高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《1.2.1 正、余弦定理在实际问题中应用》(课件+教案+导学案+训练评估)(打包4份)

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名称 高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《1.2.1 正、余弦定理在实际问题中应用》(课件+教案+导学案+训练评估)(打包4份)
格式 zip
文件大小 1.7MB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2013-03-31 17:42:40

文档简介


1.2.1 应用举例
班级: 组名: 姓名: 设计人:连秀明 审核人:魏帅举 领导审批:
【学习目标】
会熟练地应用正、余弦定理解任意三角形,能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。(重点,难点)
了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的一些应用,体会正,余弦定理在平面几何中的计算和推理中的工具作用。
【研讨互动 问题生成】
测量中的有关概念、名词和术语
(1)基线:
(2)仰角与俯角:
(3)方位角与方向角:
(4)视角:
(5)坡角与坡度:
2.《1》三角形的几个面积公式
(1)S= ah(h表示a边上的高)
(2)S=ab =bc =ac
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径)
(4)S= (其中)
【合作探究 问题解决】
1.如图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,BAC=,ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).

练习:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测得BCA=60,ACD=30,CDB=45,BDA =60.
【点睛师例 巩固提高】
1.隔河可以看到两个目标,但不能到达,在岸边选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°. A、B、C、D在同一个平面,求两目标A、B间的距离.

2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30,灯塔B在观察站C南偏东60,则A、B之间的距离为多少?
【要点归纳 反思总结】
解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解
【多元评价】
自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:
学科长评价: 学术助理评价:
【课后训练】
1.如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54,在塔底C处测得A处的俯角=50. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
2.某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标,测得目标A在南偏西57°,俯角是60°,测得目标B在南偏东78°,俯角是45°,试求山高.
3.为测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30,测得塔基B的俯角为45,则塔AB的高度为多少m?
4.在平地上有A、B两点,A在山的正东,B在山的东南,且在A的南25°西300米的地方,在A侧山顶的仰角是30°,求山高.

高二数学 教·学案
课题:1.2.1 应用举例(距离)
主备人:
执教者:
【学习目标】
1会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法
2理解各种应用问题中的有关名词、术语,如:坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等
3.掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用
【学习重点】1实际问题向数学问题的转化;2解斜三角形的方法?
【学习难点】实际问题向数学问题转化思路的确定
【授课类型】新授课
【教 具】多媒体课件、电子白板
【学习方法】
【学习过程】
一、引入:
1.正弦定理:
2.余弦定理:

3.解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面,我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用
二、新课学习:
解斜三角形中的有关名词、术语:
(1)坡度:斜面与地平面所成的角度。
(2)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角。
(3)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。
(4)方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角。
(5)视角:由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角
三、特例示范:
例1课本12页例1
例2课本12页例2
例3 自动卸货汽车的车箱采用液压结构,设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°,油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6°20′,AC长为1.40m,计算BC的长(保留三个有效数字)
(油泵顶杆BC约长1.89 m)
例4某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9海里/h的速度向某小岛B靠拢,我海军舰艇立即以21海里/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间
(舰艇方位角为66°47′,小时即40分钟?)
例5.课本17页例6
例6课本15页例3
例7.课本15页例4
例8课本16页例5
例9 据气象台预报,距S岛300 km的A处有一台风中心形成,并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动,在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响?
问:S岛是否受其影响??
若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由
例4:海中有一小岛B,周围3.8海里有暗礁,军舰由西向东航行到A,望见岛在北75°东,航行8海里到C,望见岛B在北6O°东,若此舰不改变航向继续前进,有无触礁危险??
四、当堂练习:
1直线AB外有一点C,∠ABC=6O°,AB=2OO km,汽车以8O km/h速度由A向B行驶,同时摩托车以5O公里的时速由B向C行驶,问运动开始几小时后,两车的距离最小?
(答案:约13小时?)
2.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处,随后货轮按北偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,求货轮的速度
五、本节小结:
通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力
作业布置:
课时作业1.2.1、1.2.2、1.2.3、1.2.4
个性设计
1.2 应用举例 
第1课时 正、余弦定理在实际问题中
的应用
双基达标 ?限时20分钟?
1.某人先向正东方向走了x km,然后他向右转150°,向新的方向走了3 km,结果他离出发点恰好为 km,那么x的值为 (  ).
A. B.2 C.2或 D.3
解析 根据余弦定理可得,()2=x2+32-2×3xcos(180°-150°),即x2-3x+6=0,∴x=2或.
答案 C
2.从200 m高的山顶看,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为(  ).
A. m B. m C. m D. m
解析 由山顶与塔底的俯角为60°可知,山脚与塔底的水平距离为,又山顶看塔顶的俯角为30°,设塔高为x m,则200-x=×,∴x= m.故选A.
答案 A
3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔在这次测量中的高度是 (  ).
A.100 m B.400 m C.200 m D.500 m
解析 由题意画出示意图,
设高AB=h,在Rt△ABC中,由已知BC=h,在Rt△ABD
中,由已知BD=h,在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2
+CD2-2BC·CD·cos∠BCD得,3h2=h2+5002+h·500,解
之得h=500 m.故选D.
答案 D
4.如图,A、B两点间的距离为________.
解析 ∵AB2=32+32-2×3×3cos 45°=32×(2-),
∴AB=3.
答案 3
5. 如图所示,为了测量河的宽度,在一侧岸边选定两点A,B,在另一侧岸边选定点C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为________.
解析 设河宽h m,则+=120,
又∵tan 75°=,
∴h+h=120,∴h=60 m.
答案 60 m
6.一商船行至索马里海域时,遭到海盗的追击,随即发出求救信号.正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后,即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处,并沿方位角为105°的方向,以9海里/时的速度航行.“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救.求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程.
解 如图所示,若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船,
则A,B,C构成一个三角形,
设所需时间为t小时,则AB=21t海里,BC=9t海里.
又已知AC=10海里,依题意知,∠ACB=120°,
根据余弦定理,AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos∠ACB.
∴(21t)2=102+(9t)2-2×10×9tcos 120°,
∴(21t)2=100+81t2+90t,即360t2-90t-100=0.
∴t=或t=-(舍).
∴AB=21×=14(海里).
即“黄山”舰需要用小时靠近商船,共航行14海里.
综合提高 (限时25分钟)
7.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为 (  ).
A.a km B.a km C.a km D.2a km
解析 在△ABC中,AB=BC=a km,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,
∴AB=
= =a (km).
答案 B
8.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长 (  ).
A.5 m B.10 m
C.10 m D.10 m
解析 如图,设将坡底加长到B′时,倾斜角为30°.
依题意,∠B′=30°,∠BAB′=75°-30°=45°,AB=10 m,
在△ABB′中,根据正弦定理,得
BB′===10 (m),
即当坡底伸长10 m时,斜坡的倾斜角将变为30°.
答案 C
9.已知A,B两岛相距10 n mile,从A岛看B,C两岛的视角为60°,从B岛看A,C两岛的视角是75°,则B,C两岛的距离为________ n mile.
解析 A,B,C为△ABC的顶点,且A=60°,B=75°,
∴C=180°-(A+B)=180°-(60°+75°)=45°.
根据正弦定理得,
BC===5 (n mile).
答案 5
10.某海岛周围38海里有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30海里后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船________触礁的危险(填“有”或“无”).
解析 由题意在三角形ABC中,AB=30,∠BAC=30°,
∠ABC=135°,∴∠ACB=15°,由正弦定理BC=·
sin∠BAC=·
sin 30°==15(+).
在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)>38.
答案 无
11.如图,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪渔群自西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°,航行12海里后到达D处,又测得小岛在北偏东35°,如果渔船不改变航向继续前进,有无触礁的危险?
解 在△ABD中,∠ABD=30°,∠ADB=125°,
则∠BAD=25°,又BD=12,由正弦定理得AD===14.197.在Rt△ACD中,AC=ADsin 55°=11.62海里.
∵11.62>8,∴渔船继续向东航行,无触礁危险.
12.(创新拓展)如图所示,甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距10海里,求乙船每小时航行多少海里.
解 如图,连接A1B2,
∵A2B2=10.
又A1A2=30×=10,
∴A1A2=A2B2,
又∠A1A2B2=180°-120°=60°,
∴△A1A2B2是等边三角形,∴A1B2=A1A2=10.
∵A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°,
在△A1B2B1中,由余弦定理得,
B1B22=A1B12+A1B22-2A1B1·A1B2·cos 45°=202+(10)2-2×20×10×=200,
∴B1B2=10.
∴乙船的速度为×60=30(海里/时).
所以乙船每小时航行30海里.
课件27张PPT。【课标要求】
1.熟练掌握正、余弦定理.
2.能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题.
【核心扫描】
1.求解距离、高度和角度问题.(重点)
2.从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形).(难点)
第1课时 正、余弦定理在实际问题中的应用1.2 应用举例测量中的常用角
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,把视线在水平线_____的角称为仰角,视线在水平线_____的角称为俯角.如下图①.
(2)方位角
指从正北方向按_______转到目标方向线所成的水平角.如方位角是45°,指北偏东45°,即东北方向.
自学导引上方下方顺时针(3)方向角
从指定方向到目标方向线所成的水平角.如南偏西60,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.如下图②所示.
:如图所示,OA,OB的方位角各
是多少?如何表示OA,OB的方向角?
提示:OA的方位角为60°,OB的方位
角为330°,OA的方向角为北偏东60°,
OB的方向角为北偏西30°.
解三角形应用题的一般思路
(1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型.
(3)选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形的解还原为实际问题的解,注意实际问题中的单位、近似计算要求.
这一思路可描述如下:
名师点睛1.解三角形应用题常见的两种情况
(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.
2.题型一 测量距离问题基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别
在A处和B处,且∠ADB=30°,
∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队的距离.
[思路探索] 可将AB放在△ABC中来求,为此应先求出AC和BC,再用余弦定理求AB.
【例1】 解三角形应用问题的一般步骤:
(1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语;
(2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出;
(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解.
求:(1)A处与D处的距离;
(2)灯塔C与D处的距离.
解 (1)在△ABD中,∠ADB=60°,B=45°,由正弦定理得
【变式1】 如图所示,A、B是水平面上的两个
点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰
角为45°,∠BAD=120°,又在B点测
得∠ABD=45°,其中D点是点C到水平
面的垂足,求山高CD.
[思路探索] 由仰角为45°可知CD=AD,
再在△ABD中应用正弦定理求解AD即可.
解 由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,所以CD=AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可,
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,
题型二 测量高度问题
【例2】 依题意画图是解决三角形应用题的关键.
在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角.同时空间图形和平面图形要区分开,然后通过解三角形求解.
(2011·儋州高二检测)如图,测
量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底
B在同一水平面内的两个测点C和D.现
测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,
并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔
高AB.
解 在△BCD中,∠BCD=α,
∠BDC=β,
∴∠CBD=180°-(α+β),
【变式2】 某海上养殖基地A接到气象部
门预报,位于基地南偏东60°距
离20( +1)海里的海面上有一台
风中心,影响半径为20 海里,
正以每小时10海里的速度沿某一
方向匀速直线前进,预计台风中
心将从基地东北方向刮过且( +1)小时后开始影响基地持续2小时.求台风移动的方向.
审题指导
题型三 测量角度问题
【例3】[规范解答] 如题图所示,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,则B,C,D在同一直线上,且AD=20海里,AC=20海里.(2分)
【题后反思】 在充分理解题意的基础上画出大致图形,由问题中的有关量得出三角形中的元素,用余弦定理、勾股定理解三角形.
甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时 a海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?
【变式3】 ∵0°<∠CAB<90°,∴∠CAB=30°.
∴∠DAC=60°-30°=30°.
所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.
方法技巧 分类讨论思想在解三角形中的应用
在解决问题时由于条件的变化,问题的结果有多种情况,不能用同一种标准或同一种方法去解决,这就需要对条件分情况讨论,这就是分类讨论思想,也叫做分类与整合思想.在本节中,由于三角形解的个数的不确定性,解三角形时需讨论在不同的三角形中解的情况.
在一次反恐演习中,某特警在一条笔直的公路上追击前方20公里的一恐怖分子,此时恐怖分子正跳下公路沿与前方公路成60°角的方向以每小时8公里的速度逃跑,已知特警在公路上的速度为每小时10公里.特警决定在公路上离恐怖分子最近时将其击毙,问再过多少小时,特警向恐怖分子射击.
【示例】 [思路分析] 根据人物的不同位置,分情况列出相距的表达式,利用二次函数求最值的方式即可求所需时间.
解 设开始时特警在B地,恐怖分子在A地,t小时后两人分别到达Q,P两地,特警到达A地需2小时,分别画出示意图.
(1)当0≤t≤2时,如图1,
在△APQ中,AP=8t,AQ=20-10t,
图1图2方法点评 本题根据两种不同的位置关系,利用分类讨论思想,相距最近时特警可能还没到达恐怖分子跳下公路的地点,也可能超过恐怖分子跳下公路的地点.特警位置、恐怖分子位置、恐怖分子跳下公路的位置会构成两个不同的三角形.
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