2．2 等差数列
班级： 组名： 姓名： 设计人：乔晓丽 审核人：魏帅举 领导审批：
【学习目标】
通过实例，理解等差数列的概念；
探索并掌握等差数列的通项公式；
能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
【研讨互动 问题生成】
1.等差数列的概念
2.等差数列的通项公式
【合作探究 问题解决】
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
【点睛师例 巩固提高】
例1.⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
例3． 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗?
【要点归纳 反思总结】
①等差数列定义：即(n≥2)
②等差数列通项公式：(n≥1)
推导出公式：
【多元评价】
自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:
学科长评价: 学术助理评价:
【课后训练】
1.在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于 ( )
A.40 B.42 C.43 D.45
2.设是公差为正数的等差数列，若，，则( )
A． B． C． D．
3.已知等差数列2,5,8，……，该数列的第3k（k∈N＊）项组成的新数列｛bn｝的前4项是 。｛bn｝的通项公式为 。
4．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为-2，公差为4的等差数列。若an=bn,则n的值为（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
5．关于等差数列，有下列四个命题中是真命题的个数为( )
（1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数（2）若有两项是无理数，则其余各项都是无理数 （3）若数列{an}是等差数列，则数列{kan}也是等差数列（4）若数列{an}是等差数列，则数列{a2n}也是等差数列
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
6．在等差数列{an}中,am=n, an=m,则am+n的值为（ ）
（A）m+n （B） （C） （D）0
7.在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为 （ ）
（A）30 （B）27 （C）24 （D）21
8．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为 （ ）
（A）4∶5 （B）5∶13 （C）3∶5 （D）12∶13
10.在等差数列{an}中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8= 。
11.在数列中，=1，，则的值为（ ）
A．99 B．49 C．102 D． 101
12.已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为__ ______ .
13.已知数列｛an｝的前n项和，那么它的通项公式为an=_________
高二数学（必修5）教·学案
课题：2.2.1等差数列（1）
主备人：
执教者：
【学习目标】了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
【学习重点】等差数列的概念，等差数列的通项公式
【学习难点】等差数列的性质
【授课类型】 新授课
【教 具】 多媒体、实物投影仪、电子白板
【学习方法】 诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
二、新课学习：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项公式：【或】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
即：
即：
即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
由上述关系还可得：
即：
则：=
即等差数列的第二通项公式 ∴ d=
三、 特例示范
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
例3 已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
四、当堂练习：
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
五、 本节小结：
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
六、作业布置:
课时作业：2.2.1
个性设计
课后反思：
2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
双基达标 ?限时20分钟?
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列 ( )．
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
答案 A
2．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为 ( )．
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
解析 ∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，
∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.
答案 B
3．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于 ( )．
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析 ∵A，B，C为等差数列，
∴B＝，即A＋C＝2B.
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，
即B＝60°.
答案 B
4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2，则该数列的通项an＝________.
解析 由an＋1＝an＋2(n≥1)可得数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝1，所以an＝2n－1.
答案 2n－1
5．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.
解析 设两个数列的公差分别为d1，d2，则
∴＝，∴＝＝.
答案
6．已知等差数列{an}中，a10＝29，a21＝62，试判断91是否为此数列中的项．
解 设等差数列{an}的公差为d，则有
解得a1＝2，d＝3，
∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
令an＝3n－1＝91，得n＝?N*.
∴91不是此数列中的项．
综合提高 ?限时25分钟?
7．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于 ( )．
A. B. C. D.
解析 ∴a＝，b＝x.∴＝.
答案 C
8．设函数f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3]，n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，记cn＝bn2－an·bn，则{cn}是 ( )．
A．常数列 B．摆动数列
C．公差不为0的等差数列 D．递减数列
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3])，
∴an＝n，bn＝n＋4，
∴cn＝bn2－an·bn＝bn(bn－an)＝4(n＋4)＝4n＋16.
答案 C
9．已知数列{an}满足an＋12＝an2＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
解析 由已知an＋12－an2＝4，
∴{an2}是等差数列，且首项a12＝1，公差d＝4，
∴an2＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
答案
10．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．
解析 (an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d.
答案 3d
11．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？说明理由．
解 数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝(常数)．
∴是以＝为首项，公差为的等差数列．
12．(创新拓展)对数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an.对正整数k，规定{Δkan}为{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ(Δk－1an)(k≥2)．
(1)试写出数列1,2,4,8,15,26的一阶差分数列；
(2)已知数列{an}的通项公式an＝n2＋n，试判断{Δan}，{Δ2an}是否为等差数列，为什么？
解 (1)由题意，可以得到此数列的一阶差分数列为1,2,4,7,11.
(2)Δan＝an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，
∴{Δan}是首项为4，公差为2的等差数列．
Δ2an＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2，
∴{Δ2an}是首项为2，公差为0的等差数列．
