课件27张PPT。知识网络本章归纳整合数列的概念及表示方法
(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．
(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．
(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．
要点归纳1．等差数列、等比数列性质的对比
2．等差数列、等比数列的判断方法
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差数列；an＋12＝an·an＋2(an≠0)?{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数)?{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)?{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是等比数列．
3．专题一 数列通项公式的求法 数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n项和．
常见的数列通项公式的求法有以下几种：
(1)观察归纳法求数列的通项公式
就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．
(2)利用公式法求数列的通项公式
数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a1与d或a1与q，再代入公式an＝a1＋(n－1)d或an＝a1qn－1中即可．
(3)利用an与Sn的关系求数列的通项公式
如果给出的条件是an与Sn的关系式，可利用
(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式
形如：已知a1，且an＋1－an＝f(n)(f(n)是可求和数列)的形式均可用累加法；
(5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)
若由已知条件直接求an较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．
已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2且a1＝2，求an.
解 ∵a2－a1＝3×1＋2，
a3－a2＝3×2＋2，
a4－a3＝3×3＋2，
…
an－an－1＝3×(n－1)＋2，
以上各项相加，得
an－a1＝3[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋2(n－1)
【例1】【例2】 已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2(n∈N*)，a1＝1，求通项公式．
解 an＋1＝3an＋2可变为an＋1＋1＝3(an＋1)，
令bn＝an＋1，则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，
∴{bn}是以2为首项，以3为公比的等比数列．
∴bn＝2·3n－1，
∴an＝bn－1＝2·3n－1－1.
【例3】【例4】 求数列的前n项和Sn通常要掌握以下方法：
公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注
意对等比数列q≠1的讨论．
错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．专题二 数列求和1．2．3．4．5．【例5】【例6】求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
【例7】 数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．
专题三 数列的交汇问题
【例8】 已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且
a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②
①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前
n项和Tn＝2－bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an2·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1(1)解 a1＝S1＝4.
对于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.
综上{an}的通项公式an＝4n.
将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.
(求bn)法一 对于n≥2，
由Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn
得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，
【例9】Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n，
Tn＝2－21－n，bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n.
综上，{bn}的通项公式bn＝21－n.
(2)证明 法一 由cn＝an2·bn＝n225－n，即cn＋1法二 由cn＝an2·bn＝n225－n，得
cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]．
当且仅当n≥3时，cn＋1－cn<0，
即cn＋1命题趋势1．在最近几年高考试卷中，探索性题型在数列中考查较多，解决探索性题型应具备较高的数学思维能力，即观察、分析、归纳和猜想问题的能力，研究与分析探索性题型有利于培养创新意识和创造精神，另一方面，综合题型在数列中考查比较多，这主要是因为综合题是数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等知识的交汇点，具有较强的考查思维能力的功能．可以预见的是：有关数列的综合题型仍将是热点和重点之一，应用题型在最近几年试卷中也有所体现，所涉及的内容很广泛，要求学生有宽阔的知识面，能在相关知识背景中处理问题．
2．单击此处进入 高考真题高考真题第二章 数列
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·安徽卷)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于 ( )．
A．15 B．12 C．－12 D．－15
解析 ∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.
答案 A
2．(2011·天津卷)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为 ( )．
A．－110 B．－90 C．90 D．110
解析 ∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，
∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.
∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.
答案 D
3．(2011·江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于
( )．
A．1 B．9 C．10 D．55
解析 ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1.
可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1.∴Sn＋1－Sn＝1.
即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.
答案 A
4．(2011·广东卷)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若ak＋a4＝0，则k＝________.
解析 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S9－S4＝0，即a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,5a7＝0，故a7＝0.而ak＋a4＝0，故k＝10.
答案 10
5．(2011·湖北卷)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
解析 设所构成数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意即
解得
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
答案
6．(2011·课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a32＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．
解 (1)设数列{an}的公比为q.
由a32＝9a2a6得a32＝9a42，所以q2＝.
由条件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2.
＋＋…＋
＝－2
＝－.
所以数列的前n项和为－.
7．(2011·山东)在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.
故an＝2·3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an
＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n])·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3.
所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
当n为奇数时，Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3＝3n－ln 3－ln 2－1.
综上所述，Sn＝
