1.2.2 解三角形实际应用举例习题
班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批：
一、选择题
1．在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a 的值是（ ）
A.1 B. C. D.2
2．在△ABC中，下列各式正确的是 （ ）
A. ＝ B.asinC＝csinB
C.asin(A＋B)＝csinA D.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B)
3．已知的三边分别为a、b、，则的最大角是 （ ）
A.135° B.120° C.60° D.90°
4有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望A岛和C岛成75°角的视角，则B、C间的距离是 （ ）
A.5nmile B.10nmile C. nmile D.5nmile
5．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，
测量应当用数据
A.α、a、b B.α、β、a
C.a、b、γ D.α、β、γ
6、边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )
A、90° B、 120° C、 135° D、150°
7、在△ABC中，，，，则等于 （ ）
A、 B、 C、或 D、或
8、在△ABC中，，，则△ABC一定是 （ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
9．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
10．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
二、填空题
11．在△ABC中，tanB＝1，sinC＝，b＝100，则c＝ .
12.在△ABC中，已知，，，则边长 。
13．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 . .
14．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是 . . .
三．解答题
15．在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，求△ABC的面积。
16．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船沿直线CB前往B处救援，求cos∠ACB的值
17、在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。
18．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？
第2课时 正、余弦定理在三角形中的
应用
双基达标 ?限时20分钟?
1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为 ( )．
A. B．3 C. D．7
解析 ∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝1.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.即BC＝.
答案 A
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 ( )．
A．75° B．60° C．45° D．30°
解析 由△ABC的面积为3，且BC＝4，CA＝3可知
BC·CAsin C＝3，∴sin C＝，
又△ABC为锐角三角形，∴C＝60°.
答案 B
3．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为( )．
A. B. C．± D．±
解析 如图所示．设梯形ABCD中，AD∥BC.
由题意可知C＝60°.
过D作AB的平行线DB′与BC交于B′.
在△B′CD中，B′D＝AB＝6，CD＝2，C＝60°，∠DB′C＝∠B，
于是sin∠DB′C＝·sin C＝，
∴cos∠DB′C＝＝.故选B.
答案 B
4．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．
解析 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即c2＋5c－24＝0，
解得c＝3.
∴S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝.
答案
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝，b＝1，三角形ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝________.
解析 由正弦定理＝＝2R，∴a＝，sin B＝，∴a>b，∴A>B，∴B＝，C＝.∴S△ABC＝.
答案
6．(2011·海口高一月考)在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝，S△ABC＝，求b，c.
解 ∵S△ABC＝bcsin A＝，∴bc＝4.①
又a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴b＋c＝5，②
又c>b，由①②得b＝1，c＝4.
综合提高 ?限时25分钟?
7．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 ( )．
A.或 B.或
C.或 D.
解析 根据正弦定理：sin C＝＝sin 30°＝.
∵c>b，∴C>B＝30°，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴△ABC的面积S＝bc＝；
当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×sin 30°＝.
答案 B
8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于 ( )．
A. B. C. D．3
解析 由S△ABC＝bcsin A＝可知c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8cos 60°＝13，
∴a＝.∴＝＝.
答案 A
9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
解析 不妨设三角形三边为a，b，c，且a＝6，b＝c＝12，
由余弦定理得：
cos A＝＝＝，
∴sin A＝ ＝.
由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝.
∴S内切圆＝πr2＝.
答案
10．在?ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则?ABCD的对角线AC长为________，面积为________．
解析 在?ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，
∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.
根据余弦定理得，
AC＝
＝
＝3.
S?ABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD
＝6×3sin 60°＝9.
答案 3 9
11．在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
解 (1)∵S＝absin C＝ab·＝，
∴ab＝4. ①
∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝
(a＋b)2－2ab－2abcos C＝(a＋b)2－12＝4.
∴a＋b＝4. ②
由①②可得a＝2，b＝2.
(2)∵sin B＝2sin A，∴b＝2a.
又∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝4.
∴a＝，b＝.
∴S＝absin C＝.
12．(创新拓展)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C＝，
(1)求sin的值；
(2)若·＝1，a＋b＝，求边c的值及△ABC的面积．
解 (1)由sin2C＋cos2C＝1，得sin C＝.
则sin＝sin Ccos ＋cos Csin ＝×＋×＝.
(2)因为·C＝||||cos C＝1，则ab＝5.
又a＋b＝，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝27.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝25，则c＝5.
所以S△ABC＝absin C＝.
课件24张PPT。
1．掌握三角形的面积公式．
2．会用正、余弦定理计算三角形中的一些量．
1．计算三角形的面积．(重点)
2．利用面积公式、正、余弦定理及三角函数公式、三角恒等变换、平面向量等知识求解一些综合问题．(难点)
第2课时 正、余弦定理在三角形中的应用【课标要求】【核心扫描】三角形常用面积公式
自学导引 ：已知三角形ABC的三边长a，b，c，你能计算该三角形的面积吗？
提示：可以用余弦定理计算cos C，再得出sin C，利用
S＝ absin C可求．
运用三角形面积公式时应注意的问题．
?(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式．
(2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式．
(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和．
名师点睛题型一 三角形的面积计算问题 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积．
【例1】 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．
在△ABC中，c＝2 ，a>b，tan A＋tan B＝5，tan A·tan B＝6，试求a，b及△ABC的面积．
解 ∵tan A＋tan B＝5，tan A·tan B＝6，且a>b，
∴tan A＝3，tan B＝2，A，B都是锐角．
【变式1】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
[思路探索] 三角恒等式的证明可以从左边入手，也可以从右边入手，证明时要注意正、余弦定理的应用．
证明 法一 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
得a2－b2＝b2－a2＋2c(acos B－bcos A)，
即a2－b2＝c(acos B－bcos A)，
题型二 三角形中的证明问题【例2】 三角形中有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明，但要注意灵活运用正、余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于a，b，c的代数恒等式的证明，并注意三角形中有关结论的运用．
【变式2】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B的最大值．
审题指导 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
题型三 三角形中的综合问题【例3】【题后反思】 解决三角形的综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－ .
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
【变式3】 在△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，
B＝60°，∠ADC＝150°，求AC的长及△ABC的面积．
[错解] 在△ABC中，∠BAD＝150°－60°＝90°，
【示例】 误区警示 因忽视定理中边角的对应关系而出错 计算出∠BAD＝90°后，在直角△ABD中，AD是角B的对边，故AD＝2sin 60°＝ ；而AB是角B的邻边，故AB＝2cos 60°＝1.
正、余弦定理不仅是解三角形的依据，也是分析几何量之间关系的重要公式，有关解三角形的题目，要时刻结合条件联想两个定理，有时可设出未知数利用正弦定理或余弦定理列方程求解，这也是方程思想的具体体现．单击此处进入 活页规范训练
