19.2 函数的图象(基础讲解)（含解析）

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19.2 函数的图象
【学习目标】
1. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.www.21-cn-jy.com
2. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．21·世纪*教育网
【知识总结】
一、函数的几种表达方式：
　　变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
　　（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处 ( http: / / www.21cnjy.com ).解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.2-1-c-n-j-y
二、函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.21教育名师原创作品
要点诠释：由函数解析式画出图象的一 ( http: / / www.21cnjy.com )般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
【典型例题】
【类型】一、函数的三种表示方法
例1．下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是（ ）
A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化
B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值
C．用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值
D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示
【答案】D
【分析】根据函数的表示方法的优缺点分析解答即可．
【详解】
A.用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化，此选项正确；
B.用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值，此选项正确；
C.用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值，此选项正确；
D.并不是任何函数关系都可以用上述三种方法来表示，此选项错误．
故选：D．
【点拨】本题考查函数的表示方法，明确三种表示方法的特点是解题的关键．
【训练】下列说法中正确的是（ ）．
A．两个变量间的关系只能用关系式表示
B．图像不能直观地表示两个变量间的数量关系
C．图像可以直观表示出因变量随自变量的变化情况
D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】
表示函数的方法有三种：解析法、列表法和图象法．
解：A、两个变量间的关系只能用关系式 ( http: / / www.21cnjy.com )表示，还能用列表法和图象法表示，故错误；
B、图象能直观的表示两个变量间的数量关系，故错误；
C、图像可以表示出因变量随自变量的变化情况，正确；
D、C选项正确，AB选项错误，故此选项说法错误；
故选：C．21cnjy.com
【点拨】本题考查了函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法．要熟练掌握．
【类型】二、函数图象的识别
例2．2019年5月16日， ( http: / / www.21cnjy.com )第十五届文博会在深圳拉开帷幕，周末，小明骑共享单车从家里出发去分会馆参观，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在刚才等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往分会馆，设小明从家里出发到分会场所用的时间为x（分钟），离家的距离为y（米），且x与y的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）图中自变量是　 　．因变量是　 　．
（2）小明等待红绿灯花了　 　分钟．
（3）小明的家距离分会馆　 　米
（4）小明在　 　时间段的骑行速度最快，最快速度是　 　米/分钟．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）时间x；离家的距离y；（2）2；（3）1500；（4）12﹣13；240.
【分析】
（1）根据函数图象可以直接写出自变量和因变量；
（2）根据题意和函数图象可以得到小明等待红绿灯所用的时间；
（3）根据函数图象可以得到小明的家距离分会馆的路程；
（4）根据函数图象可以得到在哪个时间段内小明的速度最快，并求出此时小明的速度．
解：（1）由图可知，图中自变量是时间x，因变量是离家距离y，
故答案为时间x，离家距离y；
（2）由图可知，小明等待红绿灯花了：10-8=2（分钟），
故答案为2；
（3）由图可得，小明的家距离分会馆1500米，
故答案为1500；
（4）由图可知，
小明在12-13时间段内速度最快，此时的速度为：（1200-960）÷1=240米/分，
故答案为12-13、240．
【点拨】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【训练】如图①，直角梯形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，动点P从B点出发，由B﹣C﹣D﹣A沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，函数图象如图②所示，则直角梯形ABCD的面积为_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】26．
【分析】本题考查动点函数图象的问题，要根据图象判断出各边的边长．
解：动点P从B点出发，由 ( http: / / www.21cnjy.com )B﹣C﹣D﹣A沿梯形的边运动；当运动到线段CD上时，三角形的面积的值开始固定．由图象可以看出，x为4时，面积开始不变，所以BC为4；21*cnjy*com
x为9时，面积不变结束，所以CD＝9﹣4＝5；
那么AD＝14﹣9＝5，AB＝CD+
∴直角梯形ABCD的面积为×（5+8）×4＝26．
【点拨】应根据题中所给的条件先判断出面积不变的开始与结束的点，进而判断出相应的线段的长度，再求解．
【类型】三、从函数图象中获取信息
例3．A、B两地相距，甲、乙两人先后从A地出发向B地行驶，甲骑摩托车匀速行驶，乙开汽车且途中速度只改变一次，如图表示的是甲、乙两人之间的距离S关于时间t的函数图象（点F的实际意义是乙开汽车到达B地），请根据图象解答下列问题：2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）甲的速度________；
（2）乙变速之前速度为________，乙变速之后速度为________，点E的坐标________；
（3）当甲、乙两人相距时，直接写出t的值________．
【答案】（1）30km/h；（2）80km/h，55km/h，（3.9，0）；（3）或或或．
【分析】
根据图形可知C点之前，只有 ( http: / / www.21cnjy.com )甲出发了；C-D段，乙出发了但是还没有改变速度；D-E-F段乙改变了速度，其中在E点乙追上了甲，F点乙到达目的地．由此21教育网
（1）根据AC段可计算出甲的速度；
（2）根据CD段可计算出 ( http: / / www.21cnjy.com )乙改变速度之前的速度，D-E-F段乙改变速度并再用了2.5h到达目的地可算出乙变速后的速度，根据E点乙追上了甲，可计算出E点的坐标；【版权所有：21教育】
（3）分①乙出发前，②乙出发后未追上甲之前，③乙超过甲、但是未到达目的地，④乙到达目的地后四种情况即可得出t的值．21*cnjy*com
解：（1）由图可得，
甲的速度为：60÷2=30km/h，
故答案为：30km/h；
（2）设乙刚变速前的速度为akm/h，
30×2.5-35=（2.5-2）a，
解得，a=80，
设乙变速后的速度为bkm/h，
150-0.5×80=（4.5-2.5）b，
解得，b=55，
∵35÷（55-30）=1.4，
∴点E的坐标为（3.9，0），
故答案为：80km/h，55km/h，（3.9，0）；
（3）①在乙出发前，若甲、乙两人相距，
h；
②乙出发后未追上甲之前，甲、乙两人相距，
，解得h；
③乙超过甲，但是未到达目的地，甲、乙两人相距，
，解得h；
④乙到达目的地，甲、乙两人相距，
．
综上所述，t的值为或或或，
故答案为：或或或．
【点拨】本题考查通过函数图象获取信息．解答本题的关键是明确题意，结合图象找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【来源：21cnj*y.co*m】
【训练】地铁一号线的列车匀速通过某隧道时，列车在隧道内的长度（米）与列车行驶时间（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①列车的长度为120米；
②列车的速度为30米/秒
③列车整体在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．
其中正确的结论是______________（填正确结论的序号）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】②③
【分析】
由图像的纵坐标的含义可判断①；根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，可判断②；由段所对应的时间与段对应的时间相同，可判断③；由列车进入隧道到完全离开行驶时间为，结合列车的长度可判断④；从而可得答案．
解：由图像的纵坐标的含义可得：列车的长度是150米，故①错误；
在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；
由段所对应的时间与段对应的时间相同，
可得整个列车都在隧道内的时间是：35-5-5=25秒，故③正确；
隧道长是：35×30-150=1050-150=900米，故④错误．
故正确的是：②③．
故答案是：②③．
【点拨】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键．
【类型】四、动点问题的函数图象
例4．如图1，在是边上一动点，设两点之间的距离为两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示．则线段的长为_____，线段的长为______．
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【答案】
【分析】从图2的函数图象得知， ( http: / / www.21cnjy.com )BD=的最大值为7，即BC=，同时AC=y=，再由图2中(1，)知，BD=时，AD=，作AE⊥BC于E，利用等腰三角形的性质以及勾股定理即可求解．
解：由图2的函数图象可知，BD=的最大值为7，
∴BC=，此时点C、D重合，对应AC=y=，
再由图2中(1，)知，BD=时，AD=，
如图：作AE⊥BC于E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC=AD=，BD=，BC=，
∴DE=CE=DC=(BC- BD)=3，
∴AE=，
在Rt△ABE中，∠AEB=90，AE，BE= BD + DE =，
∴AB=．
故答案为：，．
【点拨】本题主要考查了动点问 ( http: / / www.21cnjy.com )题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理的应用等知识，正确理解D点运动到何处时BD长最大以及点(1，)的意义是关键，同时也考察了学生对函数图象的观察能力．
【训练】如图（1），在中，，D为斜边的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则的长为__．
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【答案】5
【分析】根据题意可以得到BC和AC的长，由∠ACB=90°，根据勾股定理可以求得AB的长，本题得以解决．21世纪教育网版权所有
解：由题意可知，当点P从点B运动到点C时，面积达到最大，当运动到点A时，面积变为0，由图②可知，，，www-2-1-cnjy-com
∵，
∴．
故答案为：5
【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
【训练】如图1，在四边形中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动．设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．当点运动到的中点时，的面积为___________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5
【分析】由函数图象上的点、的实际意义可知、的长及的最大面积，从而求得、的长，再根据点运动到点时得，从而求得的长，最后根据等腰三角形的中位线定理可求得当运动到中点时，的面积．【出处：21教育名师】
解：由图象可知，，，
，
根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，，
，
又，
，
当点运动到中点时，，
如图，作于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
为梯形的中位线，
则，
的面积，
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，根据函数图象中三角形的面积的变化情况判断出、、的长是解题的关键．21·cn·jy·com
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