课题：3.2一元二次不等式及其解法 (1)
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
教学方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
二．研讨互动，问题生成
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
互联网的收费问题一元二次不等式模型：
1）一元二次不等式的定义
象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
2）探究一元二次不等式的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
二次函数有两个零点：
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即；
当0
所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。
3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
?一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
三．合作探究，问题解决
例1 求不等式的解集.
例2 解不等式.
课时小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根<，
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ.<0时，方程无解，
③ 写出解集.
5.评价设计
课本第80页习题3.2[A]组第1题
自我评价 同伴评价 小组长评价
：
课题：3.2一元二次不等式及其解法(2)
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法
教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
教学方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
二．研讨互动，问题生成
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格
三．合作探究，问题解决
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
例2、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
改：设对于一切都成立，求的范围.
改：若方程有两个实根，且，，求的范围.
1、已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
2、若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
改1：解集非空
改2：解集为一切实数
自我评价 同伴评价 小组长评价
【学习过程】
引入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：（互联网的收费问题）
上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（ISP）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。
某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择。公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B的收费原则如下图所示，即在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）。
一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨设一次上网时间总小于17小时。那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于或等于选择公司B所需费用？
分析问题：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x（元），公司B收取的费用为（元），如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少，则，整理得：一元二次不等式模型： ………… ①
二、新课学习
1、一元二次不等式的定义
象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2、探究一元二次不等式的解集
怎样求不等式的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：，二次函数有两个零点：。
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x < 0，或x > 5时，函数图象位于x轴上方，此时，y > 0，即；
当0 < x < 5时，函数图象位于x轴下方，此时，y < 0，即；
所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。
（3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：> 0（a > 0）或< 0（a > 0），怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
（1）抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程= 0的根的情况；
（2）抛物线的开口方向，也就是a的符号。
总结讨论结果：
（1）抛物线?（a > 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 = 0的判别式三种取值情况(Δ > 0，Δ = 0，Δ < 0）来确定，因此，要分三种情况讨论；
（2）a < 0可以转化为a > 0。
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
应用示例
例1、求不等式的解集。
解：因为，所以，原不等式的解集是。
例2、解不等式。
解：整理，得，因为无实数解，所以不等式的解集是，从而，原不等式的解集是。
小结：解一元二次不等式的步骤：（数轴标根法）
（1）化简：将不等式化成标准形式（右边为0）；
（2）化正：将最高次的系数化为正（如1）；
（3）求根：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；
（4）标根：将两根在数轴上依次标出；
（5）结论：记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。
六、知识拓展
下面用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来：
（见教材第86页）
具有一般形式对应的一元二次方程的求根程序：
input “a,b,c=”;a,b,c
d=b*b-4*a*c
p=-b/(2*a)
q=sqr(abs(d))/(2*a)
if d<0 then
print “the result is R”
else
x1=p-q
x2=p+q
if x1=x2 then
print “the result is {x/x<> “;p,”}”
else
print “the result is {x/x> “;x2, “or x<”;x1,”}”
endif
endif
end
七、课堂练习 教材80页练习1，2.
八、小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A => 0（或<0）（a > 0）
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根<，
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ.<0时，方程无解，
③ 写出解集。
六、作业布置:
同步学案3.2（1）
个性设计
高二数学 教·学案
课题：3.2一元二次不等式及其解法（2）
主备人：
执教者：
【学习目标】
1．知识与技能：理解一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，继续探究一元二次不等式解法的步骤和过程。
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情感、态度与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想 【学习重点】 熟练掌握一元二次不等式的解法
【学习难点】 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【授课类型】 新授课
【学习方法】 讲练结合法
【学习过程】
一、引入
1.复习:一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间有什么关系？
2．归纳解一元二次不等式的步骤：
（1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．
二、新课学习
[范例讲解]
例1、用一根长为的绳子能围成一个面积大于的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？
解：设矩形一边的长为，则另一边的长为，．由题意，得，即．解得．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于的矩形．
用表示矩形的面积，则
．
当时，取得最大值，此时．即当矩形的长、宽都为时，所围成的矩形的面积最大．
例2、某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到
移项整理得：
显然 ，方程有两个实数根，即
。所以不等式的解集为
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
例3、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
移项整理，得
因为，所以方程有两个实数根
由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。
三、课堂练习
同步学案（选）
四、小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
五、作业
同步学案3.2（2）
个性设计
课后反思：
高二数学 教·学案
课题：3.1不等式与不等关系（3）
主备人：
执教者：
【学习目标】
通过进一步探究一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，研究含有参数的一元二次不等式的解法，提高分析问题和解决问题的能力。
【学习重点】
含参数的一元二次不等式的解法
【学习难点】
含参数的一元二次不等式的解法
【授课类型】 新授课
【学习方法】 讲练结合法
【学习过程】
一、引入
复习:一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间有什么关系？
二、新课学习
例1.已知关于的不等式的解集是，求实数之值．
解：不等式的解集是
是的两个实数根，
由韦达定理知：．
例2．已知不等式的解集为求不等式的解集．
解：由题意 ， 即．
代入不等式得： ．
即，所求不等式的解集为．
例3．已知一元二次不等式的解集为，求的取值范围．
解：为二次函数，
二次函数的值恒大于零，即的解集为．
， 即，解得：
的取值范围为（适合）．
拓展：1．已知二次函数的值恒大于零，求的取值范围．
2．已知一元二次不等式的解集为,求的取值范围．
3．若不等式的解集为,求的取值范围．
归纳：一元二次不等式恒成立情况小结：
（）恒成立．
（）恒成立．
例4．若函数中自变量的取值范围是一切实数，求的取值范围．
解：中自变量的取值范围是，恒成立．
故的取值范围是．
拓展：若将函数改为，如何求的取值范围？
例5．若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围．
解：已知不等式可化为．
设，这是一个关于的一次函数（或常数函数），从图象上看，要使在时恒成立，其等价条件是：
即 解得．
所以，实数的取值范围是．
课堂练习
1、求不等式的解集:
2、．
3、已知：，
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围；
(3)若为一元集，求的取值范围；
解3：由题意 ，
（1），；
（2），；
（3）只有一个元素，
4、关于的不等式对一切实数恒不成立，求的取值范围．
四、小结
1．从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；
2．一元二次不等式恒成立的问题．
五、作业
同步学案3.2（3）
个性设计
课后反思：
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式的解法
双基达标 ?限时20分钟?
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是 ( )．
A．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2C．{x|－2≤x≤1} D．?
解析 －x2－x＋2≥0?x2＋x－2≤0?(x＋2)(x－1)≤0?－2≤x≤1.
答案 C
2．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝ ( )．
A．{x|－7C．{x|－5解析 ∵S＝{x|－5∴S∩T＝{x|－5答案 C
3．若0A. B.
C. D.
解析 ∵01，∴t<.
∴(x－t)<0?t答案 D
4．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7}，则A∩Z中有________个元素．
解析 (x－1)2<3x＋7?x2－5x－6<0?－1∴A＝{x|－1∴A∩Z中有6个元素．
答案 6
5．下列不等式中：
①－x2＋x－1<0；②4x2＋4x＋1≥0；③x2－5x＋6>0；④(a2＋1)x2＋ax－1>0.
其中解集是R的是________(把正确的序号全填上)．
解析 ①?x2－x＋1>0，Δ＝1－4<0，
∴①的解集为R；
②?(2x＋1)2≥0?x∈R；
③Δ＝25－4×6＝1>0.
∴③的解集不是R.
④Δ＝a2－4(a2＋1)×(－1)＝5a2＋4>0，
∴④的解集不是R，故填①②.
答案 ①②
6．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3>0.
解 (1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，
∴(2x＋1)(x－2)<0.
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
∴(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
故原不等式的解集是R.
综合提高 ?限时25分钟?
7．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为 ( )．
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1解析 由题意知，－＝1，＝－2，
∴b＝－a，c＝－2a，
又∵a<0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.
答案 D
8．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A．1 B．2 C．3 D．4
解析 由题可知－7和－1为ax2＋8ax＋21＝0的两个根，且a>0.∴－7×(－1)＝，a＝3.
答案 C
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
解析 将点(0，－6)，(1，－6)，(2，－4)代入y＝ax2＋bx＋c得：
?
不等式化为x2－x－6>0，即(x－3)(x＋2)>0.
故不等式的解集为{x|x<－2或x>3}．
答案 {x|x<－2或x>3}
10．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．
解析 由已知k2－6k＋8≥0?(k－2)(k－4)≥0?k≤2或k≥4.
又k≠0，∴k<0或0答案 (－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
11．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
解 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以
(1)当a<－1时，原不等式解集为{x|a(2)当a＝－1时，原不等式解集为?；
(3)当a>－1时，原不等式解集为{x|－112．(创新拓展)解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0.
解 ∵Δ＝4a2－8，∴当Δ<0，即－当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根．
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}，
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当Δ>0，即a＞或a＜－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝
a－，x2＝a＋，且x1第2课时 一元二次不等式的应用
双基达标 ?限时20分钟?
1．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于 ( )．
A．M∩N B．M∪N
C．?R(M∩N) D．?R(M∪N)
解析 <0?(x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－3答案 D
2．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0( )．
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析 y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
∴x2＋50x－30 000≥0，x≥150.
答案 C
3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的值的集合是 ( )．
A．{a|0C．{a|0解析 若a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0答案 D
4．不等式>0的解集是________．
解析 原不等式可化为(2－x)(4＋x)>0，
即(x－2)(x＋4)<0，解得－4答案 {x|－45．关于x的不等式ax2－2ax＋2a＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围为________．
解析 当a≠0时，由题意得，
即，
解得a>0.
当a＝0时，恒有3>0，不等式也成立．
故a的取值范围是[0，＋∞)．
答案 [0，＋∞)
6．解不等式
(1)≥0；
(2)>1.
解 (1)原不等式等价于，
解得x≤1或x>2，
∴原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}．
(2)原不等式可改写为＋1<0，即<0，
∴(6x－4)(4x－3)<0，∴∴原不等式的解集为.
综合提高 ?限时25分钟?
7．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为 ( )．
A．1 B．－1 C．－3 D．3
解析 由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，
又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
答案 C
8．(2011·泰安高二检测)在R上定义运算：AB＝A(1－B)，若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立．则实数a的取值范围为 ( )．
A．－1C．－解析 (x－a)(x＋a)
＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，
∴－x2＋x＋a2－a<1，即x2－x－a2＋a＋1>0对x∈R恒成立．
∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，
∴(2a－3)(2a＋1)<0，即－答案 C
9．(2011·济南高二检测)不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵x2－2x－(a2－2a－4)≤0的解集为?，
∴Δ＝4＋4(a2－2a－4)<0，
∴a2－2a－3<0，∴－1答案 (－1,3)
10．关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的两根满足(x1－1)(x2－1)<0，则a的取值范围是________．
解析 (x1－1)(x2－1)<0?一根大于1，一根小于1.
令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，
则f(1)<0?－2答案 －211．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k应怎样确定？
解 设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.
因此，当2≤k≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．
12．(创新拓展)已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
解 (1)不等式化为：(x－1)p＋x2－2x＋1>0，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图象是一条直线．又因为|p|≤2，
所以－2≤p≤2，于是得：
即
即∴x>3或x<－1.
故x的取值范围是x>3或x<－1.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
所以p>(1－x)max.
而2≤x≤4，所以(1－x)max＝－1，
于是p>－1.故p的取值范围是p>－1.
课件22张PPT。【课标要求】
1．了解一元二次不等式的概念．
2．理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．
3．对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图．
【核心扫描】
1．一元二次不等式的解法和三个“二次”关系的理解．(重点)
2．含参数的一元二次不等式的解法．(难点)
3．体会数形结合思想，转化思想在不等式中的应用．第1课时 一元二次不等式的解法3.2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式．
二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
自学导引1．2．2没有实数根{x|xx2} ：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)具备哪些条件时，解集为R或?？
提示：当a>0，Δ<0时，解集为R.当a<0，Δ≤0时，解集为?.
解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m名师点睛1．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根
(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，
x1＝x2，x12． 题型一 一元二次不等式的解法 求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6.
[思路探索] 先将二次项系数化为正，再求对应方程的根．并根据情况结合二次函数图象，写出解集．
解 (1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.
∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.
∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
【例1】(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.
∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．
解下列不等式
(1)2x2－x＋6>0；
(3)(5－x)(x＋1)≥0.
解 (1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，
∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．
∴原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝62－40＝－4<0，
∴原不等式的解集为?.
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
【变式1】 解关于x的不等式(a∈R)：
(1)2x2＋ax＋2>0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.
[思路探索] (1)对相应方程的判别式进行讨论，按照一元二次不等式的解法求解；
(2)先对不等式中二次项的参数讨论，再按照不等式的求法求解．
解 (1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
题型二 解含参数的一元二次不等式【例2】 含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集．(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．
解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
解 (i)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．
【变式2】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
审题指导 可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，故由根与系数的关系可求出a，b的值，从而得解．
题型三 三个“二次”间对应关系的应用
【例3】【题后反思】 求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．因此一元二次不等式解集的区间端点，就是其对应的函数的零点，也就是其对应的方程的根．
已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1解 法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
【变式3】 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围． 误区警示 忽略二次项系数为零而出错【示例】 当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．
[正解] 当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时成立．
当a－2≠0时，由题意得
即解得－2综上所述可知：－2 二次项系数含参数时，要严格分系数为正，系数为0，系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，只要题目没有明确说明不等式是一元二次不等式，就必须讨论这种情况．单击此处进入 活页规范训练课件25张PPT。【课标要求】
1．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．
2．会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解．
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解
决．
【核心扫描】
1．有关不等式恒成立求参数的值或范围问题和分式不等式的
解法．(重点)
2．对实际应用问题如何建立正确的数学模型并加以解决．
(难点)
第2课时 一元二次不等式的应用1．简单的分式不等式的解法
自学导引(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k≥f(x)(k>f(x))恒成立?k≥f(x)max(k>f(x)max)；k≤f(x)(k2． ：不等式x2＋x＋k>0恒成立时，试求k的取值范围．
一元二次不等式恒成立问题关于将分式不等式转化为一元二次不等式的理解
将分式不等式转化为一元二次不等式，实际上是经过同解变形，化为与之等价的整式不等式求解，其理论根据是
注意：若分式不等式中含有“＝”号，则在进行转化时可要注意分母不能等于0这个隐含条件．
名师点睛1．一元二次不等式的实际应用
(1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环．
(2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题．
(3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识、数学方法分析和解决实际问题的能力，考查数学建模、解不等式等数学内容．2．题型一 分式不等式的解法
解下列不等式：
[思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．
【例1】【变式1】 解下列不等式． (2011·抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[思路探索] 解答本题的关键是根据题目条件，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题来处理．
题型二 不等式的恒成立问题【例2】 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：
①考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参量的不等式；
②若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求解． 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?
【变式2】 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？
题型三 一元二次不等式的简单应用
【例3】审题指导
[规范解答] 由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0， (2分)
解得x>30，或x<－40(不符合实际意义，舍去)， (4分)
这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. (6分)
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，(8分)
解得x>40，或x<－50(不符合实际意义，舍去)， (10分)
这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速． (12分)
【题后反思】 解不等式应用题的步骤
(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；
(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；
(3)求解不等式；
(4)还原为实际问题．
国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为
8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
解 “税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%；
“收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(1＋2x%)t，总收购款为2 400m(1＋2x%)元；
“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入≥2 400m×8%×78%.
设税率调低后的“税收总收入”为y元，
【变式3】 所以y≥2 400m×8%×78%，
即－44≤x≤2.
又0所以x的取值范围是0 运用转化与化归思想可以把分式不等式化成整式不等式(组)，把高次化成低次，把超越不等式化为代数不等式，把恒成立问题转化为求最值问题等．在转化过程中要注意问题的等价性．
当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则m的取值范围是________．
[思路分析] 记f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，只要f(x)max≤0即可，问题转化为求二次函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]的最值问题．
解析 构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．
由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
方法技巧 转化与化归思想在不等式中的应用【示例】答案 (－∞，－5]
方法点评 熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能、基本方法是转化的基础；丰富的联想、认真仔细的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．单击此处进入 活页规范训练 