最大，则___________．（写出一个即可）
三、解答题
17．有5名同学站成一排拍照．
（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？
（3）求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
18．书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书.
（1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？
（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？
（3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？
19．（1）解不等式：；
（2）已知，求．
20．设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
21．溺水 校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲 乙两个中学代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.
(1)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；
(2)求甲队总得分X的分布列和数学期望.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
由，再利用二项展开式的通项公式，求得的值．
【详解】
由
，
则.
故选：A.
关键点点睛：对式子进行变形，结合展开式的通项公式，系数性质是解题的关键．
2．C
先从4个视频中选2个，再全选2篇文章，然后将2篇文章捆绑与三个学习内容全排列，最后利用分步计数原理求解.
【详解】
根据题意，从4个视频中选2个有种方法，
2篇文章全选有种方法，
2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有种方法，
最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有种方法，
故满足题意的学法有（种）．
故选：C
3．C
先安排男干部，再安排女干部，由排列组合以及分步乘法计数原理得出答案.
【详解】
∵每个村男 女干部各1名，∴可先安排男干部，共种，再安排女干部，共有种，∴共有种不同的安排方案
故选：C.
关键点睛：在从4名女干部中选3人到三个贫困村调研走访时，关键是按照先选后排的方法进行处理.
4．B
首先利用二项式系数公式求，再将展开成，再分别求常数项.
【详解】
由条件可知，，所以，
则，其中常数项分为两部分，的常数项是，的常数项是中含项的系数，，所以常数项是.
故选：B
5．D
根据二项式系数的性质，结合赋值法进行求解即可.
【详解】
由题意可知：，，
令二项式中x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256．
故选：D
6．B
首先根据题意分成第一类甲同学选择牛和第二类甲同学选择马，分别计算各类的选法，再相加即可.
【详解】
第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，
选法有1×2×10＝20(种)，
第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，
选法有1×3×10＝30(种)，
所以共有20＋30＝50(种)选法．
故选：B.
7．B
由于每上一层楼有2种走法，所以由分步乘法原理可求得答案
【详解】
根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，
则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．
故选：B.
8．C
按乙排第五和不是第五分类讨论．
【详解】
乙排在第五的情况有：，乙不在第五的方法有，
共有，
故选：C．
关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．
9．C
利用排列、排列数的定义直接列式计算作答.
【详解】
从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是.
故选：C
10．C
根据分类加法计数原理即可求解.
【详解】
分3类，买1本书，买2本书，买3本书，
各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).
故选：C
11．B
利用捆绑法和插空法可求得结果.
【详解】
第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法；第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法.
根据分步计数原理，共有种不同排法.
故选：B
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
12．B
根据(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，分别得到(x＋1)5和(x＋2)5的展开式中x的系数和常数项即可.
【详解】
因为(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，
所以(x＋1)5的展开式中x的系数为，常数项为1，
(x＋2)5的展开式中x的系数为，常数项为，
所以原式中x的系数为.
故选：B
13．12
分甲部门2名电脑编程人员和1名电脑编程人员两种情况讨论，按照分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算可得；
【详解】
解：由题意可得，
①若甲部门要2名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有（种）．
②若甲部门要1名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案有（种）．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有（种）．
故答案为：
14．672
根据二项式系数的性质求得，写出展开式通项公式，确定所在项数后可得系数．
【详解】
由题意，，
，令，，
所以的系数为．
故答案为：672．
15．5040
参加“演讲团”人数分为有1人或无人的情况，而每种情况又各自包含2种情况，分别求出对应的方法数，结合计数原理计算即可.
【详解】
若有人参加“演讲团”，则从人选人参加该社团，其余人去剩下个社团，人数安排有种情况：和，
故人参加“演讲团”的不同参加方法数为；
若无人参加“演讲团”，则人参加剩下个社团，人数安排安排有 种情况：和，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为，
故满足条件的方法数为，
故答案为：5040
16．（答案不唯一）
根据二项展开式的二项式系数，列出不等式组，结合组合数的公式，即可求解.
【详解】
由题意，二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，
可得，即，
解得，所以或或.
故答案为：（答案不唯一）.
17．（1）；（2）；（3）
（1）利用捆绑法求得方法数.
（2）利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，计算出方法数.
（3）利用分步计数原理，求得方法数
【详解】
（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有种.
（2）如果甲排左端，则方法数有种；如果乙排左端，则方法数有种.故总的方法数有种.
（3）按照甲、乙、丙、其他三个同学的顺序进行安排，所以方法数有种.
本小题主要考查简单排列组合问题的求解，考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题.
18．（1）15；（2）120；（3）74.
（1）相当于直接从15本书中任取1本书；
（2）利用分步乘法分三步完成；
（3）先分类，再分步即可得到.
【详解】
（1）书架中总共15本书，从书架中任取1本书，共有种不同的取法；
（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有种不同的取法；
（3）从书架中的不同层任取2本书，相当于从书架中任取2中不同学科的书，分三类：
第一，选择哲学书和文学书，有种取法；第二，选择哲学书和数学书，有种取法；第三，选择文学书和数学书，有种取法；因此，共有30+24+20=74种不同的取法.
这类题的关键是分清楚是分类还是分步，较复杂的题中即有分类又有分步，要分清是先分类还是先分步.
19．（1）（2）
（1）利用排列数的计算公式进行求解；
（2）利用组合数的计算公式进行求解.
【详解】
（1）因为，，，
所以不等式可化为，
解得，
又，，
所以不等式的解集为．
（2）因为，，，
所以，
可化为，，
解得（舍去）或2，
所以．
本题主要考查排列数和组合数的有关计算，明确计算公式的求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
20．（1）；
（2）-32.
(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；
解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.
【详解】
（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．
本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.
21．(1)；
(2)分布列见解析，.
（1）利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；
（2）由题意有，利用二项分布概率公式求各可能值对应的概率，进而写出分布列，再根据分布列求期望即可.
(1)
由题设，甲队得2分，即2人答对1人答错，概率为，
乙队得1分，即1人答对2人答错，概率为，
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
(2)
由题设，，且，，，，
甲队总得分X的分布列如下：
0 1 2 3
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
3．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男 女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（ ）
A．72种 B．108种 C．144种 D．210种
4．已知展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（ ）．
A．-14 B．-13 C．1 D．2
5．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等．则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan等于（ ）
A．32 B．64
C．128 D．256
6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（ ）
A．360种 B．50种 C．60种 D．90种
7．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（ ）
A．32 B．23
C．43 D．24
8．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（ ）种
A．5 B．8 C．14 D．21
9．从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是（ ）
A．9 B．10 C．20 D．25
10．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ）
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
11．有8位学生春游，其中小学生2名 初中生3名 高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻 3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A．288种 B．144种 C．72种 D．36种
12．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为（ ）
A．140 B．240
C．360 D．800
二、填空题
13．某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是______．
14．已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中项的系数是__________.
15．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为________．
16．若的展开式中第5项的二项式系数最大，则___________．（写出一个即可）
三、解答题
17．有5名同学站成一排拍照．
（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？
（3）求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
18．书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书.
（1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？
（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？
（3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？
19．（1）解不等式：；
（2）已知，求．
20．设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
21．溺水 校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲 乙两个中学代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.
(1)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；
(2)求甲队总得分X的分布列和数学期望.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
由，再利用二项展开式的通项公式，求得的值．
【详解】
由
，
则.
故选：A.
关键点点睛：对式子进行变形，结合展开式的通项公式，系数性质是解题的关键．
2．C
先从4个视频中选2个，再全选2篇文章，然后将2篇文章捆绑与三个学习内容全排列，最后利用分步计数原理求解.
【详解】
根据题意，从4个视频中选2个有种方法，
2篇文章全选有种方法，
2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有种方法，
最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有种方法，
故满足题意的学法有（种）．
故选：C
3．C
先安排男干部，再安排女干部，由排列组合以及分步乘法计数原理得出答案.
【详解】
∵每个村男 女干部各1名，∴可先安排男干部，共种，再安排女干部，共有种，∴共有种不同的安排方案
故选：C.
关键点睛：在从4名女干部中选3人到三个贫困村调研走访时，关键是按照先选后排的方法进行处理.
4．B
首先利用二项式系数公式求，再将展开成，再分别求常数项.
【详解】
由条件可知，，所以，
则，其中常数项分为两部分，的常数项是，的常数项是中含项的系数，，所以常数项是.
故选：B
5．D
根据二项式系数的性质，结合赋值法进行求解即可.
【详解】
由题意可知：，，
令二项式中x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256．
故选：D
6．B
首先根据题意分成第一类甲同学选择牛和第二类甲同学选择马，分别计算各类的选法，再相加即可.
【详解】
第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，
选法有1×2×10＝20(种)，
第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，
选法有1×3×10＝30(种)，
所以共有20＋30＝50(种)选法．
故选：B.
7．B
由于每上一层楼有2种走法，所以由分步乘法原理可求得答案
【详解】
根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，
则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．
故选：B.
8．C
按乙排第五和不是第五分类讨论．
【详解】
乙排在第五的情况有：，乙不在第五的方法有，
共有，
故选：C．
关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．
9．C
利用排列、排列数的定义直接列式计算作答.
【详解】
从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是.
故选：C
10．C
根据分类加法计数原理即可求解.
【详解】
分3类，买1本书，买2本书，买3本书，
各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).
故选：C
11．B
利用捆绑法和插空法可求得结果.
【详解】
第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法；第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法.
根据分步计数原理，共有种不同排法.
故选：B
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
12．B
根据(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，分别得到(x＋1)5和(x＋2)5的展开式中x的系数和常数项即可.
【详解】
因为(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，
所以(x＋1)5的展开式中x的系数为，常数项为1，
(x＋2)5的展开式中x的系数为，常数项为，
所以原式中x的系数为.
故选：B
13．12
分甲部门2名电脑编程人员和1名电脑编程人员两种情况讨论，按照分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算可得；
【详解】
解：由题意可得，
①若甲部门要2名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有（种）．
②若甲部门要1名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案有（种）．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有（种）．
故答案为：
14．672
根据二项式系数的性质求得，写出展开式通项公式，确定所在项数后可得系数．
【详解】
由题意，，
，令，，
所以的系数为．
故答案为：672．
15．5040
参加“演讲团”人数分为有1人或无人的情况，而每种情况又各自包含2种情况，分别求出对应的方法数，结合计数原理计算即可.
【详解】
若有人参加“演讲团”，则从人选人参加该社团，其余人去剩下个社团，人数安排有种情况：和，
故人参加“演讲团”的不同参加方法数为；
若无人参加“演讲团”，则人参加剩下个社团，人数安排安排有 种情况：和，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为，
故满足条件的方法数为，
故答案为：5040
16．（答案不唯一）
根据二项展开式的二项式系数，列出不等式组，结合组合数的公式，即可求解.
【详解】
由题意，二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，
可得，即，
解得，所以或或.
故答案为：（答案不唯一）.
17．（1）；（2）；（3）
（1）利用捆绑法求得方法数.
（2）利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，计算出方法数.
（3）利用分步计数原理，求得方法数
【详解】
（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有种.
（2）如果甲排左端，则方法数有种；如果乙排左端，则方法数有种.故总的方法数有种.
（3）按照甲、乙、丙、其他三个同学的顺序进行安排，所以方法数有种.
本小题主要考查简单排列组合问题的求解，考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题.
18．（1）15；（2）120；（3）74.
（1）相当于直接从15本书中任取1本书；
（2）利用分步乘法分三步完成；
（3）先分类，再分步即可得到.
【详解】
（1）书架中总共15本书，从书架中任取1本书，共有种不同的取法；
（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有种不同的取法；
（3）从书架中的不同层任取2本书，相当于从书架中任取2中不同学科的书，分三类：
第一，选择哲学书和文学书，有种取法；第二，选择哲学书和数学书，有种取法；第三，选择文学书和数学书，有种取法；因此，共有30+24+20=74种不同的取法.
这类题的关键是分清楚是分类还是分步，较复杂的题中即有分类又有分步，要分清是先分类还是先分步.
19．（1）（2）
（1）利用排列数的计算公式进行求解；
（2）利用组合数的计算公式进行求解.
【详解】
（1）因为，，，
所以不等式可化为，
解得，
又，，
所以不等式的解集为．
（2）因为，，，
所以，
可化为，，
解得（舍去）或2，
所以．
本题主要考查排列数和组合数的有关计算，明确计算公式的求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
20．（1）；
（2）-32.
(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；
解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.
【详解】
（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．
本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.
21．(1)；
(2)分布列见解析，.
（1）利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；
（2）由题意有，利用二项分布概率公式求各可能值对应的概率，进而写出分布列，再根据分布列求期望即可.
(1)
由题设，甲队得2分，即2人答对1人答错，概率为，
乙队得1分，即1人答对2人答错，概率为，
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
(2)
由题设，，且，，，，
甲队总得分X的分布列如下：
0 1 2 3
所以.
答案第1页，共2页
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