第三章 不等式
3.1不等式与不等关系
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
批 注
教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式。
教学用具：投影仪
教学方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
二．研讨互动，问题生成
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
三．合作探究，问题解决
1、不等式的基本性质证明：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）；
（2）；
（3）。
例1、已知求证 ： 。
练习
1、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
练习2
比较大小：
（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2
（2）
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P75习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
自我评价 同伴评价 小组长评价
高二数学 教·学案
课题：3.1不等式与不等关系（2）
主备人：
执教者：
【学习目标】
1．知识与技能：了解不等式一些基本性质并可以进行简单应用。
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情感、态度与价值观：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【学习重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【学习难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【授课类型】 新授课
【学习方法】 讲练结合法
【学习过程】
一、引入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
二、新课学习
1、不等式的基本性质：
同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c
2），
∴．
实际上，我们还有.
证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，
∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）；
（2）；
（3）。
证明：
1） ∵a＞b，
∴a＋c＞b＋c． ①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋d． ②
由①、②得 a＋c＞b＋d．
2）
3）反证法）假设，
则：若这都与矛盾，
∴．
应用示例
例1、已知求证
。
证明：因为，所以ab>0,。
于是 ，即
由c<0 ，得
课堂练习
1、课本P74的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2
比较大小：
（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2
（2）
五、小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
六、作业布置:
同步学案3.1（2）
个性设计
课后反思：
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
双基达标 ?限时20分钟?
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 “不低于”即≥，“高于”即>，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
答案 D
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是 ( )．
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
解析 由a＋b>0知a>－b，
∴－a
又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.
答案 C
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
解析 ∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>xa>a2.
答案 B
4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
答案 [－1,6]
5．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
∴f(x)>g(x)．
答案 f(x)>g(x)
6．已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
解 ∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤.
上面两式相加得：－<<.
∵－<≤，∴－≤－<，
∴－≤<.
又知α<β，∴α－β<0，
故－≤<0.
综合提高 ?限时25分钟?
7．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是 ( )．
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
解析 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.
答案 A
8．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则 ( )．
A．aC．b解析 ∵令t＝ln x，则－1∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.
答案 C
9．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.
解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．
答案 >
10．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
解析 A＝，B＝.
∵＋<＋，并且都为正数，∴A>B.
答案 A>B
11．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明 ∵＋－a－b
＝(a－b)＝，
∵(a－b)2≥0恒成立，且a>0，b>0，
∴a＋b>0，ab>0.
∴≥0.
∴＋≥a＋b.
12．(创新拓展)已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5.求f(3)的取值范围．
解 由得
∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．
∵－1≤f(2)≤5，
∴－≤f(2)≤.
∵－4≤f(1)≤－1，
∴×(－1)≤－f(1)≤×(－4)．
∴－＋≤f(2)－f(1)≤＋，
即－1≤f(3)≤20.
即f(3)的取值范围是[－1,20]．
课件22张PPT。【课标要求】
1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
2．掌握不等式的有关性质．
3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．
【核心扫描】
1．用不等式(组)表示出不等关系．(难点)
2．不等式性质的理解与应用．(重点)
3.1 不等关系与不等式比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a__b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a__b，反之也成立．
(2)符号表示
a－b>0?a__b；a－b＝0?a___b；
a－b<0?a__b.
自学导引1．><＝><常用的不等式的基本性质
(1)对称性：a>b?b__a；
(2)传递性：a>b，b>c?a__c；
(3)可加性：a>b?a＋c__b＋c；
(4)可乘性：a>b，c>0?ac__bc；a>b，c<0?ac__bc；
(5)加法法则：a>b，c>d?a＋c__b＋d；
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0?ac__bd；
(7)乘方法则：a>b>0，n∈N，n≥2?an__bn；
2．<>>><>>>> ：尝试证明性质(8)．
两个实数比较大小关系
在数学问题中经常要遇到比较大小问题，其方法有两个，一是作差比较法；二是作商比较法．
特别提醒：(1)作差比较法是比较大小的主要方法，它是将两个数(或式子)作差，并由“差”与0的大小关系，即“差”的正负号，从而比较出两个数的大小关系．
(2)作商比较法的前提条件是两个正数的大小比较，特别适合一些指数幂式子的大小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并由“商”与1的大小关系得到两个数的大小．
名师点睛1．不等式性质的理解
(1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．
(2)性质4中①当c>0时，得同向不等式．②当c<0时，得异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc.
(3)性质5是同向不等式相加得同向不等式，但并无相减式．
(4)性质6是均为正数的同向不等式相乘得同向不等式，并无相除式．
(5)性质7、8成立的条件：n是大于1的整数，a>b>0，这个条件不能忽略，当n取正整数时，可放宽条件，命题仍成立，2．题型一 用不等式(组)表示不等关系 配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配一剂
A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料
4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y应满足的不等关系式．
[思路探索] 根据甲、乙两种原料的限额列不等式．
【例1】 用不等式表示实际问题中的不等关系时，应首先读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式解决实际问题的最基本的一步． 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？
∴销售总收入为[8－(2x－5)]·x＝(13－2x)·x(万元)，
则销售总收入不低于20万元，用不等式表示为：(13－2x)·x≥20.
【变式1】 已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[思路探索] 先作差，然后因式分解变形．
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
题型二 比较大小
【例2】 作差法比较两个实数的大小，关键是作差后的变形．一般变形越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的方法有：因式分解、配方、通分、对数与指数的运算性质、分母或分子有理化等．另外还要注意分类讨论．
已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
解 ∵(a4＋b4)－(a3b＋ab3)＝a3(a－b)＋b3(b－a)
＝(a－b)(a3－b3)
＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)
【变式2】 已知a，b，c为实数，判断以下各命题的真假．
(1)若a>b，则ac(2)若ac2>bc2，则a>b；
(3)若aab>b2；
审题指导 判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意条件和结论之间的联系．
题型三 不等式性质的应用【例3】[规范解答] (1)c是正、负或为零未知，因而缺少判断ac与bc的大小依据，故该命题为假命题． (2分)
(2)由ac2>bc2知c≠0，∴c2>0，∴a>b，故该命题为真命题 (4分)
(5)由已知条件知a>b?a－b>0，
∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0.
又a>b，∴a>0，b<0，故该命题为真命题． (12分)
【题后反思】 利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题时要灵活、准确地加以应用．
【变式3】 判断下列各命题是否正确，并说明理由．
设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．
误区警示 运用不等式性质不当致错【示例】 在求解某些有关联的未知数的范围时，因多次使用不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)导致所给变量的范围改变，从而出现错误．
[正解] 法一 (待定系数法)设f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．
因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6.
又因为2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.
即5≤f(－2)≤10.
所以f(－2)＝4a－2b＝2(s＋t)－(t－s)＝3s＋t，
而1≤s＝a－b≤2,2≤t＝a＋b≤4，
所以5≤ f(－2)≤10.
要求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，利用性质时，必须步步有据，避免改变代数式的取值范围．单击此处进入 活页规范训练