第三讲 简单的轴对称图形(基础讲解)（含解析）

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第三讲 简单的轴对称图形
【学习目标】
1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称以及轴对称图形的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．
2．探索轴对称的基本性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．
【知识总结】
一、等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线．
二、等腰三角形的性质
1．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．21教育网
2．等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)．
三、等边三角形
三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形．
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．
等边三角形的性质定理：等边三角形的每个角都相等，并且都等于60°.
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的所有性质，如“三线合一”，但等腰三角形不一定具有等边三角形的性质21cnjy.com
四、线段的对称性及线段垂直平分线的性质
1、线段是轴对称图形，它的一条对称轴是这条线段的垂直平分线，另一条对称轴是线段所在的直线。
2、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (线段垂直平分线的性质定理)．
五、角的轴对称性
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
六、角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
【典型例题】
【类型】一、等腰三角形的性质及应用
例1、等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个角的度数为_____．
[答案] 50°，80°或65°，65°
[解析] 本题可根据三角形的内角和定 ( http: / / www.21cnjy.com )理求解．由于50°角可能是顶角，也可能是底角，因此要分类讨论．当50°是底角时，顶角为180°－50°×2＝80°，则其余两个角的度数为50°，80°；当50°是顶角时，底角为(180°－50°)÷2＝65°，则其余两个角的度数为65°，65°.2·1·c·n·j·y
[归纳总结] (1)已知的边没确定为底边或腰时，要分情况讨论求解，并注意三角形的三边关系这一隐含条件．
(2)等腰三角形是一种特殊的三角形，它 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个底角相等．因此，知道它的任何一个内角的度数都可以求出另外两个角的度数．若已知的角是锐角，则有两种情况；若已知的角是钝角，则只有一种情况，其根据是三角形内角和为180°.21世纪教育网版权所有
例2、如图5－3－20所示，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点，AF与CD有什么位置关系？请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
图5－3－20
[解析] 连接AC，AD，易得△ABC≌△AED，所以AC＝AD.
再由等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥CD.
解： AF⊥CD.
理由如下：连接AC，AD(如图所示)．
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS)， ∴AC＝AD(全等三角形对应边相等)．
∵F是CD的中点， ∴AF⊥CD(等腰三角形三线合一)．
图5－3－21
[归纳总结] 等腰(边)三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形是一种特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰(边)三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰(边)三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地得出结论．常用的辅助线有：(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线；(2)在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题．21·世纪*教育网
【类型】二、用轴对称破解最短路径问题
例3、 如图5－3－22，已知牧马营地在点M处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水．
(1)试画出到河边饮水的最短路线；
(2)如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图．
图5－3－22
[解析] 这是一道实际问题，从 ( http: / / www.21cnjy.com )中抽象出数学问题是解题的首要．(1)可抽象为点M到直线a的最短距离．(2)可抽象得到这样的数学模型：直线a，b间有一点M，试分别在a，b上求出两点，使M点与这两点构成的三角形的周长最短．要求周长最短，即要求三条线段的和最小，结合题意，可利用轴对称的性质转化为两点之间线段最短的问题．21*cnjy*com
解： (1)如图①，过点M作MP⊥a于点P，MP即为最短路线．
(2)如图②，分别作点M关于a，b的对称点A，B，连接AB分别交a，b于点C，D，则最短的牧马路线为M→C→D→M.【来源：21cnj*y.co*m】
图5－3－23
[归纳总结] 大家知道“两点之间线段最短” ( http: / / www.21cnjy.com )是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，我们常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，要解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离问题．【版权所有：21教育】
【类型】三、线段垂直平分线的性质的运用
例1、如图5－3－53所示，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC是等腰三角形，AB，AC都是腰，DE是AB的垂直平分线，BE＋CE＝12，BC＝8，求△ABC的周长．21教育名师原创作品
图5－3－53
[解析] 本题依据线段垂直平分线的性质可以得到．
解： 因为DE是AB的垂直平分线，
所以AE＝BE，
所以AE＋CE＝12＝AC.因为△ABC是等腰三角形，
所以AB＝AC＝12，
所以△ABC的周长是AB＋AC＋BC＝12＋12＋8＝32.
[归纳总结] 应用线段垂直平分线的性质要注意两点：(1)点一定在垂直平分线上；(2)距离指的是点到线段两个端点的距离．21·cn·jy·com
【类型】四、线段垂直平分线性质的实际应用
例2、如图5－3－54是某城 ( http: / / www.21cnjy.com )区的三所小学A，B，C的分布示意图，现准备修建一座儿童游乐中心P.若要使三所学校到儿童游乐中心的距离相等，则儿童游乐中心应修在何处？2-1-c-n-j-y
图5－3－54 图5－3－55
[解析] 要修一点P，使它到 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B，C三点的距离相等，即PA＝PB＝PC，可先找出到A，B两点距离相等的点，就是作线段AB的垂直平分线EF；再找出到B， C两点距离相等的点，就是作线段BC的垂直平分线MN.直线EF，MN的交点即儿童游乐中心P的所建地．21*cnjy*com
解： 如图5－3－55所示，分别作线段AB，BC的垂直平分线EF，MN，EF与MN相交于点P，点P即为所求．
[归纳总结] 解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，体现了数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务．
【类型】五、角平分线的性质的运用
例1、如图5－3－81所示，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点．
(1)∠A＝70°，求∠BOC.
(2)如果OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，OD与OE是否相等？为什么？
图5－3－81
[解析] (1)利用三角形内角和定理解题．
(2)利用角平分线的性质解题，过点O作OF⊥BC，垂足为F.
解： (1)因为OB，OC分别是∠ABC， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB的平分线，所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB. 又因为∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB，www-2-1-cnjy-com
所以∠BOC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)．
又因为∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
所以∠BOC＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A＝90°＋×70°＝125°.
图5－3－82
(2)OD＝OE.理由如下： 过点O作OF⊥BC，垂足为F.
因为OB平分∠ABC，所以OD＝OF. 又因为OC平分∠ACB，
所以OE＝OF.所以OD＝OE.
[归纳总结] 遇见角平分线，取平分线上的点向角的两边作垂线段是常见的作辅助线的方法．
【类型】六、角平分线性质在实际生活中的应用
例2、如图5－3－83，两条公路OA ( http: / / www.21cnjy.com )和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要在∠AOB的内部修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离也相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)【出处：21教育名师】
图5－3－83 图5－3－84
[解析] 根据角平分线上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，作∠AOB的平分线与CD的垂直平分线，交点就是货站的位置．
解： 如图5－3－84，作∠AOB的平分线OH，CD的垂直平分线EF，
OH与EF的交点P就是货站的位置．
所以点P就是所要求作的点．
[归纳总结] 本题主要考查线段的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线、角平分线的画法和性质，借助其画法可知垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，有关垂直平分线、角平分线的题，关键是要把握它的性质及与它有关的基本作图步骤、技巧．www.21-cn-jy.com
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