课题： 3.4 基本不等式
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
教学难点：基本不等式等号成立条件
教学方法：通过实例探究抽象基本不等式
二．研讨互动，问题生成
基本不等式的几何背景：
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，
通常我们把上式写作：
2）理解基本不等式的几何意义
三．合作探究，问题解决
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
例1 已知x、y都是正数，求证：
(1)≥2；
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
1.已知a、b、c都是正数，求证
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.
自我评价 同伴评价 小组长评价
课题： 3.4 基本不等式
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
教学重点：基本不等式的应用
教学难点：利用基本不等式求最大值、最小值。
教学方法：探究，讨论
二．研讨互动，问题生成
1．重要不等式：
2.算术平均数、几何平均数?？
成立的条件？
三．合作探究，问题解决
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
练习
1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?最小值是多少?
自我评价 同伴评价 小组长评价
高二数学 教·学案
课题：3.4基本不等式（1）
主备人：
执教者：
【学习目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【学习重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明；
【学习难点】基本不等式等号成立条件
【授课类型】 新授课
【学习方法】 讲练结合
【学习过程】
1.课题导入
基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以，，即
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，
通常我们把上式写作：
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证（2），只要证 a+b- 0 （3）
要证（3），只要证 （ - ） （4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）理解基本不等式的几何意义
探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x、y都是正数，求证：
(1)≥2；
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数 ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
(1)＝2即≥2.
(2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
3.随堂练习
1.已知a、b、c都是正数，求证
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a，b，c都是正数
∴a＋b≥2＞0
b＋c≥2＞0
c＋a≥2＞0
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.
5.作业
同步学案3.4（1）
个性设计
课后反思：
高二数学 教·学案
课题：3.4基本不等式（2）
主备人：
执教者：
【学习目标】
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【学习重点】基本不等式的应用
【学习难点】利用基本不等式求最大值、最小值。
【授课类型】 新授课
【学习方法】 合作探究
【学习过程】
1.课题导入
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a,b是正数，那么
??我们称的算术平均数，称的几何平均数?
成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。
2.讲授新课
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由，
可得 ， 。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜，其面积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤
当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2
解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m。由
，可得
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m
归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
3.随堂练习
1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?最小值是多少?
2．课本第100页的练习1、2、3、4
4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
5.作业
同步学案3.4（2）
个性设计
课后反思：
高二数学 教·学案
课题：3.4基本不等式（3）
主备人：
执教者：
【学习目标】
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【学习重点】掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值
【学习难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。
【授课类型】 新授课
【学习方法】 诱思探究
【学习过程】
1.课题导入
1．基本不等式：如果a,b是正数，那么
2．用基本不等式求最大（小）值的步骤。
2.讲授新课
1）利用基本不等式证明不等式
例1 已知m>0,求证。
[思维切入]因为m>0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得
当且仅当=，即m=2时，取等号。
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。
3.随堂练习1
1、已知a,b,c,d都是正数，求证.
2、求证.
例2 求证:.
[思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.
[证明]
当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.
规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
2)利用不等式求最值
例3 (1) 若x>0,求的最小值;
(2)若x<0,求的最大值.
[思维切入]本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解(1) 因为 x>0 由基本不等式得
,当且仅当即x=时, 取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
,
所以 .
当且仅当即x=-时, 取得最大-12.
规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.
随堂练习2
1、 求(x>5)的最小值.
2、若x>0,y>0,且,求xy的最小值.
4.课时小结
用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。
5.作业
１．证明：
２．若，则为何值时有最小值，最小值为几？
同步学案3.4（3）
个性设计
课后反思：
3.4 基本不等式：≤
双基达标 ?限时20分钟?
1．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是 ( )．
A.≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
解析 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1.
答案 B
2．下列各函数中，最小值为2的是 ( )．
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋，x∈
C．y＝
D．y＝＋
解析 对于A：不能保证x>0，
对于B：不能保证sin x＝，
对于C：不能保证＝，
对于D：y＝＋≥2.
答案 D
3．若0
A. B．a2＋b2
C．2ab D．a
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
∵0∴a2＋b2最大．
答案 B
4．设a>2，则a＋的最小值是________．
解析 ∵a>2，∴a－2>0.
∴a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4.
当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．
答案 4
5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析 ab＝a＋b＋3≥2＋3，∴≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
6．已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求＋的最小值．
解 法一 由已知条件lg x＋lg y＝1可得：x>0，y>0，且xy＝10.
则＋＝≥＝2，
所以min＝2，当且仅当即时等号成立．
法二 由已知条件lg x＋lg y＝1可得：
x>0，y>0，且xy＝10，
＋≥2 ＝2 ＝2(当且仅当即时取等号)．
综合提高 ?限时25分钟?
7．设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为 ( )．
A．8 B．4 C．1 D.
解析 因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1，
＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2
＝4，
当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立，故选B.
答案 B
8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 ( )．
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.
答案 C
9．(2011·潍坊高二检测)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
解析 设两数为x，y，即4x＋9y＝60，
又＋＝＝≥×(13＋12)＝，当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6，y＝4时，等号成立．
答案 6 4
10．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，则＋的最小值为________．
解析 函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0，
2m＋n＝1，m，n>0，
＋＝·(2m＋n)
＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，
当且仅当，即时等号成立．
答案 8
11．求函数y＝的值域．
解 函数的定义域为R，
y＝＝1＋.
(1)当x＝0时，y＝1；
(2)当x>0时，y＝1＋≤1＋＝4.
当且仅当x＝时，即x＝1时，ymax＝4；
(3)当x<0时，y＝1＋
＝1－≥1－＝－2.
当且仅当－x＝－时，即x＝－1时，ymin＝－2.
综上所述：－2≤y≤4，即函数的值域是[－2,4]．
12．(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得
f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)，
f(x)＝50x＋＋3 000
≥2 ＋3 000＝5 000(元)．
当且仅当50x＝，即x＝20时上式取“＝”
因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．
课件30张PPT。【课标要求】
1．理解并掌握基本不等式及变形应用．
2．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．
【核心扫描】
1．利用基本不等式求最值．(重点)
2．利用基本不等式求最值时的变形转化．(难点)3.4 两个不等式
自学导引1．≥≤ ：基本不等式中的a，b可以是任意正值的代数式吗？
基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
2．最小值 ：两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
1．由基本不等式变形得到的常见的结论
名师点睛用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
利用基本不等式应注意的问题
2．3．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的题型一 利用基本不等式证明不等式【例1】 使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立．
【变式1】[思路探索] 利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之．
题型二 利用基本不等式求最值
【例2】 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．【变式2】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天的支付的总费用最少？
审题指导
[规范解答] 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．
由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)． (3分)
设平均每天所支付的总费用为y1元，
题型三 利用基本不等式解应用题
【例3】【题后反思】 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案． 某校要建一个面积为392 m2的长
方形游泳池，并且在四周要修建出宽为
2 m和4 m的小路(如图所示)．问游泳池
的长和宽分别为多少米时，占地面积最
小？并求出占地面积的最小值．
【变式3】 误区警示 忽视等号成立的一致性致误【示例】 在连续应用基本不等式时，要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求最值．
运用基本不等式时，“一正、二定、三相等”缺一不可，但有些题中由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围，而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等式，这时应进一步转化，使其转化成能用基本不等式求解或用其他方法求解．单击此处进入 活页规范训练