人教A版（2019）选择性必修第一册1.1空间向量及其运算同步练习(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第一册1.1空间向量及其运算同步练习(word版含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-10 19:03:37 | ||
图片预览
文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.1 空间向量及其运算 同步练习
一、单选题
1．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在空间四边形中，连接，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥中，，N为中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知三棱锥的各棱长均为1，且是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
12．空间四边形的各边和对角线均相等，是的中点，那么（ ）.
A． B．
C． D．与的大小不能比较
13．下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若 是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底
D．若 不能构成空间的一个基底，则 四点共面
14．下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
15．已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）模为的向量是______；
（2）的相等向量是______；
（3）的相反向量是______；
（4）的共线向量（平行向量）为______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．
17．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______．
18．在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为________.
三、解答题
19．如图，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
20．如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心．
21．如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离．
22．如图，在四棱锥中中，底面，，，，，点为棱的中点.
（1）证明：；
（2）若为棱上一点，满足，求线段的长.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
令，，，令，，问题等价于求的最小值，讨论在平面内，在平面内，在平面内三种情况，分别计算得到的答案.
【详解】
令，，，
原式等价于，
令，，
因为，，所以在平面内，即（平面）.
在，，平面内的任意一点，
所以问题等价于求的最小值，显然点取在各平面内的投影时最小.
往下可分三种情况求解：
①当在平面内时，作的垂面，作，为投影在上投影，易得：作的平面图，，
此时，，，所以，
所以，所以当在点时最小为.
同理：②当在平面内时，在上，可得平面图：
此时：，，，
所以，
同理③当在平面内时，，，，
当时，最小.
所以，，
.
综上：最小为.
故选：.
本题考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，空间想象能力.
2．C
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：C.
3．C
取的中点F，可知，又，再利用空间向量的加法、减法的几何意义即可求解.
【详解】
如图所示，取的中点F，则，
又E为正三角形的重心，即上靠近F的三等分点，
所以，
则
.
故选：C
本题考查空间向量的加法、减法的几何意义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
4．D
根据坐标形式下空间向量的加法和数乘运算求解出的坐标表示.
【详解】
因为，所以，
故选：D.
本题考查坐标形式下空间向量的加法和数乘运算，考查学生对坐标形式下空间向量的加法和数乘的公式运用，难度较易.
5．B
连接，得， ，所以可得答案.
【详解】
连接，所以，
因为，所以，
所以.
故选：B.
6．D
先以为基底进行线性转化，再利用数量积定义计算即可.
【详解】
以为基底进行线性转化，棱长均为1，故
是的中点，故，
故.
故选：D.
本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题.
7．C
根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解.
【详解】
，，
则
.
故选：C．
本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.
8．C
根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，根据空间向量的运算法则，可得
.
故选：C.
在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.
9．A
根据已给条件该题可利用数量积的方法求解要求与夹角的余弦值,可求与的夹角的值,利用代入向量的夹角公式求解即可.
【详解】
解：
设异面直线与的夹角为则
故选A
本题主要考查了利用向量的数量积求异面直线所成的角,属有一定难度的基础题.解题的关键是将异面直线与的夹角转化为求与的夹角!
10．C
将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】
设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
11．B
选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】
选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
12．C
空间四边形ABCD的各边及对角线均相等设为a，运用等边三角形的性质，可得，取BD的中点F，连接AF，EF，由余弦定理和向量的数量积的定义，计算可得，即可得到结论．
【详解】
空间四边形ABCD的各边及对角线均相等，设为a，E是边BC的中点，即有AE⊥BC，即，取BD的中点F，连接AF，EF，可得AF＝AE＝a，EF＝a，
由余弦定理可得cos∠AEF＝，可得与夹角的余弦值为，则，所以.
故选：C．
本题考查向量的数量积的运算和性质，运用向量垂直的条件和定义，以及余弦定理的运用，属于基础题．
13．C
根据空间向量基本定理：空间中任意三个不共面的非零向量，都可以作为空间的一个基底，根据此定理判断即可..
【详解】
A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；
B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；
C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，
D选项，因为 共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，
故选C.
14．C
根据空间向量的基本概念及性质，结合各选项中空间向量的描述判断正误即可.
【详解】
A：零向量与它的相反向量相等，故错误；
B：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误；
C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确；
D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误；
故选：C
15．D
求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.
【详解】
依题意得，，，
、、、四点共面，、、共面，
存在实数、，使得，
即，所以，解得.
故选：D.
本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.
16． ，，，，，，， ，， ，，， ，，，，，， 不共面
对于(1)(2)(3)，根据题意，结合空间向量的概念与长方体的性质，即可求解；
对于(4)(5)，根据共线向量的判定，结合图象即可求解.
【详解】
(1)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，．
(2)与相等的向量有，，．
(3)的相反向量为，，，．
(4)的共线向量（平行向量）为，，，，，，．
(5)因为，向量，，有一个公共点，而点，，都在平面内，点在平面外，所以向量，，不共面．
故(1)答案为：，，，，，，，；
(2)答案为：，，；
(3)答案为：，，，；
(4)答案为：，，，，，，；
(5)答案为：不共面.
17．
利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.
【详解】
所以，所以.
本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.
18．
根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】
解：如图，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，
所以，
所以当时，有最小值.
故答案为：
19．（1）＝＋＋；（2）.
（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
【详解】
解：（1）＝＋＋
＝＋＋
＝－＋＋＋（－）
＝＋＋，
又＝，＝，＝，∴＝＋＋．
（2）∵AB＝AC＝AA1＝1，∴||＝||＝||＝1．
∵∠BAC＝90°，∴＝0．∵∠BAA1＝∠CAA1＝60°，
∴＝＝，
∴||2＝（＋＋）2
＝（＋＋＋2＋2＋2）＝，
∴||＝．
20．证明见解析
根据垂直关系得数量积为0，进而得平面，可得，得，同理可证，，从而得证.
【详解】
∵，
∴，，，平面，
∴．
由题意可知，平面，
∴，，，
∴，
∴．
同理可证，．
∴是的垂心．
21．
连接，可得，根据可求.
【详解】
连接，，，
，，，
，，
即C，D两点间的距离为.
22．（1）；（2）
（1）以A为原点建立空间直角坐标系，分别表示出和的坐标，数量积为0即可证明两向量垂直；
（2）设F点的坐标，由计算出F点的位置，再根据向量计算出的长。
【详解】
（1）底面ABCD，，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，，，，
，，
，
.
（2），
，
由点F在棱PC上，设，，
，
，，解得，
即线段的长为。
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，向量垂直的性质和模长公式是解题的关键，注意计算的准确，属于中等题。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在空间四边形中，连接，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥中，，N为中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知三棱锥的各棱长均为1，且是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
12．空间四边形的各边和对角线均相等，是的中点，那么（ ）.
A． B．
C． D．与的大小不能比较
13．下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若 是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底
D．若 不能构成空间的一个基底，则 四点共面
14．下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
15．已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）模为的向量是______；
（2）的相等向量是______；
（3）的相反向量是______；
（4）的共线向量（平行向量）为______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．
17．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______．
18．在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为________.
三、解答题
19．如图，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
20．如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心．
21．如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离．
22．如图，在四棱锥中中，底面，，，，，点为棱的中点.
（1）证明：；
（2）若为棱上一点，满足，求线段的长.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
令，，，令，，问题等价于求的最小值，讨论在平面内，在平面内，在平面内三种情况，分别计算得到的答案.
【详解】
令，，，
原式等价于，
令，，
因为，，所以在平面内，即（平面）.
在，，平面内的任意一点，
所以问题等价于求的最小值，显然点取在各平面内的投影时最小.
往下可分三种情况求解：
①当在平面内时，作的垂面，作，为投影在上投影，易得：作的平面图，，
此时，，，所以，
所以，所以当在点时最小为.
同理：②当在平面内时，在上，可得平面图：
此时：，，，
所以，
同理③当在平面内时，，，，
当时，最小.
所以，，
.
综上：最小为.
故选：.
本题考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，空间想象能力.
2．C
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：C.
3．C
取的中点F，可知，又，再利用空间向量的加法、减法的几何意义即可求解.
【详解】
如图所示，取的中点F，则，
又E为正三角形的重心，即上靠近F的三等分点，
所以，
则
.
故选：C
本题考查空间向量的加法、减法的几何意义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
4．D
根据坐标形式下空间向量的加法和数乘运算求解出的坐标表示.
【详解】
因为，所以，
故选：D.
本题考查坐标形式下空间向量的加法和数乘运算，考查学生对坐标形式下空间向量的加法和数乘的公式运用，难度较易.
5．B
连接，得， ，所以可得答案.
【详解】
连接，所以，
因为，所以，
所以.
故选：B.
6．D
先以为基底进行线性转化，再利用数量积定义计算即可.
【详解】
以为基底进行线性转化，棱长均为1，故
是的中点，故，
故.
故选：D.
本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题.
7．C
根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解.
【详解】
，，
则
.
故选：C．
本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.
8．C
根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，根据空间向量的运算法则，可得
.
故选：C.
在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.
9．A
根据已给条件该题可利用数量积的方法求解要求与夹角的余弦值,可求与的夹角的值,利用代入向量的夹角公式求解即可.
【详解】
解：
设异面直线与的夹角为则
故选A
本题主要考查了利用向量的数量积求异面直线所成的角,属有一定难度的基础题.解题的关键是将异面直线与的夹角转化为求与的夹角!
10．C
将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】
设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
11．B
选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】
选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
12．C
空间四边形ABCD的各边及对角线均相等设为a，运用等边三角形的性质，可得，取BD的中点F，连接AF，EF，由余弦定理和向量的数量积的定义，计算可得，即可得到结论．
【详解】
空间四边形ABCD的各边及对角线均相等，设为a，E是边BC的中点，即有AE⊥BC，即，取BD的中点F，连接AF，EF，可得AF＝AE＝a，EF＝a，
由余弦定理可得cos∠AEF＝，可得与夹角的余弦值为，则，所以.
故选：C．
本题考查向量的数量积的运算和性质，运用向量垂直的条件和定义，以及余弦定理的运用，属于基础题．
13．C
根据空间向量基本定理：空间中任意三个不共面的非零向量，都可以作为空间的一个基底，根据此定理判断即可..
【详解】
A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；
B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；
C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，
D选项，因为 共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，
故选C.
14．C
根据空间向量的基本概念及性质，结合各选项中空间向量的描述判断正误即可.
【详解】
A：零向量与它的相反向量相等，故错误；
B：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误；
C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确；
D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误；
故选：C
15．D
求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.
【详解】
依题意得，，，
、、、四点共面，、、共面，
存在实数、，使得，
即，所以，解得.
故选：D.
本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.
16． ，，，，，，， ，， ，，， ，，，，，， 不共面
对于(1)(2)(3)，根据题意，结合空间向量的概念与长方体的性质，即可求解；
对于(4)(5)，根据共线向量的判定，结合图象即可求解.
【详解】
(1)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，．
(2)与相等的向量有，，．
(3)的相反向量为，，，．
(4)的共线向量（平行向量）为，，，，，，．
(5)因为，向量，，有一个公共点，而点，，都在平面内，点在平面外，所以向量，，不共面．
故(1)答案为：，，，，，，，；
(2)答案为：，，；
(3)答案为：，，，；
(4)答案为：，，，，，，；
(5)答案为：不共面.
17．
利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.
【详解】
所以，所以.
本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.
18．
根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】
解：如图，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，
所以，
所以当时，有最小值.
故答案为：
19．（1）＝＋＋；（2）.
（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
【详解】
解：（1）＝＋＋
＝＋＋
＝－＋＋＋（－）
＝＋＋，
又＝，＝，＝，∴＝＋＋．
（2）∵AB＝AC＝AA1＝1，∴||＝||＝||＝1．
∵∠BAC＝90°，∴＝0．∵∠BAA1＝∠CAA1＝60°，
∴＝＝，
∴||2＝（＋＋）2
＝（＋＋＋2＋2＋2）＝，
∴||＝．
20．证明见解析
根据垂直关系得数量积为0，进而得平面，可得，得，同理可证，，从而得证.
【详解】
∵，
∴，，，平面，
∴．
由题意可知，平面，
∴，，，
∴，
∴．
同理可证，．
∴是的垂心．
21．
连接，可得，根据可求.
【详解】
连接，，，
，，，
，，
即C，D两点间的距离为.
22．（1）；（2）
（1）以A为原点建立空间直角坐标系，分别表示出和的坐标，数量积为0即可证明两向量垂直；
（2）设F点的坐标，由计算出F点的位置，再根据向量计算出的长。
【详解】
（1）底面ABCD，，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，，，，
，，
，
.
（2），
，
由点F在棱PC上，设，，
，
，，解得，
即线段的长为。
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，向量垂直的性质和模长公式是解题的关键，注意计算的准确，属于中等题。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页