课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1）
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
教学重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；
教学难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；
教学方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
二．研讨互动，问题生成
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第82页的“银行信贷资金分配问题”
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
（2）二元一次不等式组
（3）二元一次不等式（组）的解集：
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
例1 画出不等式表示的平面区域。
变式1、画出不等式所表示的平面区域。
变式2、画出不等式所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组的解集。
变式1、画出不等式表示的平面区域。
变式2、由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
自我评价 同伴评价 小组长评价
课题： 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2）
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
教学重点：理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来。
教学难点：把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
教学方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想
二．研讨互动，问题生成
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
判断方法：
三．合作探究，问题解决
1、画出不等式2+y-6＜0表示的平面区域.
2、画出不等式组表示的平面区域。
例1 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
例2、画出下列不等式表示的区域
(1) ； (2)
分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由，得，又用代，不等式仍成立，区域关于轴对称。
例3、利用区域求不等式组的整数解
分
练习
1．（1）； （2）．； （3）．
2．画出不等式组表示的平面区域
4.课时小结
进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。
5.评价设计
1、课本第93页习题3.3[B]组的第1、2题
自我评价 同伴评价 小组长评价
高二数学 教·学案
课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1）
主备人：
执教者：
【学习目标】
1、知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2、过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，培养学生观察以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，使学生体会到观察、联想、猜想、归纳等数学思想方法； 【学习重点】 会求二元一次不等式（组）表示的平面区域；
【学习难点】 准确画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域；
【授课类型】 新授课
【学习方法】 讲练结合法
【学习过程】
一、引入
1、从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
以实际生活中的实例提出问题：
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可以带来30 000元的效益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金？
2、教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识。
二、新课学习
1、建立二元一次不等式模型
（把实际问题 转化 数学问题）
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。
（把文字语言 转化 符号语言）
资金不超过25 000 000元 （1）
预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000 元以上
（2）
资金数额都不能是负值 （3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
2、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
3、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点P是直线x-y=6上的点，选取点A，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第83页的表格，
横坐标x
-3
-2
-1
0
1
2
3
点P的纵坐标
点A的纵坐标
并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
根据此表格，直线x-y=6左上方的点的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
4、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
应用示例
例1 画出不等式表示的平面区域。
解：先画直线（画成虚线）.
取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式所表示的平面区域。
变式2、画出不等式所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
三、课堂练习
教材86页的练习1、2、3
四、小结
1、二元一次不等式表示的平面区域．
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3、二元一次不等式组表示的平面区域．
五、作业
同步学案3.3.1（1）
个性设计
课后反思：
高二数学 教·学案
3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2）
主备人：
执教者：
【学习目标】
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情感态度与价值观：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【学习重点】 从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示.
【学习难点】 从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）.
【授课类型】 新授课
【学习方法】 讲练结合法
【学习过程】
一、复习引入
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、画出二元一次不等式组所表示的平面区域.（师生同练）
二、新课学习
例3 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表表示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、Ｂ、Ｃ三种规格的产品分别１５、１８、２７块，用数学关系式和图形表示上述要求。
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
三、课堂练习
1、设R为平面上以三点为顶点的三角形区域（包括边界及内部），试求在R内运动时，需满足的条件，并画出平面区域。
某厂使用两种零件A，B装配两种产品X，Y. 该厂月生产能力X最多2500个，Y最多1200个. A最多为14000个，B最多为12000个. 组装X需要4个A，2个B，组装Y需要6个A，8个B. 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
3、某工厂用A，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，工厂每天工作不超过8h. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
四、小结
能够从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示.
五、作业
同步学案3.3.1（2）
个性设计
课后反思：
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
双基达标 ?限时20分钟?
1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是 ( )．
A．(0,0) B．(1,1) C．(0,2) D．(2,0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
答案 D
2．已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )．
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析 因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7
答案 B
3.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是 ( )．
A.
B.
C.
D.
解析 观察图象可知，阴影部分在直线y＝－2上方，且不包含直线y＝－2，故可得不等式y>－2.又阴影部分在直线x＝0左边，且包含直线x＝0，故可得不等式x≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)、点(0,3)，故可得直线3x－2y＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.
答案 C
4．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．
解析 如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可
用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC区域(含边界)为
答案
5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
解析 不等式组表示的平面区域如图中
的阴影部分所示，用平行于x轴的直线截该平面区域，若
得到一个三角形，则a的取值范围是5≤a<7.
答案 [5,7)
6．(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)画出不等式(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域．
解 (1)不等式组表示的平面区域如图(1)中阴影部分所示．
(2)不等式(x－y)(x－y－1)≤0等价于不等式组或
而不等式组无解，故(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域如图(2)(阴影部分)．
综合提高 ?限时25分钟?
7．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是 ( )．
解析 原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.
答案 C
8．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是 ( )．
A. B. C. D.
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以
求得点A，B，C的坐标分别为(1,1)，(0,4)，.
由直线y＝kx＋恒过点C，且平面区域被此直线分为
面积相等的两部分，观察图象可知，当直线y＝kx＋与直线
3x＋y＝4的交点D的横坐标为点A的横坐标的一半时，可满足要求．因此xD＝，代入
直线3x＋y＝4，可得yD＝，故点D的坐标为，代入直线y＝kx＋，即＝k×＋
，解得k＝，故选A.
答案 A
9．不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域的面积为________．
解析 原不等式等价于
其表示的平面区域如图中阴影部分．
∴S＝()2＝2.
答案 2
10．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数m的值为________．
解析 由点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝＝4，得m＝7或m＝－3.又点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，当m＝－3时，点P的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m＝7时，点P的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去．综上，m＝－3.
答案 －3
11．求不等式组表示的平面区域的面积．
解 不等式组等价于①或②
分别作出以上两个不等式组所表示的平面区域，可以发现不
等式组①表示一个点A，不等式组②表示的平面区域如图所
示．
因此原不等式组表示的平面区域就是图中阴影部分，
其中点A(0,1)，B(－2,3)，C(－2，－1)，
于是平面区域的面积为×2×|3－(－1)|＝4.
12．(创新拓展)设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0
交于M，N两点，且M，N关于直线x＋y＝0对称，求不等式组表示的平面区域的面积．
解 ∵M，N关于直线x＋y＝0对称，
∴直线y＝kx＋1垂直于直线x＋y＝0，
∴k＝1，
∴圆心在x＋y＝0上，
∴－－＝0，即m＝－1，
∴原不等式组为
作出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，即△ABO.
易得△ABO为等腰直角三角形，且OA＝1，故阴影部分的面积为.
3.3.2 简单的线性规划问题
双基达标 ?限时20分钟?
1．(2010·福建高考)若x，y∈R，且且z＝x＋2y的最小值等于 ( )．
A．2 B．3 C．5 D．9
解析 可行域如图阴影部分所示，则当直线x＋2y
－z＝0经过点M(1,1)时，z＝x＋2y取得最小值，为
1＋2＝3.
答案 B
2．设x，y满足则z＝x＋y ( )．
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
解析 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，
如图中阴影部分所示．由z＝x＋y，得y＝－x＋z，
令z＝0，作直线l：y＝－x.当平移直线l至经过A(2,0)
时，z取得最小值，zmin＝2，由图可知无最大值．故
选B.
答案 B
3．已知点P(x，y)的坐标满足条件，则x2＋y2的最大值为 ( )．
A. B．8 C．16 D．10
解析 画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1,1)，|OA|
＝，B(2,2)，|OB|＝2，C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.
答案 D
4．已知，则z＝3x－y的最大值为________．
解析 画出可行域如图所示，当直线z＝3x－y过点(3,0)时，zmax＝9.
答案 9
5．已知实数x，y满足则的最大值为________．
解析 画出不等式组
对应的平面区域Ω，
＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜
率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤≤2.
答案 2
6．已知f(x)＝3x－y，且－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，求f(x)的取值范围．
解 作出不等式组
表示的平面区域，即可行域，如图中
阴影部分所示．在可行域内平移直线l：3x－y＝0，当直
线l向下平移过B(0，－1)，即直线x－y－1＝0与x＋y
＋1＝0的交点时，f(x)min＝3×0＋1＝1；当直线l向下平
移过A(2，－1)即直线x－y－3＝0与x＋y－1＝0的交点时，f(x)max＝2×3＋1＝7，
∴1≤f(x)≤7.
综合提高 ?限时25分钟?
7．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为 ( )．
A. B.
C．4 D.
解析 由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴a＝.
答案 B
8．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝ ( )．
A．2 B．9 C．3 D．0
解析 由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.故选D.
答案 D
9．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．
解析 由不等式组得可行域是以A(0,0)，B(0,1)，C(－0.5,0.5)为顶点的三角形，易知当x＝0，y＝0时，z′＝x＋2y取最小值0.所以z＝3x＋2y的最小值是1.
答案 1
10．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．
答案 2 300
11．某企业生产A，B两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360 t，并且供电局只能供电200 kW，试问该企业生产A，B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
产品品种
劳动力(个)
煤(t)
电(kW)
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
解 设生产A，B两种产品各为x，y吨，利润为z万元，则
z＝7x＋12y.
作出可行域(如图)，作出在一组平行直线7x＋
12y＝t(t为参数)，此直线经过M(20,24)，故z
的最优解为(20,24)，z的最大值为7×20＋
12×24＝428(万元)．
12．(创新拓展)(2011·三明高二检测)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知
目标函数z＝x＋0.5y，
作出平面区域如图所示：
作直线l0：x＋0.5y＝0，即2x＋y＝0.并作平行于直线l0的一组直线l：z＝x＋0.5y，当l过点M时，z最大．
由得M(4,6)．
此时zmax＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
课件29张PPT。【课标要求】
1．了解二元一次不等式(组)的几何意义．
2．能从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
3．会画二元一次不等式(组)表示的平面区域．
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题【核心扫描】
1．画出或准确判断二元一次不等式(组)所表示的平面区
域．(重点)
2．二元一次不等式(组)表示平面区域的探究过程．(难点)
二元一次不等式(组)的概念
(1)含有_____未知数，并且未知数的次数是_的不等式称为二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
(2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线______________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成_____以表示区域不包括边界．
自学导引1．2．两个Ax＋By＋C＝01虚线不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成_____．
二元一次不等式表示平面区域的确定
(1)把直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都_____．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由____________的符号就可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
实线相同Ax0＋By0＋C3． ：尝试探求A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的同侧或两侧应满足的条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
二元一次不等式表示的平面区域的判定
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，因为把在直线同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同，所以可以取某个特殊点(x0，y0)作为测试点(当C≠0时，常取原点为测试点；当C＝0时，常取(1,0)或(0,1)作为测试点)，这种方法简称为“直线定界、特殊点定域”．
名师点睛1．二元一次不等式组表示平面区域的画法
画平面区域的步骤是：
(1)画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则，画成虚线)；
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“直线定界、特殊点定域”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；常用的特殊点为(0,0)、(±1,0)、(0，±1)．
(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．
2．题型一 二元一次不等式表示的平面区域
画出下面二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－2y＋4≥0；
(2)y>2x.
[思路探索] 先画出不等式对应的直线，再判定表示的区域即可．
解 (1)画出直线x－2y＋4＝0，
∵0－2×0＋4＝4>0，
∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，
因此所求为如图所示的区域，包括边界．
【例1】(2)画出直线y－2x＝0，
∵0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)
的一侧，因此所求为如图所示的区域，不
包括边界．
应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线Ax＋By＋C＝0，取点代入Ax＋By＋C验证．在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算．画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线．
在平面直角坐标系中，画出下列二元一次不等式表示的平面区域：
(1)2x－3y＋6<0；
(2)2x＋3y≥0；
(3)y－2<0.
解 (1)2x－3y＋6<0表示的平面区域如图(1)所示阴影部分
(不包括边界)．
【变式1】 (2)2x＋3y≥0表示的平面区域如图(2)所示阴影部分(包括边界)．
(3)y－2<0表示直线y－2＝0下方的区域，如图(3)所示阴影部分(不包括边界)．
画出下列不等式组所表示的平面区域．
题型二 二元一次不等式组表示的平面区域
【例2】[思路探索] 分别画出每个不等式所表示的平面区域，然后取各平面区域的公共部分．
解
(1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示
直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；
x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线
x＋y－3＝0上及左下方区域；
x≥0表示y轴及其右边区域；
y≥0表示x轴及其上方区域．
综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．
(2)x－y<2，即x－y－2<0，表示直线
x－y－2＝0左上方的区域；
2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线
2x＋y－1＝0上及右上方区域；
x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方区域．
综上可知，不等式组(2)表示的区域如
图所示．
(1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
用平面区域表示下列不等式组．
解 (1)不等式x≥y，即x－y≥0，表示直线y＝x上及其下方的区域．
不等式3x＋4y－12<0，表示直线3x＋4y－12＝0左下方的区域．
【变式2】 (2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋
5＝0上及右下方的点的集合，不等式
x＋y＋1>0表示直线x＋y＋1＝0右上方
的点的集合(不含边界)，不等式x≤3
表示直线x＝3上及左方的点的集合．
所以不等式组表示上述平面区域的公
共部分(如图所示的阴影部分)．审题指导
题型三 不等式组表示平面区域的应用
【例3】【题后反思】 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采用分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解．
【变式3】解 先画直线x－y＋6＝0(画成实线)，不等式x－y＋6≥0表示直线x－y＋6＝0上及右下方的点的集合．
画直线x＋y＝0(画成实线)，不等式x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合．
画直线x＝3(画成实线)，不等式x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．
[错解] 不等式x>0表示直线x＝0(即y轴)右
侧的点的集合(不含边界)．
不等式y>0表示直线y＝0(即x轴)上方的点
的集合(不含边界)．
不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0右
上方的点的集合(不含边界)．
故原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
误区警示 对平面区域的判定不准致误【示例】 画二元一次不等式表示的平面区域时，一定要用特殊点来判定对应区域．解答中，画出直线x＋y－3＝0后，应选一特殊点来验证不等式表示的平面区域应该在直线的哪一侧．
[正解] 不等式x>0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集合(不含边界)．
不等式y>0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含边界)．
不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合(不含
边界)．
所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
在解答二元一次不等式表示平面区域的问题时，要严格按照画平面区域的步骤进行，即利用“直线定界，特殊点定域”的思路进行，这样就不会出现错误．单击此处进入 活页规范训练课件30张PPT。【课标要求】
1．了解线性规划的意义．
2．了解线性规划问题中一些术语的含义．
3．会解决一些简单的线性规划问题．
【核心扫描】
1．求目标函数的最值．(重点、难点)
2．目标函数的最值与其对应直线截距的关系(易错点)．
3.3.2 简单的线性规划问题
线性规划中的基本概念
自学导引不等式(组)线性约束条件可行解线性约束最大值或最小值 ：在线性约束条件下，最优解唯一吗？
提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可行域中的某条边界平行时，求目标函数z＝ax＋by的最值，最优解就可能有无数多个．
解决线性规划问题的一般方法
解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：
(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；
(2)确定线性目标函数；
(3)画出可行域，注意作图准确；
(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．
名师点睛1．说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：
①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.
②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．
③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
线性规划的应用
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何利用它们完成更多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见的问题有：
(1)物资调运问题：(2)产品安排问题；(3)下料问题．
2．题型一 求线性目标函数的最值
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
(2)求函数z＝x＋2y的最大值和最小值．
[思路探索] 画边界，确定可行域，根据目标直线确定最大值、最小值的位置．
【例1】由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，
在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行
线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小．图(1)图(2) 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．
【变式1】[思路探索] 解答本题可先将目标函数变形，找到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值．
题型二 非线性目标函数的最值问题
【例2】解 (1)作出可行域如图所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，
过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，
非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)．点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等．
常见代数式的几何意义主要有：
【变式2】 (2010·广东高考)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含
8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
审题指导
题型三 线性规划的实际应用
【例3】[规范解答] 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足
让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移．
由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值． (10分)
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． (12分)
【题后反思】 用图解法解线性规划应用题的具体步骤为：
(1)设元，并列出相应的约束条件和目标函数；
(2)作图：准确作图，平移找点；
(3)求解：代入求解，准确计算；
(4)检验：根据结果，检验反馈． 某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？
解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
【变式3】 目标函数为z＝3 000x＋2 000y.作出可行域如图所示：
作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，由图可知当l过点M时，目标函数z取得最大值．
∴zmax＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．
答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
数形结合的主要解题策略是：数?形?问题的解决；或：形?数?问题的解决．数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征构造出与之相适应的几何图形，并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的问题转化为数量关系去解决．
已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，且z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．
[思路分析] 如果把－1≤x＋y≤4,2≤x－y≤3看作变量x，y满足的线性约束条件，把z＝2x－3y看作目标函数，问题就转化为一个线性规划问题．
方法技巧 数形结合思想在线性规划中的应用【示例】在可行域内平移直线2x－3y＝0，
当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；
当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8.
所以z∈[3,8]．
答案 [3,8]
方法点评 如果两个变量(或其代数式)具有约束范围，且所求的目标式中含有这两个变量，可以考虑使用线性规划的方法求解，即把数的问题转化为形的问题来解决．实质上，整个线性规划问题的解决都是数形结合思想方法的体现．单击此处进入 活页规范训练