人教A版（2019）选择性必修第一册2.3直线的交点坐标与距离公式(word版含答案)

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．设，直线过定点，直线过定点，则=（ ）
A． B． C． D．1
2．设集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．或2
3．已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
6．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
7．已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A． B．
C． D．0
9．直线关于原点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何,总是无解 B．无论如何,总有唯一解
C．存在使之恰有两解 D．存在使之有无穷多解
11．设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知圆的一条直径的端点分别是，，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知点到直线的距离不小于，则实数的取值范围是_________.
14．已知，则的最小值为______.
15．直线关于点对称的直线的方程为_________.
16．已知m，n，a，，且满足，，则的最小值为________.
三、解答题
17．已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．
求(1)BC边所在的直线方程；
(2)△ABC的面积．
18．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
19．已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.
（1）若与平行，求的值；
（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.
20．在平面直角坐标系中，设直线，直线，.
（1）求证：直线过定点，并求出点的坐标；
（2）当时，设直线，的交点为，过作轴的垂线，垂足为，求点到直线的距离，并求的面积.
21．直线，相交于点，其中.
（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
（2）求的面积；
（3）问为何值时，最大？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
分析可得两条直线过的两定点分别为，，利用两点间距离公式即得解
【详解】
对于，当时，，即过定点，即.
对于，其方程可以写成，由，
得直线过定点，即.
所以.
故选:A
2．C
本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.
【详解】
解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
当时，
直线与平行或直线过点，
所以或，
解得或．
故选：C.
本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
3．A
利用两点之间线段最短，先求点关于直线对称的点，可得
，当A、P、三点共线时,可得答案.
【详解】
点B关于直线对称的点为．
,
当且仅当当A、P、三点共线时，等号成立．
此时取最小值，直线的方程为，
即，令，得．
所以点P的坐标为：
故选:A．
本题主要考查了解析几何中的最值问题，利用几何意义和平面几何中的常用结论，非常巧妙，属于中档题.
4．C
分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．
【详解】
当焦点在x轴上时，根据，可得焦点坐标为得 ，
则抛物线的标准方程为，
当焦点在y轴上时，根据，可得焦点坐标为，
则抛物线的标准方程为.
故选：C．
本题主要考查抛物线的标准方程．解题时注意分焦点在x轴上、焦点在y轴上两种情形讨论．属基础题．
5．C
先求出直线，的斜率，从而可得kAC·kBC＝－1，再求出,进而可得三角形的形状
【详解】
因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.
又AC＝＝a，|BC|＝＝a，
所以△ABC为直角三角形．
故选：C
6．C
根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】
根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
7．A
由三条直线过同一点，求得，并判断不重合即得．
【详解】
由已知得三条直线必过同一个点，则联立，解得这两条直线的交点为，
代入可得，此时没有两条直线重合．
故选：A.
8．B
直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，
故选：B
9．A
由直线上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程.
【详解】
点在直线上，则在所求直线上
所求直线的斜率，则所求直线方程为
故选：A
10．B
判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，点与是直线(为常数)上两个不同的点，
直线的斜率存在，所以，即，
且，所以，
由方程组，
可得：，即，
所以方程组有唯一的解．
故选B．
本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
11．D
求出线段的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由可求得的范围．
【详解】
，∴方程为，即，
由，解得，（显然），
由解得或．
故选：D．
方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：
（1）求出直线方程，由直线方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；
（2）求出直线过定点，再求出定点与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．
12．A
根据圆心为直径两端点的中点，得到圆心坐标；再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的标准方程．
【详解】
直径两端点为 圆心坐标为
圆的半径，
圆的方程为：.
故选：A.
求解圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题．
13．
根据点到直线的距离公式可得解出可得结果.
【详解】
解：由题意可得：，
化为，
解得或.
故答案为.
本体考察了不等式的性质、点到直线的距离公式，考察了推理能力和计算能力，属于基础题.
14．
通过的几何意义，将问题转化为求点到直线x+y-3=0距离问题即可.
【详解】
的几何意义为直线x+y-3=0上的点与点间的距离，
的最小值为点到直线x+y-3=0距离，.
的最小值为.
故答案为：.
本题考查数形结合求函数的最值、两点间距离公式和点到直线距离公式，根据题意建立几何模型是解决本题的关键.
15．
设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点，根据中点坐标公式，点在直线，可得所求直线方程，即可求得答案.
【详解】
设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为
根据坐标中点公式可得：
解得：①
点在直线
②
将①代入②可得：
整理可得：.
故答案为：.
本题主要考查直线关于点对称的直线方程，设出所求直线上任一点的坐标，求出其关于定点对称的点的坐标，代入已知直线即可求出结果，属于基础题型.
16．1
设点，，直线，直线， 的最小值可转化为点与点两点间距离的最小值，显然最小值为两平行线之间的距离.
【详解】
设点，，直线，直线，
由题意知点在直线上，点在直线上，
所以，
显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，
即.
故答案为：1.
本题考查两点间的距离公式，考查两平行线之间的距离公式，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题.
17．(1) 2x＋3y＋7＝0;(2).
（1）先判断A点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB、AC的方程，进而通过联立可得解；
（2）分别求|BC|及A点到BC边的距离d，利用S△ABC＝×d×|BC|即可得解.
【详解】
(1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－，kAC＝1．
∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0．
由得B(7，－7)．
由得C(－2，－1)．
∴BC边所在的直线方程2x＋3y＋7＝0．
(2)∵|BC|＝，A点到BC边的距离d＝，
∴S△ABC＝×d×|BC|＝××＝．
本题考查了两条直线的位置关系，直线的点斜式方程的应用，解答中熟记两条直线的位置关系和直线方程的形式是解答的关键，其中当两条直线垂直时，直线的斜率乘积等于，同时考查了学生的推理与运算能力.
18．（1）15（百米）；
（2）见解析；
（3）17+（百米）.
解：解法一：
（1）过A作，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．
解法二：
（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．
【详解】
解法一：
（1）过A作，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.
因为PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知，
从而，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，
此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3， 3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（ 4， 3），直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，
直线PB的方程为.
所以P（ 13，9），.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（ 4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（ 4，9），又A（4，3），
所以线段AD：.
在线段AD上取点M（3，），因为，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.
当QA=15时，设Q（a，9），由，
得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（ 13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.
本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
19．（1）；（2），证明见解析.
（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数的方程，即可解出实数的值；
（2）将两直线方程联立可求得交点的坐标，然后令，，消去参数得出关于、的二元一次方程，即可证得结论.
【详解】
（1）与平行，则，解得；
（2）联立，解得，，所以点，
，即.
因此，点在直线上.
本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）证明见解析，定点；（2），.
（1）变形为直线，，根据恒等式的思想可求得直线过定点.
（2）联立求得点，.得出直线的方程，点到直线的距离，由三角形的面积公式可求得答案.
【详解】
解：（1）∵直线，
∴，由，得，
∴直线过定点.
（2）当时，直线，直线，由，得，即，∴.
所以直线的方程为，即，
∴点到直线的距离.
∵点到直线的距离为3-2=1，，
∴的面积.
21．（1）证明见解析；、；（2）；（3）.
（1）在直线的方程中令可得出定点的坐标，在直线的方程中令可得出定点的坐标，由此可得出结论；
（2）联立直线、的方程，可求得两直线的交点的坐标，计算出和，利用三角形的面积公式可计算出的表达式；
（3）由的表达式可求得的最大值及其对应的的值.
【详解】
（1）在直线的方程中令可得，则直线过定点，
在直线的方程中令可得，则直线过定点；
（2）联立直线、的方程，解得，即点.
，
，
，所以，；
（3）且，因此，当时，取得最大值，即.
本题考查直线过定点的问题，同时也考查了三角形面积及其最值的求解，考查计算能力，属于中等题.
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