必修五第一章测试题
班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批：
一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知△ABC中，，，，则等于 （ ）
A B C D
2. △ABC中，，，，则最短边的边长等于 （ ）
A B C D
3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )
A 90° B 120° C 135° D 150°
4.△ABC中，，则△ABC一定是 （ ）
A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形
5.△ABC中，，，则△ABC一定是 （ ）
A 锐角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D 等边三角形
6.△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 那么满足条件的△ABC ( )
A 有 一个解 B有两个解 C 无解 D不能确定
7. △ABC中，，，，则等于 （ ）
A B C 或 D 或
8.△ABC中，若，，则等于 （ ）
A 2 B C D
9. △ABC中，，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ ）
A B C D
10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定
11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（? ? ）
A. 米? B. 米 C. 200米? D. 200米
12 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 (??? )
A.10 海里? B.5海里?? C. 5 海里??? ?D.5 海里
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在△ABC中，如果，那么等于 。
14.在△ABC中，已知，，，则边长 。
15.在钝角△ABC中，已知，，则最大边的取值范围是 。
16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。
三、解答题：本大题共4小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17（本题10分）在△ABC中，已知边c=10, 又知，求边a、b 的长。
18（本题12分）在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。
19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。
20（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）
必修5第一章《解三角形》测试卷
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有2个解的是 （ ）
A . b=10，A=，C= B .a=60，c=48，B=
C .a=7，b=5，A=80 D .a=14，b=16，A=
2. 在ABC中，，则B等于 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都不对
3. 在ABC中，，则三角形的最小内角是 （ ）
A. B. C. D.以上答案都不对
4. 在ABC中，A =，b=1，面积为，求的值为 （ ）
A. B. C. ２ D.
5. 在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为 （ ）
A. 19 B. -14 C. -18 D. -19
6. A、B是△ABC的内角，且，，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
7. ABC中，a=2，A=，C=，则ABC的面积为 （ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，则是 （ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
9. 已知ABC中， AB=1，BC=2，则角 C的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
10. 在ABC中，若，那么ABC是 （ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
11. 若以2，3，为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围是 （ ） A. 1
12. 在ABC中，三边a，b，c与面积s的关系式为则角C 为 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 三角形两条边长分别为3cm，5cm，其夹角的余弦是方程的根，则三角形面积为
14．在中，若A=60°，b=1，三角形的面积S=，则外接圆的直径为_________
15. ABC中，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，则角A=
16. ABC中，+=
三．解答题（每题10分，共20分）
17．在中，已知，，，求和的面积．
18．不等边三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且最大边a满足，求角A的取值范围。
第一章 解三角形
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·辽宁卷)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则等于 ( )．
A．2 B．2 C. D.
解析 ∵asin Asin B＋bcos2A＝a，
∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
∴sin B＝sin A，∴＝＝.
答案 D
2．(2011·重庆卷)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为 ( )．
A. B．8－4 C．1 D.
解析 由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.①
∵a2＋b2－c2＝2abcos C，故方程①化为2ab(1＋cos C)＝4.
∴ab＝.
又∵C＝60°，∴ab＝.
答案 A
3.(2011·天津卷)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为 ( )．
A. B. C. D.
解析 设AB＝a，∴AD＝a，BD＝a，BC＝2BD＝a，在△ABD中，
cos A＝＝＝，
∴sin A＝＝.
由正弦定理知sin C＝·sin A＝×＝.
答案 D
4．(2011·北京卷)在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.
解析 由tan A＝2得sin A＝2cos A．又sin2A＋cos2A＝1得sin A＝.又∵b＝5，B＝，根据正弦定理，应有＝，∴a＝＝＝2.
答案 2
5．(2011·全国课标卷)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
解析 由正弦定理知＝＝，
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)
＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)
＝2(sin C＋cos C＋sin C)
＝2(2sin C＋cos C)
＝2sin(C＋α)，
其中tan α＝，α是第一象限角．
由于0°因此AB＋2BC有最大值2.
答案 2
6．(2011·全国大纲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
解 由a＋c＝b及正弦定理可得sin A＋sin C＝sin B.
又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，
故cos C＋sin C＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2C)＝cos 2C.
cos C＋sin C＝cos 2C，cos(45°－C)＝cos 2C.
因为0°7．(2011·安徽高考)在△ABC中，若a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
解 由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，
得1－2cos A＝0，
所以cos A＝，所以sin A＝.
再由正弦定理，得sin B＝＝.
由b从而cos B＝＝.
由上述结果知sin C＝sin(A＋B)＝.
设边BC上的高为h，则有h＝bsin C＝.
8．(2011·山东卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S.
解 (1)由正弦定理，设＝＝＝k，
则＝＝，
所以＝.
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.
因此＝2.
(2)由＝2得c＝2a.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cos B＝，b＝2，
得4＝a2＋4a2－4a2×.
解得a＝1.从而c＝2.
又因为cos B＝，且0所以sin B＝.
因此S＝acsin B＝×1×2×＝.
课件20张PPT。知识网络本章归纳整合解三角形常见类型及解法
在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：要点归纳1．三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
若sin B＝1，一解；若sin B<1，两解．
(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无
2.解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
3．解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．
4．专题一 正、余弦定理的基本应用
应用正、余弦定理解三角形问题往往和面积公式、正、余弦定理的变形等结合．在解三角形时，注意挖掘题目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的选择和方程思想的应用． 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，【例1】 在高考中，正、余弦定理与向量、三角函数的综合命题出现的较频繁，解决与三角形有关的问题时，有时除了运用正、余弦定理外，还会用到三角形的面积公式，两角和与差的三角函数公式，倍角、半角公式、向量的计算公式等．因此，应结合题目给定条件，综合运用正弦定理、余弦定理以及相关知识解题．
专题二 正、余弦定理解三角形中的综合问题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cos C＝c·cos B，△ABC的面积S＝10 ，c＝7.
(1)求角C；
(2)求a，b的值．
解 (1)∵(2a－b)cos C＝ccos B，
∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B，
2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C，
即2sin Acos C＝sin(B＋C)，
∴2sin Acos C＝sin A.
【例2】解斜三角形应用题的步骤：
(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、方位角等．
(2)根据题意画出图形．
(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答．
专题三 解斜三角形在实际问题中的应用
如图，a是海面上一条南北方向
的海防警戒线，在a上点A处有一个
水声监测点，另两个监测点B，C分
别在A的正东方20 km和54 km处．某
时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km)．
解 (1)由题意PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
∴PB＝(x－12)(km)，PC＝(18＋x)(km)．
【例3】 与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．
函数与方程思想在数学中有着广泛的应用，本章在利用正、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想．
专题四 函数与方程思想
在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长．
【例4】 解斜三角形是高考的热点内容，经常和三角化简、向量运算等联系在一起综合考查，既可能以选择题和填空题的方式也可能以解答题的形式进行考查，解答题的难度属于中低档的问题．
具体的命题过程有如下规律：
一是考查三角形的角的问题．求三角形的角常用到的工具有三角形内角和为180°，正、余弦定理及其变式，经常与三角化简求值联系在一起考查．
二是考查三角形的面积．三角形面积的处理途径比较多，需要根据条件，恰当的进行选择，实际上最终转化为三角形的边角问题解决．
命题趋势 三是对解三角形的综合问题的考查．一般题目给出边角满足的关系式，问题处理的重点是正、余弦定理的选择．需要熟练掌握正、余弦定理和三角形面积公式以及之间的联系，灵活应用二倍角公式、两角和与差公式等进行化简；不仅会利用方程思想求值，还要会利用函数思想讨论最值问题．
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(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ( )．
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
解析 根据正弦定理得，sin B＝＝＝.
∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.
答案 D
2．(2011·福州高二检测)在△ABC中，a＝1，A＝30°，B＝60°，则b等于 ( )．
A. B. C. D．2
解析 由正弦定理知＝，故＝，解之得b＝，故选C.
答案 C
3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为 ( )．
A. B．－ C. D．－
解析 由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4知，a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，则b＝2x，c＝4x(x>0)，根据余弦定理得，cos C＝＝＝－.
答案 D
4．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是 ( )．
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析 由正弦定理，原式可化为＝＝，
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C.
∴△ABC是等边三角形．
答案 B
5．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是 ( )．
A．1C．1解析 由题意，x应满足条件
解得：2答案 D
6．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是 ( )．
A. B. C. D.
解析 设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x2＋3x－2＝0得：x＝，或x＝－2(舍)．
∴cos θ＝，
∴第三边长为 ＝.
答案 B
7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为 ( )．
A. B. C. D.
解析 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°，
∴AC＝3.由正弦定理得＝＝.
答案 D
8．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为 ( )．
A．4 B．5 C．5 D．6
解析 ∵S△ABC＝acsin B，∴c＝4，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝25，∴b＝5.
由正弦定理2R＝＝5(R为△ABC外接圆的半径)，故选C.
答案 C
9．在△ABC中，AB＝3，A＝60°，AC＝4，则边AC上的高是 ( )．
A. B. C. D．3
解析 ∵A＝60°，∴sin A＝.
∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝×3×4×＝3.
设边AC上的高为h，
则S△ABC＝AC·h＝×4×h＝3，∴h＝.
答案 B
10．(2011·龙山高二检测)已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 ( )．
A. B. C. D.
解析 p∥q?(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0?＝＝cos C，∴C＝.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．在△ABC中，若B＝60°，a＝1，S△ABC＝，则＝________.
解析 把已知条件代入面积公式S△ABC＝acsin B得c＝2.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝3，∴b＝.
由正弦定理＝＝2.
答案 2
12．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________.
解析 设BC＝x，则根据余弦定理得，
AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos C，
即5＝25＋x2－2×5·x·，
∴x2－9x＋20＝0，∴x＝4或x＝5.
答案 4或5
13．(2011·洛阳高二检测)在△ABC中，若b＝a，B＝2A，则△ABC为________三角形．
解析 由正弦定理知sin B＝sin A，
又∵B＝2A，∴sin 2A＝sin A，
∴2sin Acos A＝sin A，
∴cos A＝，∴A＝45°，B＝90°.
故△ABC为等腰直角三角形．
答案 等腰直角
14．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km.
解析 如图，由已知条件，
得AC＝60 km，∠BAC＝30°，
∠ACB＝105°，∠ABC＝45°.
由正弦定理BC＝＝30 (km)
答案 30
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin B
sin C，且·＝4，求△ABC的面积S.
解 由已知得b2＋c2＝a2＋bc，
∴bc＝b2＋c2－a2＝2bccos A，
∴cos A＝，sin A＝.
由·＝4，得bccos A＝4，∴bc＝8，
∴S＝bcsin A＝2.
16．(10分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
解 如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D
两点到考点的距离为1千米．
在△ABC中，AB＝≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝
30°，
由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)，
在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米)．
∵×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
17．(10分)在△ABC中，若8·sin2－2cos 2A＝7.
(1)求角A的大小；
(2)如果a＝，b＋c＝3，求b，c的值．
解 (1)∵＝－，
∴sin ＝cos ，
∴原式可化为8cos2－2cos 2A＝7，
∴4cos A＋4－2(2cos2A－1)＝7，
∴4cos2A－4cos A＋1＝0，解得cos A＝，∴A＝60°.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴b2＋c2－bc＝3.
又∵b＋c＝3，∴b＝3－c，
代入b2＋c2－bc＝3，并整理得c2－3c＋2＝0，
解之得c＝1或c＝2，
∴或
18．(12分)在△ABC中，若sin(C－A)＝1，sin B＝.
(1)求sin A的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
解 (1)由sin(C－A)＝1知，
C－A＝，且C＋A＝π－B，
∴A＝－，
∴sin A＝sin＝，
∴sin2A＝(1－sin B)＝，
又sin A>0，∴sin A＝.
(2)由正弦定理得＝，
∴BC＝＝＝3，
由(1)知sin A＝，∴cos A＝.
又sin B＝，∴cos B＝.
又sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝，
∴S△ABC＝AC·BC·sin C＝××3×＝3.
19．(12分)在△ABC中，已知sin B＝cos Asin C，·A＝9，又△ABC的面积等于6.
(1)求C；
(2)求△ABC的三边之长．
解 (1)设三角形三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，
∵sin B＝cos Asin C，
∴cos A＝，由正弦定理有cos A＝，
又由余弦定理有cos A＝，
∴＝，即a2＋b2＝c2，
所以△ABC为Rt△ABC，且C＝90°.
(2)又
②÷①，得tan A＝＝，令a＝4k，b＝3k(k>0)，
则S△ABC＝ab＝6?k＝1，
∴三边长分别为a＝4，b＝3，c＝5.
