第二章 数列
2．1 数列的概念与简单表示法
班级： 组名： 姓名： 设计人：乔晓丽 审核人：魏帅举 领导审批：
【学习目标】
1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；
2、通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
3、体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
【研讨互动 问题生成】
1.数列的概念
2.数列的记法
3.数列的通项公式
4.数列的本质
5.数列的分类
6.递推公式
【合作探究 问题解决】
1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前项分别是下列个数:
(1)
(2)
2.根据下面数列的通项公式,写出前项.
(1)
(2)
(3)
【点睛师例 巩固提高】
例1 在数列中,,通项公式是项数的一次函数.
(1)求数列的通项公式,并求;
(2)若,求数列的通项公式.
例2. 已知数列的通项公式为.
(1)试问是否是数列中的项?
(2)求数列的最大项;
(3)若,求.
例3 已知数列的首项,且,写出这个数列的前5项.
例4 已知数列的递推公式是,且.求:
(1); (2)是这个数列中的第几项?
例5若记数列的前项和为,试证明.
变式题: 已知数列的前项和为,求.
【要点归纳 反思总结】
（1）数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
（2）了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可能的通项公式。
（3）了解数列是一种特殊的函数。
【多元评价】
自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:
学科长评价: 学术助理评价:
【课后训练】
1.下列说法正确的是( )
A. 数列可以表示为
B. 数列与数列是相同的数列
C. 数列的第项为
D. 数列0, 2, 4 , 6, 8……可记为
2.设数列0.3,0.33,0.333,0.3333……的通项公式是( )
A. B. C. D.
3.已知数列中,,则等于( )
A. B. C. D.
4.已知数列的首项且,则等于( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足,则数列是( )
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列
6.已知数列满足,若,则等于( )
A. B. C. D.
7.数列满足,则是这个数列的第____项.
8.数列的前项的积为,则这个数列的第项与第项的和是________.
9.已知数列的前项和为,且,则_________.
10.数列满足,,写出数列的前项.
11.已知数列的通项公式为,且,求和.
14.(1)已知数列的前项和,求.
(2)已知数列的前项和,求.
高二数学 （必修5）教·学案
课题：2.1.1数列的概念与简单表示法（1）
主备人：
执教者：
【学习目标】1、理解数列的概念；
2、认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
3、初步掌握数列的一种表示方法——通项公式；
【学习重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用.?
【学习难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.?
【授课类型】新授课
【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
师 课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？?
生 1，3，6，10，….?
师 图2.1-2中的正方形数呢？?
生 1，4，9，16，25，….?
师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？?
生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;?
无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1，….?
生 一些分数排成的一列数：，，，，，….?
二、新课学习：折纸问题?
师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试
生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.?
师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？?
生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①?
随着对折数面积依次为, , , ,…, ,….?
生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了.??
师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？?
生 均是一列数.?
生 还有一定次序.?
师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.
［教师精讲］
1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.?
注意：?
（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；?
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复?出现.?
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？?
生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.?
3.数列的分类：?
1)根据数列项数的多少分：?
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.?
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.?
2)根据数列项的大小分：?
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.?
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.?
常数数列：各项相等的数列.?
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.?
请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？
生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，
2.递减数列.?
［知识拓展］?
师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？?
生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n.?
［合作探究］?
同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，?
项 2 4 8 16 32?
↓ ↓ ↓ ↓ ↓?
序号 1 2 3 4 5?
你能从中得到什么启示？?
生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….?
师 说的很好.如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.?
三、 特例示范
1.根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项：?
(1)an=;(2)an=(-1)n·n.?
师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.?
2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：?
(1)3，5，7，9，11，…；(2)，，，，，…；?
(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；?
(5)2，-6，12，-20，30，-42，….?
这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.?
［合作探究］?
师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：?
函数
数列(特殊的函数)
定义域
R或R的子集
N*或它的有限子集{1，2，…，n}
解析式
y=f(x)
an=f(n)
图象
点的集合
一些离散的点的集合
师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:?
4，5，6，7，8，9，10…;② 1, , , ,…③的图象.?
生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为?
师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？?
生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.?
师 数列1, , , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？?
生 与我们学过的反比例函数的图象有关.?
师 这两数列的图象有什么特点？?
生 其特点为：它们都是一群孤立的点.?
生 它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.?
四、课堂小结
本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.?对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.?六、作业布置:
课时作业2.1.1
个性设计
六、课后反思：
第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与通项公式
双基达标 ?限时20分钟?
1．下列说法中，正确的是 ( )．
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列的第k项是1＋
D．数列0,2,4,6,8，…，可表示为an＝2n(n∈N*)
解析 A错，{1,3,5,7}是集合．B错，是两个不同的数列，顺序不同．C正确，ak＝＝1＋.D错，an＝2(n－1)(n∈N*)．
答案 C
2．已知数列，3，，，3，…，，…，则9是这个数列的 ( )．
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第15项
解析 令an＝＝9，解得n＝14.
答案 C
3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于 ( )．
A．11 B．12 C．13 D．14
解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即an＋an＋1＝an＋2，所以x＝5＋8＝13.
答案 C
4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．
解析 an＝n(n＋1)＝600＝24×25，n＝24.
答案 24
5．已知数列{an}满足a1>0，＝(n∈N*)，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．
解析 由已知a1>0，an＋1＝an(n∈N*)，
得an>0(n∈N*)．
又an＋1－an＝an－an＝－an<0，
∴{an}是递减数列．
答案 递减
6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)，，，( )，，，…
(2)，( )，，，，…
(3)2,1，( )，，…
(4)，，( )，，…
解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则
序号 1 2 3 4 5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
数 ( )
于是括号内填，而分子恰为10减序号．
故括号内填，通项公式为an＝.
(2)＝，＝，＝，
＝.
只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．
故括号内填，通项公式为an＝.
(3)因为2＝，1＝，＝，所以数列缺少部分为，数列的通项公式为an＝.
(4)先将原数列变形为1，2，( )，4，…，所以应填3，数列的通项公式为an＝
n＋.
综合提高 ?限时25分钟?
7．下列命题：
①已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第一项．
②数列，，2，，…的一个通项公式是an＝.
③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29.
④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．
其中正确命题的个数为 ( )．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析 对于①，令an＝＝?n＝10，易知最大项为第一项．①正确．
对于②，数列，，2，，…变为，，，，…?，，，，…?an＝，②正确；
对于③，an＝kn－5，且a8＝11?k＝2?an＝2n－5?a17＝29.③正确；
对于④，由an＋1－an＝3>0，易知④正确．
答案 A
8．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
解析 由图形可得三角形数构成的数列通项an＝(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，而所给的选项中只有1 225满足a49＝＝b35＝352＝1 225.故选C.
答案 C
9．数列，，，，…的一个通项公式是________．
解析 数列可写为：，，，，…，
分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，
故通项公式为an＝.
答案 an＝
10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
解析 ∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，
∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
答案
11．已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
(2)a1＝1，an＋1＝.
解 (1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；
a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；
a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；
a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.
故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
(2)∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
∴它的前5项依次是1，，，，.
它的前5项又可写成，，，，，
故它的一个通项公式为an＝.
12．(创新拓展)已知{an}的通项公式为an＝3n＋1，是否存在m，k∈N*，满足am＋am＋1＝ak？如果存在，求出m，k的值；如果不存在，说明理由．
解 由am＋am＋1＝ak，得6m＋5＝3k＋1，
整理后，可得k－2m＝，
∵m，k∈N*，∴k－2m为整数，
∴不存在m，k∈N*使等式成立．
课件27张PPT。【课标要求】
1．了解数列、通项公式的概念；了解数列是自变量为正整数的一
类函数．
2．能根据通项公式确定数列的某一项．
3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
第1课时 数列的概念与通项公式2．1 数列的概念与简单表示法【核心扫描】
1．数列通项公式的应用．(重点)
2．求数列的通项公式．(难点)
数列的概念
(1)数列：按照_________排列的一列数称为数列；数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
(2)项：数列中的_________叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做_____)，排在第n位的数称为这个数列的_______．
自学导引1．一定顺序每一个数首项第n项 ：数列与数集有什么不同？
提示：数列中的数是有序的，而数集中的数是无序的，数列中的数可以相同而数集中的数是互异的．
数列的分类
(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：
①有穷数列——项数_____的数列．
②无穷数列——项数_____的数列．
(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：
①递增数列——从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列；
②递减数列——从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列；
③常数列——各项_____的数列；
④摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
2．有限无限大于小于相等 ：1,2,3,4和1,2,3,4，…是相同的数列吗？
提示：不是．数列1,2,3,4表示有穷数列，而1,2,3,4，…表示无穷数列．
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
另外，数列还可以用列表法、图象法、递推公式法等表示．
3．序号n数列概念的理解
(1)有序性：如1,2,3与3,2,1是不同的数列．
(2)可重复：如2,2,2是一个数列．
(3){an}与an是两个不同的概念：{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an只表示数列{an}的第n项．
(4)数列与数集是两个不同的概念，它们主要区别在于：集合中的元素具有无序性和互异性，数列中的项是有序的且可以相同，即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，另一方面，同一个数在数列中可以重复出现．
名师点睛1．数列的通项公式
(1)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如的近似值，精确到1,0.1,0.01，…所构成的数列1,1.4,1.41，…就没有通项公式．
(2)有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．如数列－1,1，－1,1，…，它可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2等．
(3)熟记一些基本数列的通项公式，如：
①数列－1,1，－1,1，…的通项公式是an＝(－1)n；
②数列1,2,3,4，…的通项公式是an＝n；
③数列1,3,5,7，…的通项公式是an＝2n－1；
④数列2,4,6,8，…的通项公式是an＝2n；
⑤数列1,2,4,8，…的通项公式是an＝2n－1；
⑥数列1,4,9,16，…的通项公式是an＝n2.
2．题型一 数列的有关概念 下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列；
(2)所有自然数能构成数列；
(3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；
(4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.
[思路探索] 紧扣数列的有关概念完成判断．
【例1】解 (1)错误．{0,1,2,3,4}是集合，不是数列．
(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．
(3)错误．当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成．
(4)错误．数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的第n项为2n－1，故通项公式为an＝2n－1.
(1)数列的项与项数
数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.
(2)数列表示法的理解
数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别．
已知下列数列：
(1)2 000,2 004,2 008,2 012；
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________(将合理的序号填在横线上)．
【变式1】 解析 (1)是有穷递增数列；
(3)是无穷递减数列；
(4)是摆动数列，也是无穷数列；
(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.
答案 (1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (4)(5) (5)
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
[思路探索] 应多角度、全方位地观察，寻找各项之间以及它们与序号n之间的内在联系．
题型二 根据数列的前几项写出通项公式
【例2】解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．
写出下列数列的一个通项公式：
(1)3,5,9,17,33，…；
(4)9,99,999,9 999，….
解 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以an＝2n＋1.
【变式2】 (4)注意到各项分别加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，∴an＝10n－1.
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
【解题流程】
[规范解答] (1)根据an＝3n2－28n，
a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.(6分)
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
题型三 数列通项公式的应用【例3】【题后反思】 (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．
【变式3】 已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋29n＋3，求数列{an}的最大项．
[错解] 由已知，得误区警示 忽略数列中n的取值范围而致误
【示例】 可以将数列的通项公式看作函数，因为n为项的序号，所以定义域为正整数集，解题时往往忽略这一点，误认为定义域为R而导致出错．
数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2，…，n})这一约束条件．单击此处进入 活页规范训练
高二数学（必修5） 教·学案
课题：2.1.2数列的概念与简单表示法（2）
主备人：
执教者：
【学习目标】1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.
【学习重点】根据数列的递推公式写出数列的前几项.?
【学习难点】理解递推公式与通项公式的关系.
【授课类型】新授课
【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？?
生 如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.?
师 你能举例说明吗？?
生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n-1(n∈N*);?
1,1,1的通项公式为an=1(n∈N*,1≤n≤3);?
1, , , ,…的通项公式为an= (n∈N*).?
［合作探究］?
数列的表示方法?
师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？??
生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, ,,,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.?
师 说得很好，还有其他的方法吗？?
生 ……?
师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法?
知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.
生 模型一：自上而下?
第1层钢管数为4,即1?4＝1+3;?
第2层钢管数为5,即2?5＝2+3;?
第3层钢管数为6,即3?6＝3+3;?
第4层钢管数为7,即4?7＝4+3;?
第5层钢管数为8,即5?8＝5+3;?
第6层钢管数为9,即6?9＝6+3;?
第7层钢管数为10,即7?10＝7+3.?
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an=n+3(1≤n≤7).
师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)?
生 模型二：上下层之间的关系?
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,?
即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.?
依此类推：an=a n-1+1(2≤n≤7).?
师
对于上述所求关系，同学们有什么样的理解??
生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.?
师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.?
二、新课学习：
1.递推公式定义：?
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.?
注意：递推公式也是给出数列的一种方法.?
如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.?
递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8).?
2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法.
三、 特例示范
【例1】 设数列{an}满足.写出这个数列的前五项.?
师 分析：题中已给出{an}的第1项即a1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：an=1+我们将如何应用呢??
生 这要将n的值2和a1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.?
师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.?
【例2】 已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an.?
师 由例1的经验我们先求前5项.?
生 前5项分别为2，4，8，16，32.?
师 对，下面来猜想第n项.?
生 由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23观察可得，我猜想an=2n.?
［教师精讲］?
(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.?
例如，由数列{an}中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列{an}中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4=15,….?
(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.?
四、当堂练习：
学案2.1.2
五、 本节小结：
通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.?对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.?
六、作业布置:
课时作业3.1.2
个性设计
课后反思：
第2课时 数列的性质与递推公式
双基达标 ?限时20分钟?
1．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是 ( )．
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
解析 ∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
答案 C
2．一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为 ( )．
A．6 B．－3 C．－12 D．－6
解析 由递推关系式可求得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，∴a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.
答案 D
3．已知{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是 ( )．
A．an＝2n B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析 a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，观察得an＝.
答案 C
4．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
解析 an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.
答案 －9
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝________.
解析 由an＋1－an＝ln 知
a2－a1＝ln ，
a3－a2＝ln ，
…
an－an－1＝ln ，
累加得：an＝2＋ln n.
答案 2＋ln n
6．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求an.
解 法一(累乘法)由(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0.
得(an＋1＋an)(nan＋1－nan＋an＋1)＝0.
由于an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.
∴＝.
∴an＝a1···…·
＝1××××…×＝.
法二 (换元法)由已知得(n＋1)an＋1－nan＝0，
设bn＝nan，则bn＋1－bn＝0.∴{bn}是常数列．
∴bn＝b1＝1×a1＝1，即nan＝1.
∴an＝.
综合提高 ?限时25分钟?
7．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( )．
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
解析 经验证B选项合适．
答案 B
8．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 011的值为 ( )．
A. B. C. D.
解析 计算得a2＝，a3＝，a4＝.故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 011＝670×3＋1，所以a2 011＝a1＝.
答案 A
9．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
解析 ∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案 2
10．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第m项的和最大，则m的值是________．
解析 令an＝－n2＋10n＋11≥0，则n≤11.
∴a1>0，a2>0，…，a10>0，a11＝0，
∴S10＝S11且为Sn的最大值．
答案 10或11
11．已知函数f(x)＝，构造数列an＝f(n)(n∈N*)，试判断{an}是递增数列还是递减数列．
解 由已知得an＝＝－，
∴an＋1－an＝－－
＝<0，
∴数列{an}是递减数列．
12．(创新拓展)已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋.
(1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
(2)证明：an≥对一切正整数恒成立．
(1)解 ∵an＝＋＋＋…＋，
∴an＋1＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－，
又n∈N*，∴2n＋1<2n＋2，
∴an＋1－an>0.
∴数列{an}是递增数列．
(2)证明 由(1)知数列{an}为递增数列．
所以数列{an}的最小项为a1＝，∴an≥a1＝，
即an≥对一切正整数恒成立．
课件25张PPT。【课标要求】
1．理解数列的函数特性，掌握判断数列增减性的方法．
2．理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前
n项．
?【核心扫描】
1．判断数列的增减性，利用数列的增减性求最大项、最
小项．(重点)
2．由递推公式求数列的通项公式．(重、难点)第2课时 数列的性质与递推公式数列的函数性质
(1)数列可以看成以__________(或它的有限子集_____________)为定义域的函数an＝f(n)，即当自变量按照_________的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
(2)在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1
数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
自学导引1．2．正整数集N*{1,2，…，n}从小到大 ：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)你能否确定这个数列？若又已知a1＝1呢？
提示：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2，只能知道相邻两项的差an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a3－a2＝a2－a1＝2，却无法确定这个数列；若又已知a1＝1，则可以确定这个数列为1,3,5,7，…，2n－1，….
数列的递推公式
(1)通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
(2)如何用递推公式给出一个数列
名师点睛(3)给出了递推公式求通项公式，常用叠加、累乘等方法，即
①累加法：an－an－1＝f(n)满足一定规律时，可以有
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1叠加．
题型一 判断数列的单调性
[思路探索] 作差法，比较相邻两项an＋1与an的大小．
【例1】 单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1 已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
(1)解 ∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2log2an－2－log2an＝－2n，
【变式1】 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[思路探索] (1)令an＜0即可；(2)利用求函数最值的方法求解；或利用an≤an＋1及an≤an－1求最小项．
解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，∴n＝2,3.
∴数列中有两项是负数．
题型二 求数列的最大(小)项【例2】 求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由【变式2】当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)求数列{an}的通项公式．
审题指导 解答本题应利用
题型三 由递推关系式求数列的通项公式
【例3】【题后反思】 由数列的递推公式求通项公式的常用方法有：
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋
(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项．
已知数列{an}，a1＝2，an＝2an－1(n≥2)，求数列的通项公式an.
【变式3】 已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实数λ的最小值是________．
[错解] ∵an≤an＋1，∴{an}单增，又an为n的二次式，
误区警示 混淆函数与数列的单调性而致错
【示例】 二次函数的相关知识迁移到数列方面时，要注意定义域发生了变化，类似的还有：an＝3n2－4n＋5(n∈N＋)，[正解] 正解一 an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)?
λ≥(2n＋1)，n∈N＋?λ≥－3.
答案 －3
函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数．故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an，则数列为递增数列；若
an＋1