高二数学 教·学案
课题：1.1.3 正弦定理和余弦定理
主备人：
执教者：
【学习目标】
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2.通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
【学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用
【授课类型】新授课
【教 具】课件、电子白板
【学习方法】
【学习过程】
引入：
思考：在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
二、特例示范：
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即，
∴。
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，
从而
当堂练习：
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
本节小结：
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用
六、作业布置:学案1.1.3
个性设计
课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，
从而
Ⅲ.课堂练习
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
●板书设计
●授后记
必修五 第一章
§5-3三角形的综合应用--面积问题
【课前预习】阅读教材P-完成下面填空
三角形面积公式：
(1) =
= =
(2) (海伦公式)
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1.若 x，x+1，x+2是钝角三角形的三边，则实数 x的取值范围是( ).
（A） 0
（C） 32.在中，已知a、b和锐角A，要使三角形有两解，则应满足的条件是（ ）
A a=bsinA B bsinA>a
C bsinA3．在△ABC中，若则一定大于，对吗？填_________（对或错）
4．在锐角△ABC中，若，则边长的取值范围是_________。
5、在△ABC中，已知b=1，c=3，A=600，
则S△ABC= 。
6．在△ABC中，若，则其面积等于（ ）
A． B． C． D．
【课中35分钟】边听边练边落实
7、在中，，面积，求a。
8.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，求b。
9.在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的面积，求的长
10.在△ABC中，a、b是方程x2－2x+2=0的两根，且2cos(A+B)=－1.
(1)求角C的度数；
(2)求c;
(3)求△ABC的面积.
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
4.
【课后15分钟】 自主落实，未懂则问
1．若在△ABC中，则=_______。
2、在△ABC中，BC=2，AC=2，C=1500，则△ABC的面积为
3.，在△ABC中，，, 求。
4.中，，求的面积.
( 提示：在中，作，设CD=x,则BD=BC-CD=5-x,)
互助小组长签名：
