2．4等比数列
班级： 组名： 姓名： 设计人：乔晓丽 审核人：魏帅举 领导审批：
【学习目标】
1.理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一
2.探索并掌握等比数列的通项公式。
【研讨互动 问题生成】
等比数列定义
等比数列通项公式
等比中项
【合作探究 问题解决】
1．公比q是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。
2．当首项等于0时，数列都是0。当公比为0时，数列也都是0。所以首项和公比都不可以是0。
3．当公比q=1时，数列是怎么样的，当公比q大于1，公比q小于1时数列是怎么样的？
4．等比数列和指数函数的关系
5.思考：是否成立呢？成立吗？
成立吗？
6.思考：如果是两个等比数列，那么是等比数列吗？
如果是为什么？是等比数列吗？
7.思考：在等比数列里，如果成立吗？
如果是为什么？
【点睛师例 巩固提高】
例：已知等比数列，，
（1）求通项；
（2）若，数列的前项的和为，且，求的值
【要点归纳 反思总结】
1.等比数列的通项公式
2.等比数列的性质
【多元评价】
自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:
学科长评价: 学术助理评价:
【课后训练】
若等比数列的首项为4，公比为2，则其第3项和第5项的等比中项是______．
在等比数列｛an｝中，
(2)若S3=7a3，则q＝______；
(3)若a1＋a2＋a3＝-3，a1a2a3＝8，则S4=____．
在等比数列｛an｝中，
(1)若a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=____；
(2)若a1＋a2＝324，a3+a4＝36，则a5＋a6＝______；
(3)若q为公比，ak＝m，则ak＋p＝______；
(4)若an＞0，q=2，且a1·a2·a3…a30=230，则a3·a6·a9…a30=_____．
一个数列的前n项和Sn＝8n-3，则它的通项公式an＝____．
5. 已知等比数列中，，，那么它的前5项和=__________。
6. 等比数列的通项公式是，则=__________。
7. 在等比数列中，，则=__________。
8..数列m，m，m，…一定[ ]
A.是等差数列，但不是等比数列 B．是等比数列，但不是等差数列
C．是等差数列，但不一定是等比数列 D．既是等差数列，又是等比数列
9.已知，，，是公比为2的等比数列，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
10.已知是等比数列，且，，那么 的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．25
11.在等比数列中，已知，，则该数列前5项的积为（ ）
A． B．3 C．1 D．
12. 一个三角形的三内角既成等差数列，又成等比数列，则三内角的公差等于（ ）
A． B． C． D．
13.各项均为正的等比数列中，，那么当时，该数列首项的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
14. 若6，，，，54这五个数成等比数列，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
15. 在数列{an}，已知a1=-1，an+an+1+4n+2=0。
(1)若bn=an+2n，求证：{bn}为等比数列，并写出{bn}的通项公式；
(2)求{an}的通项公式’
高二数学（必修5）教·学案
课题：2.4.1等比数列（1）
主备人：
执教者：
【学习目标】掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
【学习重点】等比数列的定义及通项公式
【学习难点】灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
【授课类型】 新授课
【教 具】 多媒体、实物投影仪、电子白板
【学习方法】 诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
复习：等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
④，，，，，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
二、新课学习：
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
1(“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛｝成等比数列=q（,q≠0）
2( 隐含：任一项
“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3( q= 1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
由等比数列的定义，有：
；
；
；
… … … … … … …
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。
当，q >1时，等比数列｛｝是递增数列；
当，，等比数列｛｝是递增数列；
当，时，等比数列｛｝是递减数列；
当，q >1时，等比数列｛｝是递减数列；
当时，等比数列｛｝是摆动数列；当时，等比数列｛｝是常数列。
三、 特例示范：
课本P57例1、例2、P58例3 解略。
四、当堂练习：
课本P59练习1、2
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5, =q=40）
五、 本节小结：
等比数列的概念和等比数列的通项公式．
六、作业布置:
课时作业：2.4.1
个性设计
课后反思：
2.4 等比数列
第1课时 等比数列的概念及通项公式
双基达标 ?限时20分钟?
1．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是 ( )．
A．1 B. C. D.
解析 a4＝a3q＝a3·＝×＝＝30＝1.
答案 A
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于 ( )．
A．64 B．81 C．128 D．243
解析 由，得
∴a7＝a1q6＝64，选A.
答案 A
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )．
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．
∴ac＝b2＝9.
答案 B
4．在等比数列{an}中，若2a4＝a6－a5，则公比q是________．
解析 法一 由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，
∴q＝－1或q＝2.
法二 ∵a5＝a4q，a6＝a4q2，
∴由已知条件得2a4＝a4q2－a4q，
即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.
答案 －1或2
5．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
得a＝5，则a1＝4，q＝＝，an＝4·n－1.
答案 4·n－1
6．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．
(1)求a1及an；
(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
解 (1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，
an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．
a1＝k＋1也满足上式，
所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.
(2)由am，a2m，a4m成等比数列，
得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
将上式化简，得2km(k－1)＝0，
因为m∈N*，所以m≠0，故k＝0或k＝1.
综合提高 ?限时25分钟?
7．下列数列为等比数列的是 ( )．
A．2,22,222，… B.，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，…
解析 A项中，≠，∴A不是；B项是首项为，公比为的等比数列；C项中，当s＝1时，数列为0,0,0，…，∴不是；D项显然不是．
答案 B
8．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则，，( )．
A．是等差数列但不是等比数列
B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
解析 可分别求得＝，＝1，×＝1，由等比中项易得，，三者构成等比数列．
答案 B
9．数列{an}中，a1＝1且an＋1＝3an＋2，则an＝________.
解析 由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，
令an＋1＝bn则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，
∴{bn}是以2为首项，以3为公比的等比数列，
∴bn＝2·3n－1，∴an＝bn－1＝2·3n－1－1.
答案 2·3n－1－1
10．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正确的个数是________个．
解析 ∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
∴数列{f(m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列，
∴f(5,1)＝1·24＝16，∴(2)正确；
当m＝1时，条件①变为f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，
又f(1,1)＝1，
∴数列{f(1，n)}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正确．
∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，
∴{f(5，n)}也成等差数列．
∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，
∴(3)正确，故有3个正确．
答案 3
11．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
证明 ＝
＝＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.
12．(创新拓展)已知数列{an}的前n项之和为Sn，Sn与an满足关系Sn＝2－an(n∈N*)．
(1)求an＋1与an的关系式，并求a1的值；
(2)证明：数列是等比数列，并求{an}的通项公式；
(3)是否存在常数p使数列{an＋1－pan}为等比数列？若存在，请求出常数p的值；若不存在，请说明理由．
(1)解 ∵Sn＝2－an①
∴Sn＋1＝2－an＋1②
②－①得an＋1＝an－an＋1，
即an＋1＝an，
即an＋1＝an.而a1＝2－a1，∴a1＝.
(2)证明 由(1)知＝·，而＝，
∴是以为首项，以为公比的等比数列，
∴＝·n－1＝n，∴an＝.
(3)解 ∵an＋1－pan＝－＝.
由等比数列的通项公式知若{an＋1－pan}是等比数列，
则1－2p＝0，∴p＝.
