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第二讲 探索轴对称的性质
一、单选题
1．如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B．
C． D．以上三种情况都有可能
2．如图，长方形纸片，将沿对角线折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，若，则度数为（ ）21教育网
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A． B． C． D．
3．2021年1月1日起，三明市全面铺开市 ( http: / / www.21cnjy.com )区生活垃圾分类工作，分门别类打造适合三明实际的生活垃圾分类处置体系．将垃圾分为可回收物、厨余垃圾（含餐厨垃圾）、有害垃圾、其他垃圾．以下图标是几类垃圾的标志，其中轴对称图形的是（ ）21cnjy.com
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．如图①是长方形纸带，∠CFE=58°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．4° B．6° C．10° D．12°
5．下列图案中是轴对称图形的有（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．若经过点的直线与轴平行，则点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
8．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，点，在边上，点在边上．将沿折叠，恰好与重合，将沿折叠，恰好与重合．下列结论：www.21-cn-jy.com
①②③④⑤
正确的个数有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
10．下列命题正确的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等 B．面积相等的两个三角形全等
C．两个全等三角形一定成轴对称 D．所有等腰三角形都只有一条对称轴
11．如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．30° B．60° C．50° D．55°
12．如图，在△ABC纸片中，AB=9cm ( http: / / www.21cnjy.com )，BC=5cm，AC=7cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为是（ ）【出处：21教育名师】
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A．9cm B．11cm C．12cm D．14cm
13．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．下列图案是轴对称图形的是有（ ）
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A．①② B．①③ C．①④ D．②③
15．如图，与关于直线对称，点为上任一点，下列结论中错误的是（ ）
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A．是等腰三角形 B．垂直平分
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在上
16．如图，与关于直线对称，为上任一点（，，不共线），下列结论中不正确的是( )2·1·c·n·j·y
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A． B．垂直平分线段
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上
17．如图，在中，，平分，交于点．若，，则的值可能是（ ）
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A．7 B． C．3 D．
18．将长为2、宽为a（a大于1 ( http: / / www.21cnjy.com )且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（ ）【版权所有：21教育】
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A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2
19．如图，在锐角△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）21教育名师原创作品
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A．50° B．60° C．70° D．80°
20．如图，等边的边，是上一点，，是边上一动点，将沿直线折叠，的对应点为，则的长度最小值是（ ）
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A． B． C． D．
21．如图，直线EF分别交平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形ABCD边AB、CD于直E、F，将图形沿直线EF对折，点A、D分别落在点A′、D′处．若∠A=60°，AD=4，AB=8，当点A′落在BC边上任意点时，设点P为直线EF上的动点，请直接写出PC+PA′的最小值（）21·cn·jy·com
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A．4+ B．8 C．6+ D．4
22．如图，将图一中的等腰直角三角形纸片ABC，依次沿着折痕DE，FG翻折，得到图二中的五边形ADEGF．若图二中，DF∥EG，点C′，B′恰好都是线段DF的三等分点，GC′交EB′于点O，EG＝4﹣2，则等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为（ ）21*cnjy*com
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A．4+6 B．4﹣6 C．8+4 D．8﹣4
23．如图，与是两个全等的等边三角形，，下列结论不正确的是（ ）
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A． B．直线垂直平分
C． D．四边形是轴对称图形
24．如图所示，，点为内一点，点关于对称的对称点分别为点，连接，分别与交于点，连接，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（ ）
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A．120° B．108° C．110° D．102°
26．如图，∠AOB＝30° ( http: / / www.21cnjy.com )，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（ ）
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A．3 B．6 C． D．
27．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是边AC、BC上两点.将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF:BF=2:3.若BE=16，则点F到BC边的距离是（ ）
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A． B． C． D．
28．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（ ）
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A．32° B．64° C．65° D．70°
29．如图，一张长方形纸沿AB对折 ( http: / / www.21cnjy.com )，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）．则∠OCD等于（ ）
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A．108° B．114° C．126° D．129°
30．如图，∠AOB＝30 ，∠AOB ( http: / / www.21cnjy.com ) 内有一定点 P，且 OP＝12，在 OA 上有一动点 Q，OB 上有 一动点 R．若△PQR 周长最小，则最小周长是( )www-2-1-cnjy-com
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A．6 B．12 C．16 D．20
31．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C．6 D．3
第II卷（非选择题）
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二、填空题
32．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是_________度．
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33．如图，把一张长方形的纸条按图那样折叠后，B．C两点落在，点处，若得＝， 则∠余角的度数为_____°．
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34．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点A落在F处，折痕为BC．作∠FBD的平分线BE，则∠CBE的度数为__；现将∠FBD沿BF折叠使BE、BD落在∠FBC的内部，且折叠后的BE交CF于点M，BD交CF于点N，若BN平分∠CBM，则∠ABC的度数为__．
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35．如图，在中，，，点在边上，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的周长的最小值是______．
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36．如图，在长方形纸片ABCD中，点E在边AD上，点F，G分别在边AB，CD上，分别以EF，EG为折痕进行折叠并压平，点A，D的对应点分别是点，．若平分，且在内部，设，则的度数为__________．（用含n的代数式表示）
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37．如图，在中，，是边的中点，垂直平分边，动点在直线上，若，，则线段的最小值为______．
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38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，AB＝5，BC＝3．若点D是AB边上任意一点，且不与点A、B重合，连接CD．将△BCD沿着CD所在的直线翻折，使得点B落在点B′处，连接AB′，则AB′的最小值为________．
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39．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_________．
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40．如图，在△ABC中，∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )=75°，BC=3，△ABC的面积是12，D为BC边上一动点（不与B、C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积的最小值____．
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41．如图，分别以的边，所在直线为称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分：④；③．其中正确的结论个数为______．
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42．如图，△ABC中，AB＝A ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠BAC＝62°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．
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43．如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使点落在点处，连接、，当是等腰直角三角形时，的长为________．
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44．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为__________．
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45．如图，点是内任意一点，，点与点关于射线对称，点与点关于射线对称，连接交于点，交于点，当的周长是5时，的度数是______度．
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三、解答题
46．已知长方形纸片ABCD，点E ( http: / / www.21cnjy.com )在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
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47．如图，在长方形中，点是边上一个定点，点是边上一个动点，连结，将沿折叠至．
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（1）若比大，求的大小．
（2）连结，若，请判断和的大小关系，并说明理由．
48．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，D ( http: / / www.21cnjy.com )C⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC=20°，求∠EBD的度数．【来源：21cnj*y.co*m】
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49．如图，在中，，，点E为线段的中点，点F在边上，连结，沿将折叠得到．
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（1）如图1，当点P落在上时，求的度数．
（2）如图2，当时，求的度数．
50．生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图① ② ③ ④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）：
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如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，分别回答下列问题：
（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点与点的距离为3厘米，那么在图②中，__________厘米；在图③中，__________厘米；在图④中，__________厘米．
（2）如果长方形纸条的宽为厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离（结果用表示）．
51．已知，射线是直线右侧一动点，连接是射线上一动点，过点的直线分别与交于点，与射线交于点，设．
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（1）如图1，当点在之间时，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，作关于直线对称的，
求证：；
（3）如图3，当点在上方时，作关于直线对称的，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出之间数量关系，以及与之间数量关系．21·世纪*教育网
52．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”（本题中所有角都是大于且小于的角）
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图1 图2 图3
（1）若和互为“互优角”，当时，则________；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着对折，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，则的度数为________；
（3）再将纸片沿着对折（点在线段或上），使点落在．
①如图2，若点，，在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数（对折时，线段落在内部）；
②若与互为“互优角”，则与应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．
53．已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．
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（1）当，时，求线段FD的长度；
（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；
（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．
54．如图1，在平面直角坐标系中，A（8，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC是AB边上的高．
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（1）则点C的横坐标________；
（2）图2中，作点C关于y轴对称点D，连接DA，DC分别交OB于点E，F，求证：OE=EF．
（3）图3中，在OC上取点M，连接BM，以BM为边向右作等边△BMN，连接AN，CN；
①求证：OA⊥AN；
②当△BCN周长的最小值时，求∠BNC的度数．
55．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．
（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．
（2）当AC=8，BC=6时 ( http: / / www.21cnjy.com )，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．
①CM= ，当N在F→C路径上时，CN= ．（用含t的代数式表示）
②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．
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56．综合与探究
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如图1，在四边形中，，，.
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，把四边形沿（在边上，在边上）折叠（折叠前后对应角相等），使点分别落在处，交于点.若，请求出的度数；
（3）在（2）的条件下，试探究与之间有何数量关系？并说明理由.
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第二讲 探索轴对称的性质
一、单选题
1．如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（ ）
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A． B．
C． D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【分析】
利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可．
【详解】
解：如图，
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∵A，P关于BD对称，
∴∠AQB=∠PQB，
∵∠PCB＞∠PQB，
∴∠PCB＞∠AQB，
故选：C．
【点睛】
本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．如图，长方形纸片，将沿对角线折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，若，则度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设∠CBD＝β，根据折叠 ( http: / / www.21cnjy.com )可得∠C'BD＝β，∠A'BE＝β α，依据∠ABC＝∠ABE＋∠EBD＋∠CBD＝90°，即可得到∠CBD的度数．
【详解】
解：设∠CBD＝β，则∠C'BD＝β，
∵，
∴∠A'BE＝β α，
由折叠可得，∠ABE＝∠A'BE＝β α，
∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBD＋∠CBD＝90°，
∴β α＋β＋β＝90°，
∴β＝，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．如图①是长方形纸带，∠CFE=58°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是（ ）
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A．4° B．6° C．10° D．12°
【答案】B
【分析】
根据两条直线平行，内错角相等， ( http: / / www.21cnjy.com )则∠AEF=∠CFE=58°，根据平角定义，则图②中的∠DEG=64°，进一步求得图③中∠GED=64°，进而求得图③中的∠DEF的度数．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠CFE=58°，
∴∠AEF=∠CFE=58°，∠DEF=122°，
∴图②中的∠GEF=58°，∠DEG=180°-2×58°=64°，
∴图③中∠GEF=58°，
∴图③中∠DEF=64°-58°=6°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了根据折叠发现相等的角，同时运用了平行线的性质和平角定义．
5．下列图案中是轴对称图形的有（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的定义判断即可；
【详解】
A是中心对称图形，不符合题意，
B不是轴对称，不符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，符合题意；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的判定，准确分析判断是解题的关键．
6．若经过点的直线与轴平行，则点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据点A关于直线x=2对称的点与点A的连线平行于x轴，因而纵坐标相同，横坐标的平均数是2，继而求解．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵过作y轴的平行线，即直线为直线x=2，
∴点A（4，3），关于直线x=2对称的点与点A的连线平行于x轴，因而纵坐标相同，横坐标的平均数是2，
对称点坐标是（0，3）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直线对称点的坐标性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，进行解题．
7．在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
直接利用轴对称图形的定义得出符合题意的答案．
【详解】
解：A、 ( http: / / www.21cnjy.com / )，是轴对称图形，故此选项错误；
B、 ( http: / / www.21cnjy.com / )，是轴对称图形，故此选项错误；
C、 ( http: / / www.21cnjy.com / )，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )，是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题的关键．
8．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称的概念对各选项分析判断即可求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9．如图，，点，在边上，点在边上．将沿折叠，恰好与重合，将沿折叠，恰好与重合．下列结论：www-2-1-cnjy-com
①②③④⑤
正确的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】
将△ABD沿着AD翻折，可得AB＝AE，∠B＝∠AEB，将△CEF沿着EF翻折，可得AE＝CE，∠C＝∠CAE，可得∠B＝2∠C．
【详解】
解：∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，
∴AB＝AE，∠B＝∠AEB，
∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合，
∴AE＝CE，∠C＝∠CAE，
∴AB＝EC，∴②正确；
∵∠AEB＝∠C＋∠CAE＝2∠C，
∴∠B＝2∠C，
故⑤正确；其余的都无法推导得出，
故选：A．
【点睛】
本题考查翻折变换，三角形外角性质等知识，掌握旋转的性质是本题的关键．
10．下列命题正确的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等 B．面积相等的两个三角形全等
C．两个全等三角形一定成轴对称 D．所有等腰三角形都只有一条对称轴
【答案】A
【分析】
分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可．
【详解】
解：A、全等三角形的对应 ( http: / / www.21cnjy.com )边相等，是真命题；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
C、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；
D、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键．
11．如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．60° C．50° D．55°
【答案】B
【分析】
根据折叠的性质得到∠AEF=，，根据得到，即可求出答案．
【详解】
解：由折叠得：∠AEF=，，
∵，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】
此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=，是解题的关键．
12．如图，在△ABC纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB=9cm，BC=5cm，AC=7cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．9cm B．11cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【分析】
根据折叠的性质得到：DE=CD，BE ( http: / / www.21cnjy.com )=BC=5cm，求出AE=4cm，根据△ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE代入数值计算即可得解．
【详解】
由折叠得：DE=CD，BE=BC=5cm，
∵AB=9cm，
∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm，
∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm，
故选：B．
【点睛】
此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键．
13．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．
【详解】
第一个图案是轴对称图形，
第二个图案不是轴对称图形，
第三个图案是轴对称图形，
第四个图案不是轴对称图形，
综上所述：是轴对称图形的图案有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．
14．下列图案是轴对称图形的是有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
15．如图，与关于直线对称，点为上任一点，下列结论中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．是等腰三角形 B．垂直平分
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在上
【答案】D
【分析】
据对称轴的定义，△ABC与关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．
【详解】
解：∵△ABC与关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AP是等腰三角形，MN垂直平分A，C，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，
直线AB，关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质与运用，掌握 ( http: / / www.21cnjy.com )对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键．
16．如图，与关于直线对称，为上任一点（，，不共线），下列结论中不正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．垂直平分线段
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上
【答案】D
【分析】
利用轴对称的性质解答.
【详解】
解：与关于直线对称，为上任意一点，
垂直平分，
∴,与面积相等，故，，选项不符合题意；
直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意，
故选：D.
【点睛】
此题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等.
17．如图，在中，，平分，交于点．若，，则的值可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
将△ADC沿AD翻折，使点C落在AB边上E点，根据三角形三边关系可确定的取值范围，然后判断即可．
【详解】
解：将△ADC沿AD翻折，使点C落在AB边上E点，
由翻折可知，，
∵，，
∴BD=5，DE=2，
3＜BE＜7，
四个选项中，只有满足条件，
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了轴对称的性质和三角形三边关系，解题关键是通过翻折，转换已知条件，利用三角形三边关系求解．
18．将长为2、宽为a（a大于 ( http: / / www.21cnjy.com )1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2
【答案】B
【分析】
经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另 ( http: / / www.21cnjy.com )一边长为2﹣a；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：第1次操作，剪下的正方形边长为a ( http: / / www.21cnjy.com )，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，
①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣2）＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；
②2a﹣2＞2﹣a，即a＞时
则第3次操作时，剪下的正方形边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣a）＝3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．
故选：B．
【点睛】
本题考查数式规律、图形规律、一元一次方程等知识，其中涉及分类讨论法思想，综合性较强，有点难度，认真审题寻找规律，掌握相关知识是解题的关键.
19．如图，在锐角△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【分析】
根据轴对称的性质作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，得到△PMN，由此解答.
【详解】
解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点 ( http: / / www.21cnjy.com )，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键.
20．如图，等边的边，是上一点，，是边上一动点，将沿直线折叠，的对应点为，则的长度最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作于，再由等边三角形性质，利用勾股定理计算出，再根据在中，，得到当点在上时，的值最小即可解答．
【详解】
解：作于，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在等边的边，
∴BH=4，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
将沿直线折叠，的对应点为，，
，
∵在中，，即，
∴，即当点在上时，的值最小，值为2．
故选：．
【点睛】
本题考查了线段最小值的问题，涉及了等边三角形性质、勾股定理、折叠的性质．解决本题的关键是利用三角形两边之和大于第三边，从而确定在上时的长度最小．
21．如图，直线EF分别交平行四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )边AB、CD于直E、F，将图形沿直线EF对折，点A、D分别落在点A′、D′处．若∠A=60°，AD=4，AB=8，当点A′落在BC边上任意点时，设点P为直线EF上的动点，请直接写出PC+PA′的最小值（）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4+ B．8 C．6+ D．4
【答案】D
【分析】
连接AC交EF于P′，连接P′A ( http: / / www.21cnjy.com )′，作CH⊥AB交AB的延长线于H．因为A、A′关于直线EF对称，推出P′A′=P′A，推出P′A′+P′C=P′A+P′C=AC，推出当点P与P′重合时，PA′+PC的值最小，最小值=AC的长；
【详解】
如图，连接AC交EF于P′，连接P′A′，作CH⊥AB交AB的延长线于H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵A、A′关于直线EF对称，
∴P′A′=P′A，
∴P′A′+P′C=P′A+P′C=AC，
∴当点P与P′重合时，PA′+PC的值最小，最小值=AC的长．
在Rt△BCH中，∵BC=4，∠CBH=60°，
∴BH=2，CH=2，
∴AH=AB+BH=10，
在Rt△ACH中，AC=．
∴PC+PA′的最小值为，
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
22．如图，将图一中的等腰直角三角形纸片ABC，依次沿着折痕DE，FG翻折，得到图二中的五边形ADEGF．若图二中，DF∥EG，点C′，B′恰好都是线段DF的三等分点，GC′交EB′于点O，EG＝4﹣2，则等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4+6 B．4﹣6 C．8+4 D．8﹣4
【答案】A
【分析】
由题意根据折叠得FC＝FC′，DB＝DB′， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C＝∠FC′G＝45°，进而得出四边形CFC′G是菱形，设DC′＝x，表示其它的边长，在等腰直角三角形中，利用边角关系，表示边长，然后在等腰直角三角形ABC中，依据边角关系，距离方程求出未知数，进而求出斜边BC的长．
【详解】
解：由折叠得：FC＝FC′，DB＝DB′，∠C＝∠FC′G＝45°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵DF∥BC，
∴∠FC′G＝∠C′GE＝∠C＝45°，
∴C′G∥AC，
∴四边形CFC′G是菱形，
∴CF＝FC′＝C′G＝GC，
同理：BE＝BD＝DB′＝EB′，
设DC′＝x，则DF＝3x，BE＝CG＝2x，
在等腰直角三角形ADF中，AF＝AD＝DF＝，
∴AC＝AF+FC＝+2x＝，
在在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝BC，
∴＝（4x+4﹣2），
解得：x＝2，
∴BC＝4x+4﹣2＝4+6.
故选：A．
【点睛】
本题考查折叠对称的性质、等腰直角三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、菱形的性质和判定等，设未知数，依据等腰直角三角形的特殊的边角关系，表示边角，建立方程求出结果，并设置参数，继续列出方程是解题的关键．
23．如图，与是两个全等的等边三角形，，下列结论不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．直线垂直平分
C． D．四边形是轴对称图形
【答案】A
【分析】
根据与是两个全等的等边三角形，可得到，，，然后结合，先计算出的大小，便可计算出的大小，从而判定出AD与BC的位置关系及BE与DC的关系，同时也由于与是等腰三角形，也容易确定四边形ABCD的对称性．
【详解】
（1）∵与是两个全等的等边三角形
∴，，
∴
∵
∴
∴，
∴，所以选项A错误；
（2）由（1）得：
∴
∴，所以选项C正确；
（3）延长BE交CD于点F，连接BD．
∵，
∴
∴
∴
即
在与中
∴
∴
∴，综上，BE垂直平分CD,所以答案B正确；
（4）过E作，由得
而和是等腰三角形，则MN垂直平分AD、BC，所以四边形ABCD是軕对称图形，所以选项Ｂ正确．
故选：Ａ
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查的知识点主要是等边三角形的性质，全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的性质与判定，平行四边形的判定及其轴对称图形的定义，添加辅助线构造全等三角形是本题的难点．21教育名师原创作品
24．如图所示，，点为内一点，点关于对称的对称点分别为点，连接，分别与交于点，连接，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，最后利用三角形的内角和定理即可求出．
【详解】
∵
∴
∵，
∴
又∵点关于对称的对称点分别为点
∴，
∴
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查的知识点有三角形的内角和、轴对称的性质，运用这些性质找到相等的角进行角的和差的转化是解题的关键.
25．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．120° B．108° C．110° D．102°
【答案】B
【分析】
连接OB、OC，根据角平分线的定义求出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接OB、OC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°∠BAC）=（180°54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠ACB沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°∠COE∠OCB=180°36°36°=108°；2-1-c-n-j-y
故选：B.
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，线段垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
26．如图，∠AOB＝30°，OC为∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（ ）
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A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】
作点P关于OA的对称点P1， ( http: / / www.21cnjy.com )点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可.
【详解】
解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与0A的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
△MNP的最小周长为P．
M＋MN＋PN=P1M＋MN＋P2N= P1P2，即为线段P1P2的长，
连结OP1、OP2，则OP1=0P2=6，
又∵∠P1OP2=2∠AOB=60。，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=6，
即△MNP的周长的最小值是6．
故选：B．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和的判定以及轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N的位置．
27．如图，在等边三角形ABC中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )D、E分别是边AC、BC上两点.将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF:BF=2:3.若BE=16，则点F到BC边的距离是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作EM⊥AB于M，作FG⊥BC于G，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM=BE=8，ME=BM=，由折叠的性质得出FE=CE，设FE=CE=x，则AB=BC=16+x，得出BF=，求出FM=BF-BM=，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，求出CE，进而得到BF的长，然后利用面积相等，即可求出FG的长．
【详解】
解：作EM⊥AB于M，作FG⊥BC于G，如图所示：
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∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠B=60°，
∵EM⊥AB，
∴∠BEM=30°，
∴BM=BE=8，ME=BM=，
由折叠的性质得：FE=CE，设FE=CE=x，
则AB=BC=16+x，
∵AF：BF=2：3，
∴BF=，
∴FM=BFBM=，
在Rt△EFM中，由勾股定理得：（）2+（）2=x2，
解得：x=19，或x=-16（舍去），
∴CE=19，BF=；
在△BEF中，有
，
∴，
即点F到BC的距离为；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
28．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（ ）
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A．32° B．64° C．65° D．70°
【答案】B
【分析】
此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案
【详解】
如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置
( http: / / www.21cnjy.com / )
∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH
∠1=180-∠BEH-∠DEH=180-2∠DEH
∠2=180-∠D-∠DEH-∠EHF
=180-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)
=180-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）
=180-32°-∠DEH-32°-∠DEH
=180-64°-2∠DEH
∠1-∠2=180-2∠DEH-(180-64°-2∠DEH)
=180-2∠DEH-180+64°+2∠DEH
=64°
故选B
【点睛】
此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键
29．如图，一张长方形纸沿 ( http: / / www.21cnjy.com )AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）．则∠OCD等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．108° B．114° C．126° D．129°
【答案】C
【分析】
按照如图所示的方法折叠,剪开,把相关字母标上,易得∠ODC和∠DOC的度数,利用三角形的内角和定理可得∠OCD的度数．21*cnjy*com
【详解】
解:展开如图,五角星的每个角的度数是, ( http: / / www.21cnjy.com / )
=36°.
∵∠COD=360°÷10=36°,∠ODC=36°÷2=18°,
∴∠OCD=180°-36°-18°=126°,故选C．
【点睛】
本题主要考查轴对称性质,解决本题的关键是能够理解所求的角是五角星的哪个角,解题时可以结合正五边形的性质解决．
30．如图，∠AOB＝30 ， ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB 内有一定点 P，且 OP＝12，在 OA 上有一动点 Q，OB 上有 一动点 R．若△PQR 周长最小，则最小周长是( )
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A．6 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【详解】
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作点P 关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连=接OE、OF，
∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，
同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，
∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=12，
∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12.
故选B.
点睛：本题关键在于利用轴对称的性质确定△PQR 周长最小时点Q、R的位置，再结合等边三角形的判定求出△PQR 的周长.
31．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
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A． B． C．6 D．3
【答案】D
【解析】
分析：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．
详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH=OC=，
CH=OH=,
∴CD=2CH=3．
故选D．
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点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
二、填空题
32．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是_________度．
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【答案】123
【分析】
由题意根据折叠的性质可得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )DEF=∠EFB=19°，图2中根据平行线的性质可得∠GFC=142°，图3中根据角的和差关系可得∠CFE=∠GFC-∠EFG．
【详解】
解：∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB=19°，
在图2中，∠GFC=180°-∠FGD=180°-2∠EFG=142°，
在图3中，∠CFE=∠GFC-∠EFG=123°．
故答案为：123．
【点睛】
本题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
33．如图，把一张长方形的纸条按图那样折叠后，B．C两点落在，点处，若得＝， 则∠余角的度数为_____°．
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【答案】22
【分析】
根据折叠的性质计算即可；
【详解】
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴∠余角的度数；
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质应用，结合余角的性质求解是解题的关键．
34．如图，将长方形纸片的一角折叠 ( http: / / www.21cnjy.com )，使顶点A落在F处，折痕为BC．作∠FBD的平分线BE，则∠CBE的度数为__；现将∠FBD沿BF折叠使BE、BD落在∠FBC的内部，且折叠后的BE交CF于点M，BD交CF于点N，若BN平分∠CBM，则∠ABC的度数为__．
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【答案】
【分析】
由折叠知∠ABC＝∠FBC＝∠ABF，由BE平分∠FBD知∠FBE＝∠FBD，由∠ABF+∠FBD＝180°可得答案；设∠DBE＝∠EBF＝x．根据折叠的性质构建方程求出x，即可解决问题．
【详解】
解：由折叠知∠ABC＝∠FBC＝∠ABF，
∵BE平分∠FBD，
∴∠FBE＝∠FBD，
∵∠ABF+∠FBD＝180°，
∴∠ABF+∠FBD＝90°，即∠FBC+∠FBE＝90°，
∴∠CBE＝90°，
如图，设∠DBE＝∠EBF＝x．
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∵∠FBD′是由∠FBD沿BF翻折得到，
∴∠MBF＝∠MBN＝x，
∵BN平分∠CBM，
∴∠CBN＝∠MBN＝x，
∴∠CBF＝3x，
∵△CBF是由△CBA翻折得到，
∴∠ABC＝∠CBF＝3x，
∵∠ABF+∠FBD＝180°，
∴8x＝180°，
∴x＝22.5°，
∴∠ABC＝3x＝67.5°，
故答案为：90°，67.5°．
【点睛】
本题考查了角的计算，理解角平分线的定义，折叠的意义，是解题关键．
35．如图，在中，，，点在边上，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的周长的最小值是______．
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【答案】
【分析】
根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合 ( http: / / www.21cnjy.com )时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．
【详解】
解：由题，关于对称，
∴出当P和D重合时，PE+BP的值最小，最小值为BC，
∴
∵翻折，
∴，，
∴在中，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称之最短路线问题，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置．
36．如图，在长方形纸片ABCD中，点E在边AD上，点F，G分别在边AB，CD上，分别以EF，EG为折痕进行折叠并压平，点A，D的对应点分别是点，．若平分，且在内部，设，则的度数为__________．（用含n的代数式表示）
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【答案】
【分析】
结合图形，先表示出∠A′EF+∠D′EG的度数，再根据∠FEG=∠A′EF+∠D′EG+∠A′ED′求解可得．
【详解】
解：∵∠AEA′+∠DED′-∠A′ED′=180°，∠A′ED′=n°，
∴∠AEA′+∠DED′=180°+n°，
∵2∠A′EF=∠AEA′，2∠D′EG=∠DED′，
∴∠A′EF+∠D′EG=，
∴∠FEG=∠A′EF+∠D′EG-∠A′ED′．
故答案为：．
【点睛】
考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握翻折变换的性质、角度的和差倍分运算等知识点．
37．如图，在中，，是边的中点，垂直平分边，动点在直线上，若，，则线段的最小值为______．21·cn·jy·com
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【答案】14
【分析】
根据三角形的面积公式得到AD=14，由E ( http: / / www.21cnjy.com )F垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．21*cnjy*com
【详解】
解：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
又∵BC=12，S△ABC=84，
∴×12×AD=84，
∴AD=14，
∵EF垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PD=PA+PD，
∴当A，P，D在同一直线上时，PB+PD=PA+PD=AD，
即AD的长度=PB+PD的最小值，
∴PB+PD的最小值为14，
故答案为：14．
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【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，线 ( http: / / www.21cnjy.com )段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
38．如图，在Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB＝90°，AB＝5，BC＝3．若点D是AB边上任意一点，且不与点A、B重合，连接CD．将△BCD沿着CD所在的直线翻折，使得点B落在点B′处，连接AB′，则AB′的最小值为________．
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【答案】1
【分析】
根据题意可分析得出的长度固定，要使得的值最小，则使得的值最小即可，然后根据“两点之间，线段最短”可知当A、、C三点共线时，最小，即可求解．
【详解】
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：，由对称性可知：，
∵的长度固定，
∴当的值最小时，的值最小，根据“两点之间，线段最短”可知当A、、C三点共线时，最小，
∴．
【点睛】
本题考查三角形的翻折问题，能够根据题意准确分析并转换最短时所求线段的值是解题关键．
39．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_________．
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【答案】126°
【分析】
先由平行线的性质得出∠B ( http: / / www.21cnjy.com )FE=∠DEF=18°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，由∠CFE=∠CFG-∠EFG即可得出答案．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=18°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×18°=126°，
故答案为：126°．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
40．如图，在△ABC中，∠BAC=7 ( http: / / www.21cnjy.com )5°，BC=3，△ABC的面积是12，D为BC边上一动点（不与B、C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积的最小值____．
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【答案】16
【分析】
如图，作E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，利用折叠的性质得出AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，然后进一步得出EG＝AE＝AD，根据当AD⊥BC时，AD最短进一步求取最小值即可．
【详解】
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如图，过E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，
由折叠可得，AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，
又∵∠BAC＝75°，
∴∠EAF＝150°，
∴∠EAG＝30°，
∴EG＝AE＝AD，
当AD⊥BC时，AD最短，
∵BC＝3，△ABC的面积为12，
∴当AD⊥BC时，AD＝8＝AE＝AF，
∴△AEF的面积最小值为： AF×EG＝×8×4＝16，
故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查了几何折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键．
41．如图，分别以的边，所在直线为称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分：④；③．其中正确的结论个数为______．
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【答案】3
【分析】
根据轴对称的性质以及全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】
解：和是的轴对称图形，
，，，
，故①正确；
，
由翻折的性质得，，
又，
，故②正确；
，
，，
边上的高与边上的高相等，
即点到两边的距离相等，
平分，故③正确；
只有当时，，才有，故④错误；
在和中，，，，，
，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
42．如图，△ABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC＝62°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．
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【答案】124
【分析】
连接OB、OC，根据角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接OB、OC，
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∵∠BAC＝62°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×62°＝31°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180° ∠BAC）＝（180° 62°）＝59°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝31°，
∴∠OBC＝∠ABC ∠ABO＝59° 31°＝28°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝28°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝28°，
在△OCE中，∠OEC＝180° ∠COE ∠OCB＝180° 28° 28°＝124°，
故答案为：124．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，线段垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
43．如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使点落在点处，连接、，当是等腰直角三角形时，的长为________．
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【答案】
【分析】
由，，,可得∠BAC=30°,又由是的中点,可得DA=BD=AB=2,再根据将沿翻折，使点落在点处，可得D=2,则∠BAC=90°, AD=D=2；又是等腰直角三角形，则∠AC=45°，即可求得∠AB=∠DA=15°,再由三角形外角的定义可得∠DB=30°，作BF⊥A’D，得到BF=BD=1，DF= ，在Rt△A’BF中，求出A’B．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵，，
∴sin∠BAC=
∴∠BAC=30°,
∵是的中点
∴DA=BD=AB=2
∵将沿翻折，使点落在点处，
∴D=2
∴DA=BD=D=2
∴∠BAC=90°, ∠AB=∠DA
又∵是等腰直角三角形
∴∠AC=45°
∴∠AB=∠DA=∠AC -∠BAC =15°,
∴∠DB=∠AB+∠DA=30°
作BF⊥A’D
∴BF=BD=1，DF=
∴AF’=2-
在Rt△A’BF中
A’B=
故答案为．
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【点睛】
本题考查了图形的旋转和直角三角形的性质，掌握旋转的性质和理解直角三角形中30°所对的边为斜边的一半是解答本题的关键．21教育网
44．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为__________．
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【答案】或1．
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时；②当点B′落在AD边上时；分别求出BE的长度，即可得到答案.
【详解】
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，
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在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，
∴AC=，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=1，
∴CB′=，
设BE=x，则EB′=x，CE=2-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+（）2=（2-x）2，
解得x=，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
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∴BE=AB=1．
故答案为：或1．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．【版权所有：21教育】
45．如图，点是内任意一点，，点与点关于射线对称，点与点关于射线对称，连接交于点，交于点，当的周长是5时，的度数是______度．
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【答案】30
【分析】
根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出，，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，求出△COD是等边三角形，即可得出答案．
【详解】
解：如图示：连接OC，OD，
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∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，
∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，
∵OP=5cm，
∴，，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，
∵△PEF的周长是5cm，
∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，
∴CD=OD=OD=5cm，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴，
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD是等边三角形是解此题的关键．
三、解答题
46．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB ( http: / / www.21cnjy.com )上，点F、G在边CD上，连接EF、EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
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【答案】（1）90°；（2）105°．
【分析】
（1）由对折得EN平分∠AEF，EM平分∠BEF，可得∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF，从而可得：∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB，结合平角的定义可得答案；【出处：21教育名师】
（2）由对折可得EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，证明∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，可得∠NEF+∠MEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG），从而可得答案．
【详解】
解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF
∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF
∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB
∵∠AEB＝180°
∴∠MEN＝×180°＝90°
（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG
∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG
∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°
∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°．
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，角的和差，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
47．如图，在长方形中，点是边上一个定点，点是边上一个动点，连结，将沿折叠至．
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（1）若比大，求的大小．
（2）连结，若，请判断和的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）125°；（2）∠B′PD=∠CPD，理由见解析
【分析】
（1）根据折叠的性质可得∠BEP=∠B′EP，根据平角的定义得到∠BEP=55°，从而计算∠AEP；
（2）根据互余的性质得到∠BPE+∠CPD=90°，再根据折叠可知∠BPE=∠EPB′，从而证明∠B′PD=∠CPD．
【详解】
解：（1）∵∠AEB′=∠BEP+15°，
由折叠的性质可知：∠BEP=∠B′EP，
∴∠AEB′+∠B′EP+∠BEP=180°，
∴3∠BEP+15°=180°，
∴∠BEP=55°，
∴∠AEP=2∠BEP+15°=125°；
（2）∠B′PD=∠CPD，理由是：
∵PD⊥PE，
∴∠EPB′+∠B′PD=90°，
∴∠BPE+∠CPD=90°，
由折叠可知：
∠BPE=∠EPB′，
∴∠B′PD=∠CPD．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，角的和差，解题的关键是根据折叠的性质得到对应角相等．
48．如图，四边形ABCD中，AD∥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC=20°，求∠EBD的度数．21cnjy.com
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【答案】
【分析】
根据AD∥BC，DC⊥BC，∠EBC ( http: / / www.21cnjy.com )=20°，再利用三角形外角的性质，可求得∠DEB的度数，由折叠的性质，可得：∠A=∠DEB=110°，∠ABD=∠EBD，继而求得∠EBD的度数．
【详解】
解：∵AD∥BC，DC⊥BC，
∴∠C=90°，
∵∠EBC=20°，
∴∠DEB=∠EBC +∠C=20°+90°=110°，
由折叠的性质可得：∠A=∠DEB =110°，∠ABD=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°，
∴∠EBD=．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
49．如图，在中，，，点E为线段的中点，点F在边上，连结，沿将折叠得到．
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（1）如图1，当点P落在上时，求的度数．
（2）如图2，当时，求的度数．
【答案】（1）90°；（2）60°
【分析】
（1）证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
（2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC，从而得到∠AEF和∠PEF，再根据平角的定义求出∠BEP．
【详解】
解：（1）如图1中，∵折叠，
∴△AEF≌△PEF，
( http: / / www.21cnjy.com )∴AE=EP，
∵点E是AB中点，即AE=EB，
∴BE=EP，
∴∠EPB=∠B=45°，
∴∠PEB=90°，
∴∠AEP=180°-90°=90°．
（2）∵PF⊥AC，
∴∠PFA=90°，
∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
∴△AEF≌△PEF，
∴∠AFE=∠PFE=45°，
∵∠B=45°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，
∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°，
∴∠BEP=180°-60°-60°=60°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形内角和，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．
50．生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图① ② ③ ④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）：
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如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，分别回答下列问题：
（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点与点的距离为3厘米，那么在图②中，__________厘米；在图③中，__________厘米；在图④中，__________厘米．
（2）如果长方形纸条的宽为厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离（结果用表示）．
【答案】（1）21；19；15；（2）（13 x）厘米．
【分析】
（1）结合图形、根据旋转的性质计算即可；
（2）根据纸条两端超出点P的长度相等、轴对称图形的概念计算即可．
【详解】
解：（1）图②中BE=AB-AM-EM=26-3-2=21厘米，
图③中BF=26-3-2-2=19 厘米，
图④中BM=26-3-2-2-2-2=15厘米，
故答案为：21；19；15；
（2）因为图④为轴对称图形
所以，，
即开始折叠时点M与点A的距离是（13 x）厘米．
【点睛】
本题考查的旋转变换的性质、轴对称图形的概念，正确根据题意列出代数式是解题的关键．
51．已知，射线是直线右侧一动点，连接是射线上一动点，过点的直线分别与交于点，与射线交于点，设．
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（1）如图1，当点在之间时，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，作关于直线对称的，
求证：；
（3）如图3，当点在上方时，作关于直线对称的，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出之间数量关系，以及与之间数量关系．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）；
【分析】
（1）延长交于点，由题意易得，然后根据三角形外角的性质可求证；
（2）由题意易得，则有，进而可得，然后根据角的关系可求解；
（3）如图所示，∠2=∠5，由三角形外角的性质可得，进而问题可求解．
【详解】
（1）证明：如图1，延长交于点，
，
，
，
；
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（2）证明：与关于对称，
．
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
；
（3）不成立，；，如图所示：
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∵AB∥DC，
∴∠2=∠5，
∵，
∴，
∵，由折叠的性质可得，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质、折叠的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质、折叠的性质是解题的关键．
52．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”（本题中所有角都是大于且小于的角）
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图1 图2 图3
（1）若和互为“互优角”，当时，则________；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着对折，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，则的度数为________；
（3）再将纸片沿着对折（点在线段或上），使点落在．
①如图2，若点，，在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数（对折时，线段落在内部）；
②若与互为“互优角”，则与应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．
【答案】（1）30°或150°；（2）40°或80°；（3）①∠EPF=80°；②∠BPE+∠CPF的度数为60°或100°或140°．
【分析】
（1）按照“互优角”的定义写出式子，解方程即求出∠2；
（2）由∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°=180°即可求；
（3）①由∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC=180°，即可求；
②分三种情况讨论，根据折叠的性质以及平角的性质即可求．
【详解】
解：（1）∵∠1和∠2互为“互优角”，∠1=90°，
∴|∠1-∠2|=60°，
∴90°-∠2=60°或90°-∠2=-60°，
解得：∠2=30°或150°，
故答案为：30°或150°；
（2）∵∠EPB′与∠B′PC互为“互优角”，
当∠EPB′＜∠B′PC时，∠B′PC-∠EPB′=60°，
∴∠B′PC=∠EPB′+60°，
∵△BEP翻折得△B'EP，
∴∠EPB=∠EPB'，
∵∠EPB+∠EPB'+∠B′PC=180°，
∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°=180°，
解得：∠EPB′=40°；
当∠EPB′＞∠B′PC时，∠EPB′-∠B′PC=60°，
同理可得∠EPB′=80°．
综上所述，∠EPB的值为40°或80°；
故答案为：40°或80°；
（3）①∵点E、C′、P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∵对折时，线段落在内部
∴∠B′PC′＜∠EPF，∠EPF-∠B′PC′=60°=∠B′PF，
∵∠BPE=∠B′PE=∠EPF-60°，∠FPC=∠EPF，
∴∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC=180°，
∴∠EPF-60°+∠EPF+∠EPF=180°，
解得∠EPF=80°；
②当点F在边CD上时，如图：
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显然∠EPF>∠B′PC′，
∵∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠EPF-∠B′P′C=60°，
根据折叠的性质：∠B′PE=∠1，∠FPC′=∠2，
∴∠EPF=∠1+∠2+∠B′P′C，
∴∠EPF-∠B′P′C=∠1+∠2+∠B′P′C-∠B′P′C=∠1+∠2=60°，
即∠BPE+∠CPF=60°；
当点F在边AD上，且当∠EPF>∠B′PC′时，如图：
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∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠EPF-∠B′P′C =60°，
根据折叠的性质：∠B′PE=∠1，∠FPC′=∠2，
∴∠EPF=∠1+∠2-∠B′P′C，
∴∠EPF-∠B′P′C =∠1+∠2-2∠B′P′C =60°，
∠1+∠EPF+∠2=∠1+∠1+∠2-∠B′P′C+∠2=2(∠1+∠2) -∠B′P′C=180°，
解得：∠1+∠2=100°，
即∠BPE+∠CPF=100°；
当点F在边AD上，且当∠EPF<∠B′PC′时，如图：
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∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠B′P′C-∠EPF =60°，
根据折叠的性质：∠B′PE=∠1，∠FPC′=∠2，
∴∠EPF=∠1+∠2-∠B′P′C，
∴∠B′P′C-∠EPF =∠1+∠2-2∠EPF =60°，
∠1+∠EPF+∠2=180°，
解得：∠1+∠2=140°，
即∠BPE+∠CPF=140°；
故∠BPE+∠CPF的度数为60°或100°或140°．
【点睛】
本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角 ( http: / / www.21cnjy.com )”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．21·世纪*教育网
53．已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．
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（1）当，时，求线段FD的长度；
（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；
（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．
【答案】（1）4；（2）图见解析，或；（3）=
【分析】
（1）根据折叠的性质可得AF=AB=6，从而求出结论；
（2）根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出FD和DG，根据题意列出方程即可求出结论；
（3）过点H作HM⊥EF于M，根据用a和b表示出S△HFE和S四边形ABCD，结合已知等式即可求出结论．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得AF=AB=6
∵
∴FD=AD－AF=4；
（2）若点G落在线段FD上时，如下图所示
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由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FD－FG=10－2x
∵
∴
解得：；
若点G落在线段FD的延长线上时，如下图所示
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由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FG－FD=2x－10
∵
∴
解得：；
综上：或；
（3）如下图所示，过点H作HM⊥EF于M
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∴HM=FD，
由题意可知：AF=AB=b，EF=AB=b，
∴FD=AD－AF=a－b
∴HM=a－b
∴S△HFE=EF·HM=b（a－b），S四边形ABCD=AD·AB=ab
∵
∴
整理可得：
∴=．
【点睛】
此题考查的是一元一次方程的应用，掌握折叠的性质是解题关键．
54．如图1，在平面直角坐标系中，A（8，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC是AB边上的高．
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（1）则点C的横坐标________；
（2）图2中，作点C关于y轴对称点D，连接DA，DC分别交OB于点E，F，求证：OE=EF．
（3）图3中，在OC上取点M，连接BM，以BM为边向右作等边△BMN，连接AN，CN；
①求证：OA⊥AN；
②当△BCN周长的最小值时，求∠BNC的度数．
【答案】（1）6；（2）见解析；（3）①见解析；②60°
【分析】
（1）如图1中，过点C作CQ⊥OA于点Q，求出OQ即可；
（2）由△DEF≌△AEO，即可推出OE=FE；
（3）①只要证明△OBM≌△ABN，可得∠MOB=∠NAB，由OA=OB，OC是AB边上的高推出∠NAB=∠MOB=∠BOA=30°，由此即可解决问题；
②当MN经过点C时，作长CC′//OA，交BN的延长线于C′，证明点C与点C′关于AN对称，即可求解；
【详解】
（1）解：如图1中，过点C作CQ⊥OA于点Q，
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∵△ABC为等边三角形，OC是AB边上的高，
∴∠AOC=30°，∠CAO=60°，
∴∠ACQ=30°，
则AQ=AC=OA，
∵A(8，0)，
∴OA=AB=OB=8，
∴AC=4，
∴AQ=2，OQ=6，
即点C的横坐标为6．
（2）如图2中，
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∵点C、D关于y轴对称，则CD∥OA，
∴∠D=∠OAE，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠BFC=∠BOA=∠BAO=∠BCF=60°
∴△BFC为等边三角形，FB=FC=BC=2
DF=DC-FC=6-2=4，又OA=4
∴DF=OA
在△DEF和△AEO中
，
∴△DEF≌△AEO，
∴OE=FE．
（3）①证明：如图3中，
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∵△OAB、△BMN为等边三角形，
∴BO=BA，BM=BN，∠OBA=∠MBN=∠BOA=∠BAO=60°，
∴∠OBM=∠ABN，
在△OBM和△ABN中
，
∴△OBM≌△ABN，
∴∠MOB=∠NAB，
∵OA=OB，OC是AB边上的高，
∴∠NAB=∠MOB=∠BOA=30°，
∴∠OAN=∠BAO+∠NAB=90°，即OA⊥AN．
②如图4，当MN经过点C时，作长CC′//OA，交BN的延长线于C′，
∴∠NCC′=∠AOC=30°，∠CEN=90°，
∴∠BNM=60°，
∴∠CNC′=120°，
∴∠C′=30°，
∴∠NCC′=∠C′，
∴点C与点C′关于AN对称，
∴此时BN+NC=BC′最短，即△BCN周长的最小，
∴当△BCN周长最小时，∠BNC=∠BNM =60°．
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【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的性质，全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的性质和判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形、利用轴对称的性质解决问题．
55．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．
（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．
（2）当AC=8，BC=6 ( http: / / www.21cnjy.com )时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．【来源：21cnj*y.co*m】
①CM= ，当N在F→C路径上时，CN= ．（用含t的代数式表示）
②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．
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【答案】（1）证明见解析；（2）①CM=，CN=；②t=3.5或5或6.5．
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠DA ( http: / / www.21cnjy.com )C=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）①由折叠的性质可得出答案；
②动点N沿F→C路径运动，点N沿C→B路径运动，点N沿B→C路径运动，点N沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．
【详解】
（1）∵AD⊥直线，BE⊥直线，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）①由题意得，AM=t，FN=3t，
则CM=8-t，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t；
故答案为：8-t；6-3t；
②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE，
∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，
∴∠NCE=∠CMD，
∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N沿F→C路径运动时，8-t=6-3t，
解得，t=-1（不合题意），
当点N沿C→B路径运动时，CN=3t-6，
则8-t=3t-6，
解得，t=3.5 ( http: / / www.21cnjy.com )，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-3t，
解得，t=5，
当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8-t=3t-18，
解得，t=6.5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
56．综合与探究
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如图1，在四边形中，，，.
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，把四边形沿（在边上，在边上）折叠（折叠前后对应角相等），使点分别落在处，交于点.若，请求出的度数；
（3）在（2）的条件下，试探究与之间有何数量关系？并说明理由.
【答案】（1）；（2）48° ；（3），理由见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质求出∠C，再得出∠ABC的度数；
（2）由得出，根据折叠的性质推出，再根据平行线的性质得到即可；
（3）利用平行线的性质得到和，再根据折叠的性质得到，即可得到与之间的数量关系.
【详解】
解：（1）∵，
∴
（两直线平行，同旁内角互补）.
∵，
∴
（两直线平行，同旁内角互补）.
（2）∵，
∴（两直线平行，内错角相等）
，
∵折叠后对应角相等，
∴，，
∴，
∴，
∴（两直线平行，内错角相等）.
（3）.
理由如下：∵，
∴，
，
由折叠知，
即.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是利用折叠得出角相等，结合平行线的性质解决.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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