2．3等差数列的前n项和
班级： 组名： 姓名： 设计人：乔晓丽 审核人：魏帅举 领导审批：
【学习目标】
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
【研讨互动 问题生成】
1.等差数列的前项和公式1
2.等差数列的前项和公式2
【合作探究 问题解决】
1.一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
2.对等差数列的前项和公式2：可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
【点睛师例 巩固提高】
一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
例2．差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值。
【要点归纳 反思总结】
1．前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的首项是； 公差是d=2p
通项公式是
2．等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。
（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值
【多元评价】
自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:
学科长评价: 学术助理评价:
【课后训练】
1．在等差数列{an}中，Sm=Sn,则Sm+n的值为（ ）
（A）0 （B）Sm+Sn （C）2(Sm+Sn) （D）
2．在等差数列{an}中，S4=6,S8=20,则S12= 。
3．在项数为n的等差数列{an}中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n= 。
4．已知等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn 和 Tn，且，求＝ 。
5.已知数列{an}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。
6. 都是实数，那么“”是“成等差数列”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
7. 若 成等差数列，则的值等于（ ）
A. 9 B. C. 32 D. 0或32
8. 三个数成等差数列，平方和为450，两两之积的和为423，则其中间数为（ ）
A. 150 B. C. D.
9. 已知等差数列的首项为，第10项是第一个比1大的项，则该等差数列公差d的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 数列是公差为的等差数列，它的前20项的和则下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 在等差数列中，，，则为（ ）
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
12. 等差数列共有项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
13. 等差数列{}中，公差，前项和，当时一定有（ ）
A B C D
14. 在公差为非零实数的等差数列中，若是方程的两根，则通项公式=
15. 一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为460，则最大角为
16. 在等差数列中， ，，则=
17. 在等差数列中，，则n= 时，有最小值，最小值是
18. 若三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数
19. 等差数列{}中，求其前项绝对值之和
高二数学 （必修5）教·学案
课题：2.3.1等差数列的前n项和（1）
主备人：
执教者：
【学习目标】掌握等差数列前项和公式及其获取思路；会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的问题.
【学习重点】等差数列前项和公式的理解、推导及应用.?
【学习难点】灵活运用等差数列前项公式解决一些简单的有关问题.?
【授课类型】新授课
【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。
二、新课学习：
1．等差数列的前项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前项和公式2：
用上述公式要求必须具备三个条件：
但 代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）
三、 特例示范
课本P49-50的例1、例2、例3
由例3得与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，
即=.
四、课堂小结
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
?五、作业布置:
课时作业2.3.1
个性设计
六、课后反思：
2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
双基达标 ?限时20分钟?
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是 ( )．
A．12 B．24 C．36 D．48
解析 由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24.
答案 B
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
A．9 B．8 C．7 D．6
解析 此数列为等差数列，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，由5<2k－10<8得到k＝8.
答案 B
3．已知等差数列{an}中，a32＋a82＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为 ( )．
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15
解析 由a32＋a82＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，
∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝
＝＝＝－15.
答案 D
4．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋5，则a5＋a6＋a7＝________.
解析 a5＋a6＋a7＝S7－S4＝39.
答案 39
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
解析 由a6＝S3＝12可得{an}的公差d＝2，首项a1＝2，故易得an＝2n.
答案 2n
6．已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，S4＝20，求S6；
(2)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(3)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
解 (1)S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，
∴d＝3.
故S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48.
(2)∵Sn＝n·＋＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
(3)由Sn＝＝＝－1 022，
解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
综合提高 ?限时25分钟?
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－am2＝0，S2m－1＝38，则m等于 ( )．
A．38 B．20 C．10 D．9
解析 因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－am2＝0，得：2am－am2＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.
答案 C
8．等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)可能在下列哪条曲线上 ( )．
解析 由Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n，及d<0，a1>0知，<0，a1－>0，排除A、B.对称轴n＝－＝>0，排除D.
答案 C
9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
解析 设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
答案 15
10．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为________．
解析 由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝＝50×(25＋75＋100)＝10 000.
答案 10 000
11．设正项数列{an}的前n项和为Sn，并且对于任意n∈N*，an与1的等差中项等于，求数列{an}的通项公式．
解 由题意知，＝，得：
Sn＝.
∴a1＝S1＝1.
又∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝[(an＋1＋1)2－(an＋1)2]，
∴(an＋1－1)2－(an＋1)2＝0，
即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，
∵an>0，∴an＋1－an＝2，
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an＝2n－1.
12．(创新拓展)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解 (1){an}为等差数列，∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根，
又公差d>0，∴a3∴∴∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝，
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，
∴c＝－(c＝0舍去)．
课件19张PPT。【课标要求】
1．理解等差数列前n项和公式的推导方法．
2．掌握等差数列前n项和公式．
3．掌握由Sn求an的方法．
【核心扫描】
1．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关
系，能够由其中的三个求另外两个．(重点)
2．利用前n项和公式解决相关问题．(难点)
第1课时 等差数列的前n项和2.3 等差数列的前n项和数列前n项和的定义
一般地，称__________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝ __________________.
自学导引1． ：尝试探索数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的关系．
提示：当n≥2时，有Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，所以Sn－Sn－1＝an.
当n＝1时，a1＝S1.
a1＋a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an等差数列的前n项和公式
是关于n的二次函数”，这种说法正确吗？
提示：不一定正确．当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)是关于
n的二次函数；当d＝0时，Sn＝na1＝a1n是关于n的一次函数．
2．等差数列前n项和公式的理解
(1)两个公式共涉及到a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项公式和前
n项和．
(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量．
(3)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
名师点睛1．等差数列前n项和公式的函数特征
(2)当A＝0，B＝0时，Sn＝0是关于n的常数函数(此时a1＝0，
d＝0)；
当A＝0，B≠0时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数(此时a1≠0，
d＝0)；
当A≠0，B≠0时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(此时d≠0)．
2．题型一 利用Sn求an 已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
(2)当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，
【例1】 (1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an.
解 a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋
3(n－1)]＝4n＋1，
当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.【变式1】 已知等差数列{an}．
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
[思路探索] 根据等差数列前n项和公式解方程．
题型二 与等差数列前n项和有关的基本量的计算
【例2】 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
在等差数列{an}中；
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a3＋a15＝40，求S17.
【变式2】 审题指导题型三 求数列{|an|}的前n项和
【例3】＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)． (2分)
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. (4分)
(1)当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
【题后反思】 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．
已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列bn的前n项之和Tn的表达式．
解 由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n，(n≥2，n∈N*)．
验证a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N*
∴当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
【变式3】 已知一个数列的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？
[错解] an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]
＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项的差是同一个常数，∴{an}是等差数列．
误区警示 对定义把握不准致错【示例】 已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．
[正解] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋
(n－1)－1]＝2n；
∵a2－a1＝4－1＝3≠2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴{an}不是等差数列．
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高二数学（必修5） 教·学案
课题：2.3.2等差数列的前n项和（2）
主备人：
执教者：
【学习目标】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；
【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式
【学习难点】灵活应用求和公式解决问题.
【授课类型】新授课
【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
二、新课学习：
探究：——课本P51的探究活动
结论：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
由，得
当时=
=
=2p
对等差数列的前项和公式2：可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
三、 特例示范
【等差数列前项和的最值问题
课本P51的例4 解略
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
利用:
当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值
利用：
由利用二次函数配方法求得最值时n的值
四、当堂练习：
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值。
五、 本节小结：
1．前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的
首项是
公差是d=2p
通项公式是
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。
（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值
六、作业布置:
课时作业3.1.2
个性设计
课后反思：
第2课时 等差数列前n项和的应用
双基达标 ?限时20分钟?
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4等于 ( )．
A．8 B．7 C．6 D．5
解析 Sn是等差数列{an}的前n项和，则S7＝7a4＝35，
∴a4＝5.
答案 D
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 ( )．
A．1 B．－1 C．2 D.
解析 ＝＝＝＝·＝1.
答案 A
3．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为 ( )．
A．5 B．－5 C．－2.5 D．2.5
解析 由题意知S奇＋S偶＝75，又S偶＝25，
∴S奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S偶－S奇＝10d，即25－50＝10d，∴d＝－2.5.
答案 C
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
解析 ∵{an}是等差数列，由S9＝72，得S9＝9a5，a5＝8，
∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24.
答案 24
5．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.
解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，
即a1＋an＝31.
由Sn＝＝＝155，得n＝10.
答案 10
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解 (1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，
∵S12>0，S13<0，
∴即
∴－(2)∵S12>0，S13<0，
∴∴.
∴a6>0，
又由(1)知d<0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负．
∴数列前6项和最大．
综合提高 ?限时25分钟?
7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 ( )．
A. B. C. D.
解析 由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，所以＝＝＝，故选A.
答案 A
8．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 ( )．
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D.
答案 D
9．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．
解析 法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
答案 210
10．在等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝________.
解析 在等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，
∵a5＝3a7，∴a1＋4d＝3(a1＋6d)，
∴a1＝－7d，∴Sn＝n(－7d)＋d＝(n2－15n)，
∴n＝7或8时，Sn取得最大值．
答案 7或8
11．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴
即解得
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
12．(创新拓展)若有穷数列a1，a2，…，an(n是正整数)，满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．
(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝2，b4＝11，试写出{bn}的每一项；
(2)已知{cn}是项数为2k－1(k≥1)的对称数列，且ck，ck＋1，…，c2k－1构成首项为50，公差为－4的等差数列，数列{cn}的前2k－1项和为S2k－1，则当k为何值时，S2k－1取到最大值？最大值为多少？
解 (1)设{bn}的公差为d，则b4＝b1＋3d＝2＋3d＝11，
解得d＝3，
∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2.
(2)S2k－1＝c1＋c2＋…＋ck－1＋ck＋ck＋1＋…＋c2k－1
＝2(ck＋ck＋1＋…＋c2k－1)－ck
＝2(－2k2＋52k)－50
＝－4(k2－26k)－50
＝－4(k－13)2＋4×132－50，
∴当k＝13时，S2k－1取得最大值．S2k－1的最大值为626.
课件27张PPT。
1．掌握等差数列前n项和的性质，并能应用性质解决一些问题．
2．会求等差数列前n项和的最值．
3．会解决有关等差数列求和的综合问题．
1．等差数列前n项和的性质．(重点)
2．等差数列前n项和的最值问题．(难点)
第2课时 等差数列前n项和的应用【课标要求】【核心扫描】等差数列前n项和的性质
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为____.
自学导引1．m2d(4)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
ndan ：如果数列的前n项和公式Sn＝An2＋Bn，其中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数列？
提示：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an①
得Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)②
由①－②得an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∵S1＝a1，
又Sn＝An2＋Bn，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2An－A＋B.
当n＝1时，a1＝S1＝A＋B符合上式，
∴an＝2An－A＋B(n∈N*)
∴数列{an}是等差数列，首项为A＋B，公差为2A.
等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中
2．最大最小最小最大关于等差数列奇数项与偶数项性质的推导
①若项数为2n，则S偶－S奇＝a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－…－a2n－1＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝
名师点睛1．二次函数配方法求等差数列前n项和Sn的最值
2．题型一 等差数列前n项和性质的应用 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
[思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
【例1】故此数列的前110项之和为－110.
法二 数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则
又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
法三 设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；法二是利用等差数列的“片断和”性质，构造出新数列，从而使问题得到解决．
一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.
解 法一 设此数列首项为a1，公差为d，
∵S偶－S奇＝6d，∴d＝5.
【变式1】 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求数列的前多少项和最大？
[思路探索] 可根据题意先求得数列的公差，从而由通项的正负或前n项和公式判断；也可根据前n项和的函数特性求解．
题型二 等差数列前n项和的最值问题【例2】所以数列的前13项和最大．
法二 同法一解得d＝－2.
∴an＝25＋(－2)(n－1)＝－2n＋27.
令an>0，即－2n＋27>0.解得n<13.5，
即数列的前13项均为正数，第13项以后均为负数，
所以数列的前13项和最大．
法三 ∵a1＝25，S9＝S17，∴公差d<0.
∵S9＝S17，即f(9)＝f(17)，
∴当x＝13时，f(x)取得最大值．
∴数列的前13项和最大．
法一是利用二次函数的最值求解，法二是通过数列的通项的特点找出正负项的分界点，法三是利用了前n项和的二次函数特性，由二次函数的对称性求解．
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值．
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一 a1＝9，d＝－2，
【变式2】 ＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴S5最大．
已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn.
审题指导 (1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出an及Sn；(2)由(1)求出bn的通项公式，再根据通项公式的特点选择求和的方法．
[规范解答] (1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有
题型三 裂项相消法求数列的和
【例3】【题后反思】 裂项相消法求和是数列求和的一种常用方法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项)，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相抵消，进而可求出数列的前n项和．常用到的裂项公式有如下形式：
已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝6，S3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
【变式3】 误区警示 分析问题不严密致误
【示例】 解中仅解不等式an＞0是不正确的，事实上应解an≥0，an＋1≤0.
∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0.
∵公差d＜0，a1＞0，
∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．
∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130.
求数列前n项和的最值问题的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0成立的最大n即可．这是因为：当an>0时，Sn>Sn－1，即Sn单调递增；当an<0，Sn