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第三讲 简单的轴对称图形
一、单选题
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．下列图案，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列图形属于轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
8．下列交通标志中是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．下列图形是轴对称图形的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
11．三角形的角平分线、中线、高线（ ）
A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段
C．高线是直线，其余为线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段
12．在如图所示的低碳、节水、节能和绿色食品这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
13．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
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A．1 B．2 C． D．4
14．下列建筑物小图标中，其中是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
15．下列叙述正确的是（ ）
①三角形的中线、角平分线都是射线； ( http: / / www.21cnjy.com )②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点；④三角形的三条角平分线交于一点．21cnjy.com
A．②④ B．①②④ C．③④ D．④
16．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
17．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
18．如图，是的平分线，则下列说法错误的是（ ）
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A． B．
C． D．
19．下列几何图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
20．下图中为轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
21．小丽从笔袋中拿出下列四件学习用具，从总体外形上看，一定不是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
22．以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错误的是（ ）．
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）21·cn·jy·com
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A．15 B．30 C．12 D．10
24．在以下的标志中，是轴对称的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
25．下列图形是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
26．下列四个图形，不是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
27．下列电视台标志中是轴对称图象的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
28．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．圆 B．线段 C．角 D．平行四边形
29．对称现象无处不在，请你观察下面4个汽车标致图案，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．三角形的重心是（ ）
A．三角形三边的高所在直线的交点
B．三角形的三条中线的交点
C．三角形的三条内角平分线的交点
D．三角形三边中垂线的交点
31．三角形的角平分线、中线和高都是 ( )
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对
32．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A．梯形 B．圆 C．等边三角形 D．线段
33．下列疫情防控知识图片是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
34．如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
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尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制 B．的长
C．的长 D．连接，则垂直平分
35．如图，在4×4的正方形网格中，已将图中 ( http: / / www.21cnjy.com )的三个小正方形涂上阴影，若再将图中其余小正方形任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．5个 C．4个 D．3个
36．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）www.21-cn-jy.com
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
37．等腰三角形的两边，满足，则它的周长是（ ）
A．17 B．13或17 C．13 D．19
38．剪纸是我国传统的民间艺术．将 ( http: / / www.21cnjy.com )一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
39．如图，在中，的平分线和的外角平分线交于，已知，则（ ）
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A． B． C． D．
40．如图，平分交于点，于点，于点，若，，，则的长是 ( )
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A． B． C． D．
41．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ）
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A． B． C． D．
42．下例各时刻是轴对称图形的为（ ）
A．13:08 B．12:21 C．12:50 D．10:50
43．从如图，在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
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A． B． C． D．
44．如图，图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里涂黑两个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．10种 B．5种 C．7种 D．9种
45．如图，点P是∠AOB内任意 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）21·世纪*教育网
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A．25° B．30° C．35° D．40°
46．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②AG+DF=FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG= S△FGH．其中正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
47．如图，在四边形ABCD中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C＝50°,∠B＝∠D＝90°，点E、F分别是线段BC、DC上的的动点．当三角形AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）【出处：21教育名师】
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A．80° B．70° C．60° D．50°
第II卷（非选择题）
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二、填空题
48．如图，是的平分线上一点，于点，是射线上一个动点，若，则的最小值为______．21教育名师原创作品
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49．如果长方形的长和宽不相等，那么它有______条对称轴．
50．点P（﹣1，﹣7）关于y轴对称的点的坐标是_____．
51．在平行四边形、等腰三角形、矩形、菱形四个图形中是轴对称图形的有__________个.
52．已知点P（a﹣1，5）和Q（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2014＝_____．
53．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，则ABD的面积为_____．
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54．如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，则的面积是_______________________．www-2-1-cnjy-com
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55．如图，已知OC是∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )B的角平分线，点D、F分别是射线OC、OA的动点，DE⊥OB于E且DE＝3cm，则线段DF的最小值是______cm．【版权所有：21教育】
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56．如图，AD是的角平分线，，，则D到AB的距离是________．
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57．如图，点O在ABC内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．
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58．如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点；下列结论：21*cnjy*com
①；
②；
③；
④；
其中正确的结论有__________．
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59．中，是直角，是两内角平分线的交点，，，，到三边的距离是______.
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60．如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为______．
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61．如图，△ABC的外角∠M ( http: / / www.21cnjy.com )BC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．
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62．如图所示，正六边形的边长为，点从点出发沿运动至点，点是点关于直线对称的点．
（）点从点运动至过程中，下列说法正确的有__________．（填序号）
①当点运动到时，线段长为．
②点沿直线从运动到．
③点沿圆弧从运动到．
（）点从点运动至的过程中，点到的距离的最小值是__________．
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63．如图，等边三角形ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为2，D、E分别是边AB、AC上的点，沿DE所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若△BDP是直角三角形，则AD的长为_____．21世纪教育网版权所有
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三、解答题
64．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中作出 关于轴的对称图形；
（2）在轴上确定一点，使的值最小，在图中画出点即可（保留作图痕迹）；
（3）直接写出的面积．
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65．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M，如图，在l上画出一点M，使得AM+BM最小．21*cnjy*com
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66．已知点P关于x轴对称的点在第一象限，化简：．
67．作图：
（1）作出∠AOB的角平分线OC．（不写作法但要保留作图痕迹）
（2）把下列图形补充成关于L对称的图形.（保留作图痕迹）．
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68．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．作∠BAC的平分线，交的BC于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【来源：21cnj*y.co*m】
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69．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高．
（1）若AD是边BC上的中线，AE=5cm，S△ABC=30cm ，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数．
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70．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE=DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A=32°，求∠BDC的度数．
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71．阅读并理解下面内容，解答问题．
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线．
求证：AM，BN，CP相交于一点．
证明：如图2，设AM，BN相交于点O，
过点O分别作，，，垂足分别为点D，E，F．
∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点，
∴，（依据1）
同理，．
∴．（依据2）
∵CP是∠ACB的平分线，
∴点O在CP上，（依据3）
∴AM，BN，CP相交于一点．
请解答以下问题：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？
（2）如果，，，，请直接用a，b，c，r表示△ABC的面积．
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72．如图，在中，，，是的中点，交于点，为线段上任意一点，点在线段上，且，连结与，过点作，交直线于点．21教育网
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（1）试说明的理由；
（2）判断与的数量关系，并说明理由．
73．已知，如图，平分，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为点，垂直平分，为垂足，连结，．
求证：．
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74．如图，中，平分，为延长线上一点，于，已知，，求的度数．
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75．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
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（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
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第三讲 简单的轴对称图形
一、单选题
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】
解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形的定义解答 ．
【详解】
解：A是轴对称图形，故不符合题意；
B是轴对称图形，故不符合题意；
C不是轴对称图形，因为找不到一条直线，沿这条直线对折后两边重合，故C符合题意；
D是轴对称图形，故不符合题意；
故选C ．
【点睛】
本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握基本知识是解题关键 ．
3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】
A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．21教育网
5．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合；
B、是轴对称图形，故本选项符合；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
6．下列图案，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
试题分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．21·世纪*教育网
【详解】
解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查轴对称图形，解题的关键是根据轴对称图形的概念正确看懂图形．
7．下列图形属于轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形的概念判断．
【详解】
解：A、是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的识别，掌握识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
8．下列交通标志中是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形．
【详解】
解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意．
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
9．下列图形是轴对称图形的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的定义，逐一判断图形，即可得到答案．
【详解】
由题意得：第一、三、四、五个图形是轴对称图形，
故选B．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形的定义，掌握“沿一条直线折叠，两边完全重合的图形，叫做轴对称图形”是解题的关键．
10．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
11．三角形的角平分线、中线、高线（ ）
A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段
C．高线是直线，其余为线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段
【答案】A
【分析】
根据三角形的角平分线、中线、高线的定义进行判断．
【详解】
由三角形的角平分线、中线、高线的定义可得，三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段；
A选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段都是线段，故正确；
B选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；
C选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；
D选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；
故选：A．
【点睛】
考查了三角形的角平分线、中线、高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
12．在如图所示的低碳、节水、节能和绿色食品这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
由题意根据轴对称图形的概念：如果一个图形 ( http: / / www.21cnjy.com )沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用概念进行分析判断即可．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形的概念，解题的关键是正确确定对称轴的位置．
13．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质直接可得．
【详解】
如图，过点P作，垂足为点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，．
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；掌握好有关角平分线的基础知识是关键．
14．下列建筑物小图标中，其中是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形，这条直线是图形的对称轴，根据定义逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：选项不是轴对称图形，故不符合题意；
选项不是轴对称图形，故不符合题意；
选项不是轴对称图形，故不符合题意；
选项是轴对称图形，故符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
15．下列叙述正确的是（ ）
①三角形的中线、角平分线都是射线 ( http: / / www.21cnjy.com )；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点；④三角形的三条角平分线交于一点．
A．②④ B．①②④ C．③④ D．④
【答案】A
【分析】
分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可．
【详解】
解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误；
②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确；
③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误；
④三角形的三条角平分线交于一点，说法正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题．
16．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解：选项的图形是轴对称图形，故不符合题意；
选项的图形是轴对称图形，故不符合题意；
选项的图形不是轴对称图形，故符合题意；
选项的图形是轴对称图形，故不符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
17．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
轴对称图形：把一个图形沿一条直线折叠，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，根据轴对称图形的定义和图案特点即可解答．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
18．如图，是的平分线，则下列说法错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据角平分线的定义，结合图形判断各选项即可得出答案．
【详解】
解：∵是的平分线，
∴，，，
故选D．
【点睛】
本题考查角平分线的定义，属于基础题，比较容易解答，注意掌握角平分线的定义是解题关键．
19．下列几何图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，利用定义逐一分析各选项即可得到答案．21*cnjy*com
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念及确定对称轴是解题的关键．
20．下图中为轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的定义可得.
【详解】
根据轴对称图形定义可得ABC选项均不是轴对称图形，D选项为轴对称图形.
【点睛】
轴对称图形沿对称轴折叠，左右两边能够完全重合.
21．小丽从笔袋中拿出下列四件学习用具，从总体外形上看，一定不是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形的概念逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解：A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意．
故选：．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
22．以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错误的是（ ）．
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
结合选项，根据轴对称图形的概念分析即可得到答案．
【详解】
A、是轴对称图形，本选项不合题意；
B、是轴对称图形，本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，本选项符合题意；
D、是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，从而完成求解．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15 B．30 C．12 D．10
【答案】A
【分析】
根据角平分线的性质可得DE=DC，然后用三角形面积公式算出结果即可．
【详解】
过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝10×3＝15．
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查角平分线性质，正确作出辅助线是解题的关键．
24．在以下的标志中，是轴对称的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合．再利用定义逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
25．下列图形是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、不是轴对称图形，此项不符题意；
B、不是轴对称图形，此项不符题意；
C、是轴对称图形，此项符合题意；
D、不是轴对称图形，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．
26．下列四个图形，不是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、是轴对称图形，此项不符题意；
B、是轴对称图形，此项不符题意；
C、是轴对称图形，此项不符题意；
D、不是轴对称图形，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．
27．下列电视台标志中是轴对称图象的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
28．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．圆 B．线段 C．角 D．平行四边形
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的特征进行判断即可．
【详解】
解：圆、线段、角是轴对称图形，平行四边形不一定是轴对称图形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，理解轴对称图形的特征是解题关键．
29．对称现象无处不在，请你观察下面4个汽车标致图案，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：根据轴对称图形的概念，前3个是轴对称图形，第四个不是轴对称图形，属于轴对称图形有3个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
30．三角形的重心是（ ）
A．三角形三边的高所在直线的交点
B．三角形的三条中线的交点
C．三角形的三条内角平分线的交点
D．三角形三边中垂线的交点
【答案】B
【分析】
根据重心是三角形三边中线的交点，三角形三条高的交点是垂心，三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，等知识点作出判断．
【详解】
解：三角形三条高的交点是垂心，A选项不符合题意；
三角形三条边中线的交点是三角形的重心，B选项符合题意；
三角形三条内角平分线的交点是三角形的内心，C选项不符合题意；
三角形三边中垂线的交点三角形的外心，D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的重心、内心与外心等知识，是基础题，熟记概念是解题的关键．
31．三角形的角平分线、中线和高都是 ( )
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】
根据三角形的角平分线、中线和高定义判断即可．
【详解】
解：三角形的角平分线、中线、高都是线段．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义是解题关键．
32．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A．梯形 B．圆 C．等边三角形 D．线段
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形的特征进行判断即可．
【详解】
解：圆、等边三角形、线段是轴对称图形，梯形不一定是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟知常见的轴对称图形．
33．下列疫情防控知识图片是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的特征判断即可．
【详解】
解：由轴对称图形的特征可知B是轴对称图形，其余的都不是轴对称图形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的特征，解题关键是熟知轴对称图形的特征．
34．如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制 B．的长
C．的长 D．连接，则垂直平分
【答案】B
【分析】
直接根据尺规作图作角平分线的方法即可得出结论的长．
【详解】
解：以B为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于DE的长，否则两弧没有交点．www.21-cn-jy.com
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握作角平分线的步骤及方法是解题的关键．
35．如图，在4×4的正方形网格中， ( http: / / www.21cnjy.com )已将图中的三个小正方形涂上阴影，若再将图中其余小正方形任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的特征判断即可．
【详解】
解：如图所示，在图中标数的位置涂上阴影，能构成轴对称图形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的特征，解题关键是树立空间观念，准确进行判断．
36．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．21·cn·jy·com
【详解】
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
37．等腰三角形的两边，满足，则它的周长是（ ）
A．17 B．13或17 C．13 D．19
【答案】A
【分析】
根据绝对值和二次根式的性质求出a，b，再根据等腰三角形的性质判断即可；
【详解】
∵，
∴，
解得，
∵a，b是等腰三角形的两边，
∴当为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系，
此时三角形的周长；
当为腰时，三边为3，3，7，由于＜7，故不符合三角形的三边关系；
∴三角形的周长为17．
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．
38．剪纸是我国传统的民 ( http: / / www.21cnjy.com )间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对于此类问题，只要依据翻折变换，知道剪去了什么图形即可判断，也可动手操作，直观的得到答案．
【详解】
解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折 ( http: / / www.21cnjy.com )，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了剪纸问题，解决这类 ( http: / / www.21cnjy.com )问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
39．如图，在中，的平分线和的外角平分线交于，已知，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得到．则．然后又由三角形外角性质推知．
【详解】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ ，的平分线和的外角平分线交于，
∴ ，即．
又∵ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ．
故选：．
【点睛】
此题综合考查了三角形的外角的性质以及角平分线定义，熟练掌握这些知识是解答此题的关键.
40．如图，平分交于点，于点，于点，若，，，则的长是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出DE的值，代入面积公式得出关于AB的方程，求出即可．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12=×AB×DE+×AC×DF，
∴24=AB×2+3×2，
∴AB=9，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
41．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点在上时，有最小值．
【详解】
解：连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
垂直平分，
，
，
当点，，在一条直线上时，有最小值，最小值为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称中的最短路线问题，明确当点，，在一条直线上时，有最小值是解题的关键．
42．下例各时刻是轴对称图形的为（ ）
A．13:08 B．12:21 C．12:50 D．10:50
【答案】B
【分析】
把时刻的表示法当成一个图形，再根据轴对称图形的特征容易判断正确选项．
【详解】
分别把A、B、C、D四个时刻的表示法看成一个图形，根据轴对称图形的特征不难得到正确选项是B．
故选B．
【点睛】
本题考查轴对称图形的判断，在理解题意的基础上利用轴对称图形的定义和特征进行判断是解题关键．
43．从如图，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到，求出FM即可解决问题．2-1-c-n-j-y
详解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴，
∵CF=1，AC=3，BC=4，
∴AF=2，AB=，
∴，
∴FM=，
∵PF=CF=1，
∴PM=
∴点P到边AB距离的最小值是．
故选：A．【来源：21cnj*y.co*m】
点睛：本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．
44．如图，图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里涂黑两个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10种 B．5种 C．7种 D．9种
【答案】D
【解析】
根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，如图所示：一共有9种，
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
方法8 方法9
故选：D．
点睛：本题考查了利用轴对称设计图案，解答此题要明确轴对称的性质，并据此构造出轴对称图形，然后将对称部分涂黑，即为所求．
45．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP= ( http: / / www.21cnjy.com )5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解析】
试题解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选B．
考点：1.轴对称的性质；2.最短路线问题；3.等边三角形的判定与性质.
46．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②AG+DF=FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG= S△FGH．其中正确的是（ ）21教育名师原创作品
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
试题分析：利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD﹣AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8﹣x，HF=BF﹣BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用相似比得到，而，所以，所以△DEF与△ABG不相似，于是可对③进行判断；分别计算S△ABG和S△GHF可对④进行判断．
解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
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∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF==8，
∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，
设AG=x，则GH=x，GF=8﹣x，HF=BF﹣BH=10﹣6=4，
在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2，
∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以②正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴ ，
∴，
而，
∴，
∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．
∵S△ABG=×6×3=9，S△GHF=×3×4=6，
∴S△ABG=1.5S△FGH．所以④正确．
故选C.
点睛：本题主要考查轴对称的性质和相似三角形的性质及判定. 结合图形，灵活利用相似三角形的判定和性质是解题的关键.21世纪教育网版权所有
47．如图，在四边形ABCD中，∠C＝5 ( http: / / www.21cnjy.com )0°,∠B＝∠D＝90°，点E、F分别是线段BC、DC上的的动点．当三角形AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
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A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【解析】
试题分析：作A关于BC和CD的对称点A′，A ( http: / / www.21cnjy.com )″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
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∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°﹣50°=80°，
故选A．
考点：轴对称-最短路线问题．
二、填空题
48．如图，是的平分线上一点，于点，是射线上一个动点，若，则的最小值为______．
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【答案】8
【分析】
根据角平分线的性质定理解答．
【详解】
解：当PQ⊥OM时，PQ最小，
∵P是∠MON角平分线上的一点，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ=PA=8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
49．如果长方形的长和宽不相等，那么它有______条对称轴．
【答案】2
【分析】
如果长方形的长和宽不相等，那么它沿着经过相对两边的中点的直线对折，直线两旁的部分能够重合，这样的直线有2条．
【详解】
如果长方形的长和宽不相等，那么它有2条对称轴．
故答案为：2
【点睛】
本题考查的是长方形的对称轴，掌握轴对称的定义及对称轴的定义是关键．
50．点P（﹣1，﹣7）关于y轴对称的点的坐标是_____．
【答案】（1，﹣7）．
【分析】
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接写出答案．
【详解】
解：点P（﹣1，﹣7）关于y轴对称的点的坐标是（1，﹣7），
故答案为：（1，﹣7）．
【点睛】
本题考查的是关于坐标轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com )的点的坐标特点，一般的，点（m，n）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标分别是（m，－n）、（－m，n）、（－m，－n）.
51．在平行四边形、等腰三角形、矩形、菱形四个图形中是轴对称图形的有__________个.
【答案】
【分析】
直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．
【详解】
解：在平行四边形、等腰三角形、矩形、菱形四个图形中是轴对称图形的有：等腰三角形、矩形、菱形，共3个．
故答案为3．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．
52．已知点P（a﹣1，5）和Q（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2014＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可求出a,b，得到答案．
【详解】
解：点P（a﹣1，5）和Q（2，b﹣1）关于x轴对称，得
a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
解得a＝3，b＝﹣4，
（a+b）2014＝（﹣1）2014＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本 ( http: / / www.21cnjy.com )题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
53．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，则ABD的面积为_____．
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【答案】12
【分析】
过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝6，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，
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∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，
∴DE＝DC，
∵DC＝6，
∴DE＝6，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积是 ＝ ＝12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE=DC=6是解此题的关键．
54．如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，则的面积是_______________________．2·1·c·n·j·y
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【答案】12
【分析】
作PH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到PH=DP=6，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：作PH⊥OB于点H，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=DP=6，
∴△OPE的面积=×OE×PH=×4×6=12，
故答案为：12．
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【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
55．如图，已知OC是∠AOB的角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线，点D、F分别是射线OC、OA的动点，DE⊥OB于E且DE＝3cm，则线段DF的最小值是______cm．【版权所有：21教育】
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【答案】3
【分析】
利用角平分线的性质和垂线段的性质进行解答．
【详解】
解：当DF⊥OA时，DF的值最小，
∵OC是∠AOB的角平分线，DF⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DF＝3cm，
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上点到角两边的距离相等．
56．如图，AD是的角平分线，，，则D到AB的距离是________．
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【答案】3
【分析】
过D作AB垂线，垂足为M，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】
解：作DM⊥AB，垂足为M，
∵∠D=90°，
∴DC⊥AC，
平分，DM⊥AB，
，
即D到AB的距离是3．
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故答案为：3．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键．
57．如图，点O在ABC内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．
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【答案】125
【分析】
由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠BOC．
【详解】
解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=180°-（180°-70°）
=125°，
故答案为：125．www-2-1-cnjy-com
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
58．如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点；下列结论：
①；
②；
③；
④；
其中正确的结论有__________．
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【答案】①③
【分析】
由，为的高线，根据同角的余角相等可得①正确；根据三角形外角的性质和角平分线的性质变形得到，进而可得②错误；由易求得，根据同角的余角相等可得③正确；根据且，变形可得，故④错误．
【详解】
解：①∵，
∴，即，
∵为的高，
∴，即，
∴，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
故②错误；
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
④∵，，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故④错误，
∴正确的结论有①③，
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高线、角平分线的概念以及三角形外角的性质等知识，灵活运用是解题的关键．21cnjy.com
59．中，是直角，是两内角平分线的交点，，，，到三边的距离是______.
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【答案】2
【分析】
根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF，根据三角形面积公式求出R即可．
【详解】
解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，连接OC，
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∵O为∠A、∠B的平分线的交点，
∴OD＝OF，OE＝OF，
∴OD＝OE＝OF，
设OD＝OE＝OF＝R，
∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO，
则×6×8＝×6R＋×8R＋×10R，
解得R＝2，
即OD＝OE＝OF＝2，
∴点O到三边的距离为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键．
60．如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为______．
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【答案】5
【分析】
作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
如图：作DF⊥AB于F，
∵ BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
∴×AB×DF+×BC×DE= ，
即×AB×2+×7×2=12，
解得：AB=5．
故答案为：5．
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【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
61．如图，△ABC的外角∠MBC和∠ ( http: / / www.21cnjy.com )NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．
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【答案】6
【分析】
过点P作PH⊥AM，PQ⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.
【详解】
解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP
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∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线
∴PH=PE，PE=PQ
∴PH=PE=PQ=3
∵S△BPC=×BC×PE=7.5
∴BC=5
∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC
=×AC×PQ+×AB×PH-7.5
=×3（AC+AB）-7.5
∵AC+AB+BC=14，BC=5
∴AC+AB=9
∴S△ABC=×3×9-7.5=6 cm2
【点睛】
本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示．【出处：21教育名师】
62．如图所示，正六边形的边长为，点从点出发沿运动至点，点是点关于直线对称的点．
（）点从点运动至过程中，下列说法正确的有__________．（填序号）
①当点运动到时，线段长为．
②点沿直线从运动到．
③点沿圆弧从运动到．
（）点从点运动至的过程中，点到的距离的最小值是__________．
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【答案】①③
【解析】
【分析】（1）如图，设O是正六边形的中心，连接OB交AC于K，解直角三角形求出AC，B′的运动轨迹是图中红色的弧线BF，由此即可周长判断．
（2）连接AE与弧BF交于点B′，此时EB′最短。
【详解】
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(1)如图，设O是正六边形的中心，连接OB交AC于K.
在Rt△CBK中,
∵∠BKC=90°,BC=1,∠BCK=30°，
∴BK=BC=，
∴AC=2KC=2=，
∵点P从点B运动至D过程中，AB=AB′，
∴点B′的运动轨迹是图中红色的弧线BF，
∴①③正确，
故答案为①③.
(2)连接AE与弧BF交于点B′,此时EB′最短，
EB′=AE AB′=AC AB= 1，
故答案为: 1.
【点睛】本题考核知识点：正多边形和圆, 轴对称的性质.解题关键点：灵活运用正多边形和圆, 轴对称的性质.
63．如图，等边三角形ABC的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为2，D、E分别是边AB、AC上的点，沿DE所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若△BDP是直角三角形，则AD的长为_____．
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【答案】4﹣6或3﹣
【解析】
分析：根据等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )得到∠B=60°，根据折叠的性质得到AD=DP，设AD=DP=x，分∠DPB=90°、∠BDP=90°两种情况，根据正弦、正切的定义计算即可．
详解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
由折叠的性质可知，AD=DP，
设AD=DP=x，则BD=2-x，
当∠DPB=90°时，=sinB=，即，
解得，x=4-6，
当∠BDP=90°时，=tanB=，即，
解得，x=3-，
故答案为：4-6或3-．
点睛：本题考查的是翻转变换的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、等边三角形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题
64．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中作出 关于轴的对称图形；
（2）在轴上确定一点，使的值最小，在图中画出点即可（保留作图痕迹）；
（3）直接写出的面积．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）依据轴对称的性质，即可得到各顶点，进而得出各顶点的坐标；
（2）作点A关于y轴的对称点A’’，连接A’’C，依据两点之间，线段最短，可得与y轴的交点P即为所求；
（3）利用割补法即可求解．
【详解】
（1）如图所示，为所求；
（2）如图所示，P点为所求；
（3）．
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【点睛】
本题主要考查了利用轴对称变换 ( http: / / www.21cnjy.com )作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
65．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M，如图，在l上画出一点M，使得AM+BM最小．
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【答案】见解析.
【分析】
根据轴对称的性质作点A根据直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于M，连接AM，此时AM+BM的值最小．
【详解】
解：如图，点M即为所求．
作A点关于直线l的对称点A′，
连接A′B交l于点M，连接AM，此时AM+BM的值最小．
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【点睛】
本题考查轴对称-最短路线问题的应用，熟记轴对称的性质是解题的关键．
66．已知点P关于x轴对称的点在第一象限，化简：．
【答案】5．
【分析】
由点P关于x轴对称的点在第一象限，可得点P在第四象限，则x+1＞0，且2x-3＜0．再根据绝对值的性质化简即可．
【详解】
解：∵点P（x+1，2x-3）关于x轴对称的点在第一象限，
∴点P（x+1，2x-3）在第四象限，
∴x+1＞0，且2x-3＜0，
∴2x+2＞0，
∴
=-(2x-3)+ 2x+2
=-2x+3+ 2x+2
=5．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的 ( http: / / www.21cnjy.com )两点的坐标之间的关系和平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点．解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号．
67．作图：
（1）作出∠AOB的角平分线OC．（不写作法但要保留作图痕迹）
（2）把下列图形补充成关于L对称的图形.（保留作图痕迹）．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用尺规作出∠AOB的平分线即可；
（2）作出A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′，再顺次连接即可．
【详解】
解：（1）如图1，以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA、OB于E、F两点，
分别以E、F为圆心，大于EF为半径画弧交于点C，
连接OC，OC即∠AOB的角平分线；
（2）如图2，过点A、B、C作直线l的对称点A′、B′、C′，
再顺次连接，△ABC关于l对称的图形△A′B′C′如图所示；
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【点睛】
本题考查作图-基本作图，轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本作图．
68．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．作∠BAC的平分线，交的BC于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
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【答案】作图见解析
【分析】
以点A为圆心，任意长为半径，画弧 ( http: / / www.21cnjy.com )交AC与AB两点，在以这两点为圆心，大于这两点距离一半为半径，交∠CAB内一点P，过A作射线AP，交BC与D．
【详解】
解：以点A为圆心，任意长为半径，画弧交 ( http: / / www.21cnjy.com )AC与AB两点E、F，在以这两点E、F分别为圆心，大于这两点EF的距离一半为半径，交∠CAB内一点P，过A作射线AP，交BC与D，如图，
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AD即为∠BAC的平分线．
【点睛】
本题考查尺规作图，掌握基本作图的方法是解题关键．
69．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高．
（1）若AD是边BC上的中线，AE=5cm，S△ABC=30cm ，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数．
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【答案】（1）DC＝6cm；（2）∠DAE=15°．
【分析】
（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC=15cm2，进而利用三角形面积得出CD的长．
（2）依据∠B=30°，∠C=60°，可知 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC为直角三角形，再根据AD为角平分线，即可得到∠BAD的度数，即可得到∠ADE的度数，进而得出∠DAE的度数．
【详解】
解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=5cm，S△ABC=30cm2
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∴S△ADC=15cm2，
∴×AE×CD=15，
∴×5×CD=15，
解得：CD=6（cm）；
（2）∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAC=90°，
又∵AD为∠BAC的平分线，
∴，
∴∠ADE=30°+45°=75°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE=90°75°=15°．
【点睛】
此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线、角平分线、以及高线的性质，根据已知得出S△ADC是解题关键．
70．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE=DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A=32°，求∠BDC的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）61°．
【分析】
（1）利用角平分线的逆定理，只要知道DC⊥BC，DE⊥AB，且DE=DC即可
（2）先求出∠ABC，在利用BD平分∠ABC，求出∠ABD，利用∠BDC是△ABD的外角∠BDC=∠A+∠ABD即可．
【详解】
（1）∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵DE⊥AB，且DE=DC，
∴BD平分∠ABC；
（2）
∵∠C=90°，∠A=32°，
∴∠A+∠ABC=90 ，
∴∠ABC=90 -∠A=58 ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=32 +29 =61 ．
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【点睛】
本题考查角平分线与外角问题，关键掌握角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的性质定理与逆定理，和三角形外角与内角关系，会用角平分线的逆定理证角平分线，会利用外角求角来解决问题．
71．阅读并理解下面内容，解答问题．
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线．
求证：AM，BN，CP相交于一点．
证明：如图2，设AM，BN相交于点O，
过点O分别作，，，垂足分别为点D，E，F．
∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点，
∴，（依据1）
同理，．
∴．（依据2）
∵CP是∠ACB的平分线，
∴点O在CP上，（依据3）
∴AM，BN，CP相交于一点．
请解答以下问题：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？
（2）如果，，，，请直接用a，b，c，r表示△ABC的面积．
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【答案】（1）依据1：角平分线上的点到角的两边的距离相等；依据2：等量代换；依据3：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；（2）或．
【分析】
（1）根据题意可直接进行作答；
（2）由（1）可得OD=OE=OF，然后根据等积法进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
依据1：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
依据2：等量代换．
依据3：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
（2）由（1）得：
OD=OE=OF=r，
，，，
，
△ABC的面积表示为：．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键．
72．如图，在中，，，是的中点，交于点，为线段上任意一点，点在线段上，且，连结与，过点作，交直线于点．
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（1）试说明的理由；
（2）判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析．
【分析】
（1）求出∠A＝∠AGD＝45°，根据等腰三角形的判定得出AD＝DG，再由AD＝DC即可得出结论；
（2）根据已知可依次证得FG＝C ( http: / / www.21cnjy.com )E，∠GFH＝∠DCF，∠HGF＝∠FEC，利用ASA推出△HGF≌△FEC，再由全等三角形的性质即可得出结论．21*cnjy*com
【详解】
解：（1）∵，，
∴．
∵，所以．
∴．
∴．
∴．
∵是的中点，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
∵，，
∴
即．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
同理可得：．
∴．
在和中，
，
∴≌．
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形及全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定和性质的应用，掌握等腰三角形与全等三角形的判定与性质的相关知识点并能灵活运用定理进行推理是解答此题的关键．
73．已知，如图，平分，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为点，垂直平分，为垂足，连结，．
求证：．
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【答案】见解析
【分析】
利用角平分线的性质得出，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后证明Rt△BEF≌Rt△CEG即可．
【详解】
证明：平分，，，
，
垂直平分，
，
，，
，
在和中，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．
74．如图，中，平分，为延长线上一点，于，已知，，求的度数．
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【答案】28°
【分析】
在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAC的度数，结合角平分线的定义可得出∠BAD的度数，在△ABD中，利用三角形外角性质可求出∠PDE的度数，再在△PDE中利用三角形内角和定理可求出∠P的度数．
【详解】
解：在中，，，
．
平分，
．
是的外角，
，
于，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠ADC的度数是解题的关键．
75．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
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（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β
【分析】
（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α；
（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D=∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，
∴∠DBE=90°，
∵∠D=∠A，∠A=α，
∴∠D=α，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°-α；
（3）如图，
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∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，
∴∠DAM=∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=∠ACB=β．
故答案为：β．
【点睛】
本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
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