1.1.2 余弦定理
班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批：
【学习目标】
会利用数量积证明余弦定理，体会向量工具在解决三角形的角度问题是的作用；（难点）
会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，会运用余弦定理解决三角形的基本问题；（重点）
会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。
【研讨互动 问题生成】
余弦定理定义；
余弦定理适用于哪几种情况；
余弦定理的推论；
【合作探究 问题解决】
1.在三角形ABC中，一直下列条件，解三角形。
a=6,b=7,c=8
a=7,b=9,c=13
2.在三角形ABC中，一直下列条件，解三角形。
(1)b=10,c=15,A=
（2）a=5.b=7.C=
【点睛师例 巩固提高】
1. 利用余弦定理说明的内角为锐角、直角、钝角的充要条件分别为、、．
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若=ac且c=2a,求
【要点归纳 反思总结】
已知三边求解三角形或已知两边及其夹角求解三角形时，使用余弦定理。
A为锐角 = ＞0＞0
A为钝角 = ＜0＜0
在解三角形时，往往是正弦定理和余弦定理交替使用。
余弦定理求角时，角的值是唯一的，这样可以避免产生增解。
已知三角形的两边两边的夹角，在解三角形时，要注意用余弦定理求第三边，进而解出三角形。
【多元评价】
自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:
学科长评价: 学术助理评价:
【课后训练】
1．△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ ）
A． 30° B．45° C．60° D．120°
2.已知△ABC中，＝1∶∶2，则A∶B∶C等于 ( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1
C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
3.在中，，，则一定是 （ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
4．若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（ ）
A、能组成直角三角形 B、能组成锐角三角形
C、能组成钝角三角形 D、不能组成三角形
5．在△ABC中，若，则其面积等于（ ）
A．12 B． C．28 D．
6．在△ABC中，若，则∠A=（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
8．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根， 则三角形的另一边长为（ ）
A. 52 B. C. 16 D.
9．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________．
10．在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是
11．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、.C的对边，则＝________．
12．在中，最大，最小，且，，求此三角形三边之比．
13． 若为三边组成一个锐角三角形，求的范围
1.2.1 应用举例
班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批：
【学习目标】
会熟练地应用正、余弦定理解任意三角形，能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。（重点，难点）
了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的一些应用，体会正，余弦定理在平面几何中的计算和推理中的工具作用。
【研讨互动 问题生成】
测量中的有关概念、名词和术语
（1）基线：
(2)仰角与俯角：
(3)方位角与方向角：
(4)视角：
（5）坡角与坡度：
2.《1》三角形的几个面积公式
（1）S= ah(h表示a边上的高)
（2）S=ab =bc =ac
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径)
(4)S= (其中)
【合作探究 问题解决】
1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之
高二数学 教·学案
课题：1.1.2 余弦定理
主备人：
执教者：
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【授课类型】新授课
【教 具】课件、电子白板
【学习方法】
【学习过程】
引入：
1.什么是正弦定理？什么是解三角形？
2.思考：如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c
二、新课学习：
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
如图1．1-5，设，，，那么，则
从而
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
特例示范：
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
四、当堂练习：
第8页练习第1、2题。
五、本节小结：
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
六、作业布置:学案1.1.2
个性设计
课后反思：
课题: §1.1.2余弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；
Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
●板书设计
●授后记
1.1.2 余弦定理
双基达标 ?限时20分钟?
1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于 ( )．
A. B．8 C．10 D．7
解析 c2＝a2＋b2－2abcos C＝92＋(2)2－2×9×2cos 150°＝147＝(7)2，∴c＝7.
答案 D
2．在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 ( )．
A. B. C. D.
解析 ∵c
∴cos C＝＝＝.
∴C＝，故选B.
答案 B
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC ( )．
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
解析 ∵>0，∴c2－a2－b2>0.
∴a2＋b2答案 C
4．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
解析 ∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac.
∴原式为0.
答案 0
5．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.
解析 ∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，
∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.
∴cos A＝＝－.
∵0°答案 120°
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，a＝4，b＋c＝6，且b解 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴16＝(b＋c)2－2bc－bc
∴bc＝8，
又∵b＋c＝6，b得b＝2，c＝4或b＝4，c＝2(舍)．
∴b＝2，c＝4.
综合提高 ?限时25分钟?
7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是 ( )．
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析 由余弦定理b2＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.
∵B＝60°，∴A＝C＝60°.
故△ABC为等边三角形．
答案 B
8．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则·A等于 ( )．
A. B．－ C. D．15
解析 ∵cos A＝＝＝－，
∴·＝||·||·cos∠BAC
＝5×3×＝－，故选B.
答案 B
9．在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．
解析 ∵c2＝a2＋b2－2ab·cos C＝1＋4－4cos C＝5－4cos C.
又∵0∴c2∈(1,5)．∴c∈(1，)．
答案 (1，)
10．已知等腰△ABC的底边BC＝2，腰AB＝4，则腰上的中线长为________．
解析 ∵cos A＝＝＝.
设其中一腰中线长为x，则x满足：
x2＝42＋22－2×4×2cos A＝20－16×＝6.∴x＝.
答案
11．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝3a，求tan A的值．
解 (1)由余弦定理，得cos B＝＝.
∵0(2)法一 将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a.
由余弦定理，得cos A＝＝.
∵0∴tan A＝＝.
法二 将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a.
由正弦定理，得sin B＝sin A.
∵B＝，∴sin A＝.
又∵b＝a>a，则B>A，
∴cos A＝＝.
∴tan A＝＝.
12．(创新拓展)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解 (1)由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－.
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由(1)中a2＝b2＋c2＋bc及正弦定理，可得
sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
即2＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝，
又0∴△ABC为等腰的钝角三角形．
课件28张PPT。【课标要求】
1．通过对任意三角形边长和角度的探索掌握余弦定理．
2．会借助余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
【核心扫描】
1．应用余弦定理解三角形．(重点)
2．本节内容常与三角函数、三角恒等变换、正弦定理
等知识结合．(难点)
3．应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
1.1.2 余弦定理余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的_________减去这两边与它们的夹角的_____的积的_____，即
a2＝_______________，b2＝ _______________ ，
c2＝ _______________.
余弦定理的推论
自学导引1．2．余弦平方的和两倍b2＋c2－2bccos Aa2＋c2－2accos Ba2＋b2－2abcos C ：若△ABC为钝角三角形，且A>90°，则a，b，c三边满足什么关系？
提示：∵a，b，c为△ABC的三边，且A>90°，
余弦定理及其推论的应用
应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题：
(1)已知三角形的三边，求其_______．
(2)已知_____和_____，求第三边和其他两个角．
3．三个角两边夹角 ：余弦定理和勾股定理有什么联系？
提示：若△ABC为直角三角形，且C＝90°，则cos C＝
余弦定理的理解
余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具．
(1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
(2)余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛．
名师点睛1．用坐标法证明余弦定理
如图建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，
C(bcos A，bsin A)．由两点间距离公式得
a2＝|BC|2
＝(bcos A－c)2＋(bsin A－0)2
＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccos A＋c2
＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C．
2．题型一 已知两边及一角解三角形 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.
[思路探索] 可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定理求角A、角C.
【例1】当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形．
∴a＝3.
已知两边及一角解三角形有以下两种情况：
(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解．
在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
解 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
【变式1】 [思路探索] 利用余弦定理的推论解题．
题型二 已知三边(三边关系)解三角形
【例2】 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．
在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
解 由余弦定理和条件知：
【变式2】 [思路探索] 用余弦定理将已知等式转化为边之间的关系式，化简后判断三角形的形状．也可用正弦定理将等式化成角的三角函数关系式，进而判断三角形的形状．
题型三 三角形形状的判定【例3】∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形．
法二 在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
(1)法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．然后，利用代数变形或三角函数变形对边的关系或角的关系进行分析判断．
(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．
在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ABC的形状．
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
故三角形为等腰三角形或直角三角形．
【变式3】 法二 由正弦定理，原等式可化为
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A，
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，
∴A＝B或A＋B＝ ，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
审题指导
[规范解答] 在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，设BD＝x，据余弦定理：
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA，(4分)
∴142＝102＋x2－2×10·xcos 60°，(6分)
即x2－10x－96＝0，
解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.(8分)
∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.
题型四 正、余弦定理的综合应用
【例4】【题后反思】 余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的，解三角形时，注意分析三角形中的条件是否够用．条件不够的三角形，要探索与其他三角形的关系，条件够时，注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，在有关三角形的题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．
在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，求b.
解 法一 在△ABC中，
∵sin Acos C＝3cos Asin C，
则由正弦定理及余弦定理有：
2(a2－c2)＝b2.
又由已知a2－c2＝2b，
∴4b＝b2.
解得b＝4或b＝0(舍)．
【变式4】 法二 由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccos A.
又a2－c2＝2b，b≠0.
所以b＝2ccos A＋2.①
又sin Acos C＝3cos Asin C，
∴sin Acos C＋cos Asin C＝4cos Asin C，
sin(A＋C)＝4cos Asin C，
即sin B＝4cos Asin C，
由正弦定理得sin B＝ sin C，故b＝4ccos A．②
由①②解得b＝4.
设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
?[错解] ∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，
误区警示 误区警示 忽略三角形三边关系导致出错
【示例】 解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大．
[正解] ∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，
本题实质上是求2a＋1，a,2a－1能构成钝角三角形三边的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边．
单击此处进入 活页规范训练必修五 第一章
§5-2正 余弦定理
【课前预习】阅读教材完成下面填空
解三角形的四种类型
1．已知A,B及a(“角边角”型)
利用正弦定理
2．已知三边a,b,c(“边边边”型)
用余弦定理 。
3.已知两边a,b及夹角C(边角边型)
余弦定理求c,再用余弦定理求两角。
4. 已知两边a,b及一边对角(“边边角“型)
(1) 当 时，有 解
(2) 当 时，有 解
(3) 当 时，有 解
(4) 当 时，有 解
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟
1．在△ABC中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．在△中，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，若，， 。
4、在△中，若，
则△是
【课中35分钟】边听边练边落实
5、在△ABC中，已知a=10，B= ,C=，解三角形。
6．在△ABC中，已知a=2,b=5,c=4,求最大角的正弦值。
7．已知a＝3，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．
8、在△ABC中，已知a=5，b=7，A= ,解三角形。
9．在△ABC中，，，，其中是△ABC外接圆的半径。求证：。
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
4.
【课后15分钟】 自主落实，未懂则问
1．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，
∠B＝120°，则△ABC的面积为 ( )
A．9 B．18 C．9 D．18
2．在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为（? ?? ）
A． ? B．－ C． D．－
3．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝ 。
4．在△ABC中， 若A=30°，B=60°， 则
（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．在△ABC中，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．在△ABC中，若角为钝角，则的值（ ）
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．不能确定
8．在△ABC中，，则的最大值是_______________。
在△ABC中，若
则 ( )
A． B． C． D．
互助小组长签名：
