2．5等比数列的前n项和
班级： 组名： 姓名： 设计人：乔晓丽 审核人：魏帅举 领导审批：
【学习目标】
1.掌握等比数列前n项和公式及其获取思路；
2.会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
【研讨互动 问题生成】
1.等比数列的前项和公式1
2.等比数列的前项和公式2
【合作探究 问题解决】
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②
【点睛师例 巩固提高】
求和：
例2.求数列前n项的和.
例3.求数列的前n项和：，…
例4．求数列的前n项和.
【要点归纳 反思总结】
等比数列求和的公式
【多元评价】
自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:
学科长评价: 学术助理评价:
【课后训练】
1.在等比数列中，，则（ ）
2.等比数列中，已知，则的值为
3.实数依次成等比数列，其中a1=2，a5=8，则a3的值为
4.设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 =
5.等比数列的前项和为，若，则公比为
6.已知等比数列{an }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为
7.已知等比数列的首项为8，是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 8.已知数列的前项和(,,为非零常数),则数列为( )
A.等差数列 B.等比数列 C.既不等比也不等差 D.既是等差又是等比
9. 若an＞0，q=2，且a1·a2·a3…a30=230，则a3·a6·a9…a30=_____．
10.已知1, a1, a2, 4成等差数列，1, b1, b2, b3, 4成等比数列，则______．
11.等比数列{}的公比, =1，则数列{}的=
12.等比数列的前项和=，则=_______.
13.已知数列{an}中，a1=1,a2=2,an+2=
(1)求证：{an+1-an}是等比数列。(2)求数列{an}的通项公式。
14.在等比数列中，公比，设，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和及数列的通项公式；
（3）试比较与的大小.
高二数学（必修5）教·学案
课题：2.5.1等比数列的前n项和（1）
主备人：
执教者：
【学习目标】掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
【学习重点】等比数列的前n项和公式推导
【学习难点】灵活应用公式解决有关问题
【授课类型】 新授课
【教 具】 多媒体、实物投影仪、电子白板
【学习方法】 诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
二、新课学习：
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由可得
==。
这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
三、 特例示范：
课本P65-66的例1、例2 例3解略
四、当堂练习：
课本P66的练习1、2、3
五、 本节小结：
等比数列求和公式：当q=1时，
当时， 或
六、作业布置:课时作业：2.4.1
个性设计
课后反思：
课题：2.5.2等比数列前n项和（2）
主备人：
执教者：
【学习目标】灵会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
【学习重点】进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
【学习难点】灵活使用公式解决问题
【授课类型】新授课
【教 具】多媒体、实物投影仪
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②
二、新课学习：
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n， 求证：
2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和； （1）a=0时，Sn=0 （2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n= 若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=
三、例题
四、课堂练习：
五、课堂小结：
六、作业布置:
课时作业2.4.2
个性设计
课后反思：
高二数学 教·学案
课题：3.1不等式与不等关系(1)
主备人：
执教者：
【学习目标】
1、通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在的大量数量关系；
2、能够用不等式表示具体的数量关系 【学习重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【学习难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【授课类型】 新授课
【学习方法】 诱思探究
【学习过程】
引入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
新课学习
（1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x?元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
课堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P82的练习1、2
四、小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
作业
同步学案3.1（1）
个性设计
课后反思：
2.5 等比数列的前n项和
双基达标 ?限时20分钟?
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为 ( )．
A．63 B．64 C．127 D．128
解析 设公比为q(q>0)，
由a5＝a1q4及题设，知16＝q4.
∴q＝2.∴S7＝＝＝127.
答案 C
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于 ( )．
A．2 B．4 C. D.
解析 ＝＝＝.
答案 C
3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )．
A．33 B．72 C．84 D．189
解析 由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.
答案 C
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
解析 由a1＝1，S6＝4S3，
∴＝4·，
∴1－q6＝4(1－q3)．得q3＝3，
故a4＝a1q3＝1×3＝3.
答案 3
5．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2.则该数列前15项的和S15＝________.
解析 由性质知：a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…成等比数列，其公比q＝＝－2，首项为a1＋a2＋a3＝1，其前5项和就是数列{an}的前15项的和S15＝＝11.
答案 11
6．已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn<128(n＝1,2,3，…)．
(1)解 设等比数列{an}的公比为q(q∈R)，
由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，
从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，
a6＝a1q5＝q－1.
因为a4，a5＋1，a6成等差数列，
所以a4＋a6＝2(a5＋1)，
即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．
所以q＝.
故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝64n－1.
(2)证明 Sn＝＝
＝128<128.
综合提高 ?限时25分钟?
7．在等比数列{an}中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为 ( )．
A．2 B．－2
C．2或－2 D．2或－1
解析 已知即S4＝1，S8－S4＝16.
∴
即
两式相除得q4＝16，∴q＝±2.
答案 C
8．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于 ( )．
A．(2n－1)2 B.(2n－1)2
C．4n－1 D.(4n－1)
解析 设等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－1.易知等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝1，∴an＝2n－1，于是an2＝4n－1，∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝(4n－1)．故选D.
答案 D
9．Sn＝1＋3＋5＋…＋＝________.
解析 Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋
＝＋
＝n2＋1－.
答案 n2＋1－
10．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于________．
解析 an－an－1＝a1qn－1＝2n－1
即
相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1.
答案 2n－1
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.
解 (1)由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，
两式相减得an＝2an－2an－1，即＝2(n≥2)，
又a1＝2a1－2，∴a1＝2，
∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2n.
∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上，
∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，
∴{bn}是等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1.
(2)∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n①
∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1②
①－②得：
－Tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1
＝2＋2·－(2n－1)2n＋1
＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1＝(3－2n)·2n＋1－6
∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.
12．(创新拓展)n2(n≥4)个正数排成n行n列：
a11 a12 a13 a14 … a1n
a21 a22 a23 a24 … a2n
a31 a32 a33 a34 … a3n
… … … … … …
an1 an2 an3 an4 … an n
其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24＝1，a42＝，a43＝，求a11＋a22＋a33＋…＋an n.
解 设第1行的公差为d，各列公比为q，则得
a1k＝a11＋(k－1)d，a24＝a14q＝(a11＋3d)q＝1①
a42＝a12q3＝(a11＋d)q3＝②
a43＝a13q3＝(a11＋2d)q3＝③
由①②③，解得a11＝d＝q＝.
∴akk＝a1kqk－1＝[a11＋(k－1)d]qk－1＝.
设Sn＝a11＋a22＋a33＋…＋an n，则
Sn＝＋＋＋…④
Sn＝＋＋＋…＋⑤
④－⑤得，
Sn＝＋＋＋…＋－＝1－.
∴Sn＝2－.
即a11＋a22＋a33＋…＋an n＝2－.
课件28张PPT。【课标要求】
1．理解等比数列前n项和公式的推导过程．
2．掌握等比数列前n项和的公式，会用前n项和公式解决
等比数列问题．
【核心扫描】
1．等比数列前n项和的公式及应用．(重点)
2．利用错位相减法求数列的和．(重点、难点)2．5 等比数列的前n项和等比数列的前n项和公式
自学导引 ：尝试用其他方法证明等比数列的前n项和公式．
提示：等比数列前n项和，也可以用以下几种方法，令首项为a1，公比为q(q≠1)．
1．乘法运算公式法
∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1
＝a1(1＋q＋q2＋…＋qn－1)
2．方程法
∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1
＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)
＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)
＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，
∴(1－q)Sn＝a1－a1qn.
等比数列前n项和公式的理解
(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．
成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
名师点睛1．等比数列前n项和性质
(1)在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列，即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列．
(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A?数列{an}为等比数列．2．题型一 等比数列前n项和公式的基本运算
在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(3)若q＝2，S4＝1，求S8.
[思路探索] 根据等比数列的前n项和公式，结合通项公式，列方程或方程组求解．【例1】 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1和q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比
q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.
解 若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1.
但S3＋S6≠2S9，∴q≠1.
【变式1】 一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．
题型二 等比数列前n项和性质的应用【例2】法二 设项数为n.
∵等比数列的项数为偶数，Sn＝S奇＋S偶，
则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋an－1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝a1q＋a3q＋a5q＋…＋an－1q＝q(a1＋a3＋a5＋…＋an－1)＝q·S奇，∴85q＝170，∴q＝2，
本题法二利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的思想．
【变式2】 等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.
＝7×(1＋3)＝28.
∴S4＝28.
法二 ∵{an}为等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，
∴(S4－7)2＝7(91－S4)．解得S4＝28或－21.
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，
∴S4＝28.
借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)
[规范解答] 法一 设每个月还贷a元，第1个月后欠款为
a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则
a0＝10 000，
a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
……
a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
题型三 等比数列前n项和的实际应用
【例3】故每月应支付1 739元．
法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
【题后反思】 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入【变式3】 若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前
n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
[思路分析] (1)根据题意列方程组即可求得首项和公差，则通项公式可得；(2)列出{bn}的通项bn，观察通项的特点，采用恰当的方法求和．
方法技巧 错位相减法求数列的和【示例】解得a1＝3，d＝－1.
故an＝3＋(n－1)(－1)＝4－n.
(2)由(1)，可得bn＝n·qn－1，于是
Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋(n－1)·qn－2＋n·qn－1.
①若q≠1，将上式两边同乘以q，得：
qSn＝1·q1＋2·q2＋3·q3＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.
将上面两式相减得：
方法点评 在写出“Sn”与“qSn”的表达式后，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“qSn－Sn”的表达式．
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