人教版数学八年级下册18.2.3 第2课时 正方形的判定 课件（共19张）

(共20张PPT)
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第2课时 正方形的判定
学习目标
【学习目标】
1.掌握正方形的概念、性质和判定方法,并会运用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
【学习重点】
正方形的定义、性质及判定方法.
【学习难点】
正方形的性质与判定定理的灵活运用.
问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角
是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
旧识回顾
正方形的判定
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.
正方形
问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？为什么？
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？
正方形
正方形
正方形
+
矩形条件
菱形条件
一组邻边相等
判定的两条途径
正方形
先判定矩形
(2)
对角线相等
对角线垂直
一个直角
+
先判定菱形
(1)
新知探究
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
证一证
例1 在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
M
N
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
典例精析
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN ∠A=∠B=∠C=∠D AN=BE=CF=DM ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF ∴四边形EFMN是菱形，∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）
=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 .
M
N
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB ∴ DE=DG
同理：DG=DF ∴ED=DF
∴四边形ADFC是正方形.
例2 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
典例精析
例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
B
O
E
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
典例精析
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
新知探究
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
随堂练习
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
C
3.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形
ACE，四边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 时，四边形ADFE是矩形；
（2）当∠BAC等于 时，平行四边形ADFE不存在；
B
C
A
E
F
D
150°
60°
随堂练习
4.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证： ADB= CDB;
(2) 若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：
（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD (AAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
随堂练习
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是矩形
（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
C
A
B
D
P
M
N
1
2
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
回顾反思
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
课堂小结