19.4 一次函数图象与性质(基础讲解)（含解析）

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19.4 一次函数图象与性质
【学习目标】
1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用数形结合思想解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．【来源：21·世纪·教育·网】
3.理解并运用两直线平行、平移、垂直时斜率k及截距b的变化特点；
4.初步理解设参求值的数学思想，并利用设参求动点问题中点的位置和线段或面积的值；
5. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题；
6.能够理解并解决一次函数图象中的折叠、对称等图形变换问题；
7.掌握一次函数图象中的“设参求值”解决动点（线）问题
【知识总结】
一、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
二、一次函数的图象与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
( http: / / www.21cnjy.com / )3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
5. 直线的平移：
6. 直线的对称（折叠）：
三、待定系数法求一次函数解析式
　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.21·世纪*教育网
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
四、分段函数
对于某些量不能用一个解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.【来源：21cnj*y.co*m】
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.21*cnjy*com
【典型例题】
【类型】一、待定系数法求函数的解析式
例1、已知一次函数的图象过和两点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）若点在这个函数图象上，求a．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，然后把两个已知点的坐标代入得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，把代入（1）中的解析式可求出a的值．
解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，
把和代入得
，
解得．
所以此一次函数的解析式为；
（2）把代y=3x-1得3a-1=6，
所以．
【点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
【训练】如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（0，1）、B（﹣2，0）．
（1）求直线l所对应的函数表达式．
（2）若点M（3，m）在直线l上，求m的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）y＝+1;（2）m＝.
【分析】
（1）用待定系数法即可求出直线的表达式；
（2）将点M代入求出的表达式中即可得出答案.
解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，
∵直线l经过点A（0，1）、B（﹣2，0），
∴，解得，
∴直线l所对应的函数表达式为；
（2）∵点M（3，m）在直线l上，
∴
【点拨】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式及求一点的函数值，掌握待定系数法是解题的关键.
【训练】已知与成正比例，且时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若点在这个函数的图象上，求的值．
【答案】（1）y=-6x-2；（2）a=．
【分析】
（1）设y=k（3x+1），把x=2．y=-14代入，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值，进而求得函数解析式；21教育网
（2）把（a，2）代入函数解析式即可得到一个关于a的方程，从而求解．
【详解】
解：（1）根据题意设y=k（3x+1），
把x=2，y=-14代入，得：-14=7k，
解得：k=-2，
则y与x的函数关系式是y=-6x-2；
（2）把点（a，2）代入y=-6x-2得：-6a-2=2，
解得：a=．
【点拨】主要考查了用待定系数法求函数的解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
【类型】二、一次函数图象的应用
例2、如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象． 2·1·c·n·j·y
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为千瓦时时汽车已行驶的路程．当时，求千瓦时的电量汽车能行驶的路程． 【版权所有：21教育】
（2）当时，求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶千米 时，蓄电池的剩余电量．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）6千米；（2），千瓦时.
【分析】
（1）由函数图像的意义可以得到答案；
（2）由待定系数法可以求得函数的解析式，并且求出汽车行驶160千米时蓄电池的剩余电量．
解：由图像可知，蓄电池剩余电量为千瓦时时汽车已经行驶了千米
千瓦时的电量汽车能行驶的路程为（千米）
设
把点代入
得
当时，
答：当时，函数表达式为，当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量为千瓦时．
【点拨】本题考查一次函数及其应用，熟练掌握一次函数的图像和解析式的求法是解题关键．
【训练】某中学举行春季长跑比赛活动， ( http: / / www.21cnjy.com )小明从起点学校西门出发，途经市博物馆后按原路返还，沿比赛路线跑回终点学校西门．设小明离开起点的路程s（千米）与跑步时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市博物馆的平均速度是0.3千米/分钟，用时35分钟根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求图中的值，并求出所在直线方程；
（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点，小明从第一次过点到第二次经过点所用的时间为68分钟
①求所在直线的函数解析式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）①；②85分钟
【分析】
（1）根据路程=速度×时间，再把A点的值代入即可解决问题．
（2）①先求出A、B两点坐标即可解决问题．
②令s=0，求出x的值即可解决问题．
解：（1）∵从起点到市博物馆的平均速度是0.3千米/分钟，用时35分钟，
∴千米．
∴，
设直线的解析式为：，
把代入，得
，
解得，，
∴直线的解析式为：；
（2）①∵直线解析式为，
∴当时，，解得，
∵小明从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟，
∴小明从起点到第二次经过C点所用的时间是，分钟，
∴直线经过，，
设直线解析式，
∴，，
解得，，
∴直线解析式为．
②小明跑完赛程用的时间即为直线与轴交点的横坐标，
∴当时，，解得，
∴小明跑完赛程用时85分钟．
【点拨】此题考查一次函数综合题，解题关键在于列出方程.
【类型】三、一次函数的性质
1、一次函数的位置和增减性问题
例3、一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】先根据函数为减函数判断出k＜0，再根据kb＞0判断出b＜0，再根据一次函数图象的特点解答即可．21*cnjy*com
解：∵一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
又∵kb＞0，∴b＜0，
∴函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：C．
【点拨】主要考查了一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．21教育名师原创作品
一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限．
【训练】一次函数的大致图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象与性质得到一次函数图象过第一、三象限，与y轴的交点坐标为（0，-1），然后分别进行判断．2-1-c-n-j-y
解：，
∵，，
∴一次函数图象过第一、三象限，与y轴的交点坐标为（0，-1）．
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数的图象：一次函数（k≠0）的图象为一条直线，当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．【出处：21教育名师】
例4、（1）直线y＝2x﹣3经过第_____象限；
（2）若直线y＝mx+n经过第一、二、三象限，请直接写出m，n的取值范围；
（3）若直线y＝mx+n不经过第一象限，请直接写出m，n的取值范围．
【答案】（1）一、三、四；（2）m＞0，n＞0；（3）m＜0，n≤0．
【分析】
（1）根据一次函数的性质解答即可；（2）根据一次函数的性质得出m，n的取值范围即可；（3）根据一次函数的性质得出m，n的取值范围即可．
解：（1）∵k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴直线y＝2x﹣3经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四．
（2）∵直线y＝mx+n经过第一、二、三象限，
∴m＞0，n＞0，
（3）∵直线y＝mx+n不经过第一象限，
∴当n=0时，直线y＝mx+n经过第二、四象限，
∴m<0，
当n<0时，直线y＝mx+n经过第二、三、四象限，
∴m<0，
综上所述：m＜0，n≤0．
【点拨】本题考查一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，k>0时，图象经过一、三象限；k>0时，图象经过二、四象限，图象与y轴交于（0，b）；熟练掌握一次函数的性质是解题关键.
2、一次函数的图象平移问题
例5．直线+3的图像是由正比例函数_____________图像向_____（填上或下）平移_______个单位得到或由正比例函数_____________图像向____________（填左或右）平移_______个单位得到可以得到的一条直线www.21-cn-jy.com
【答案】y=3x 上 3 y=3x 左 1
【分析】
根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】
解：直线+3的图像是由正比例函数y=3x图像向上平移3个单位得到或由正比例函数y=3x图像向左平移1个单位得到可以得到的一条直线．21·cn·jy·com
故答案为：y=3x，上，3，y=3x，左，1．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题关键．
例6．如图所示，直线经过点，将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线的解析式为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】结合题意，根据一次函数性质，得到直线解析式；再根据一次函数平移性质计算，即可得到答案．
解：结合题意，直线经过点
设一次函数解析式为
∴
∴
∴
结合题意，将直线向上平移3个单位长度，得：
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数解析式和图像的性质，从而完成求解．
【训练】若将直线平移后经过点（2，1），则应该将它向下平移______个单位长度．
【答案】4
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y=2x+m，然后将点（2，1）代入即可得出直线的函数解析式，故可得结论．
解：设直线平移后的解析式为，
将（2，1）代入得，，
∴平移后的解析式为，
∴由直线向下平行4个单位长度．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换及待定系数法去函数的解析式，掌握直线y=kx+b（k≠0）平移时k的值不变是解题的关键．
例7．将一次函数的图象沿轴方向向右平移1个单位长度得到的直线解析式为_______．
【答案】
【分析】平移后的直线的解析式的k不变 ( http: / / www.21cnjy.com )，设出相应的直线解析式，从原直线解析式上找一个点，然后找到向右平移1个单位，代入设出的直线解析式，即可求得b，也就求得了所求的直线解析式．
解：可设新直线解析式为y＝2x+b，
∵原直线y＝2x经过点（0，0），
∴向右平移1个单位，图像经过（1，0），
代入新直线解析式得：b＝，
∴新直线解析式为：．
故答案为．
【点拨】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，用到的知识点为：平移不改变直线解析式中的k，关键是得到平移后函数图像经过的一个具体点．www-2-1-cnjy-com
【训练】将直线y＝－2x＋4向左平移2个单位，得到直线的函数解析式为___________
【答案】
【分析】根据图象平移的规律，左加右减，上加下减，即可得到答案．
解：由题意得，
y＝－2x＋4=－2(x＋2)+4，
即y＝－2x，
故答案为：y＝－2x．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，掌握一次函数图象是解题的关键．
【类型】四、一次函数的分段讨论问题
例8．开通了，中国联通公布了资费标准，其中包月元时，超出部分国内拨打元/分．由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准．
时间/分 1 2 3 4 5 …
电话费/元 0.36 0.72 1.08 1.44 1.80 …
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用表示超出时间，表示超出部分的电话费，那么与的关系式是什么？
（3）如果打电话超出分钟，需多付多少电话费？
（4）某次打电话的费用超出部分是元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？
【答案】（1）国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量，电话费是因变量；（2）；（3）需多付元；（4）小明的爸爸打电话超出分钟
【分析】
（1）根据图表可以知道：电话费随时间的变化而变化，因而打电话时间是自变量、电话费是因变量；
（2）费用=单价×时间，即可写出解析式；
（3）把x=10代入解析式即可求得；
（4）在解析式中令y=5.4即可求得x的值．
解：（1）国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量，电话费是因变量．
（2）.
（3）当时，，即需多付元.
（4）当时，，即小明的爸爸打电话超出分钟．
【点拨】此题考查函数值，解题关键在于看懂图中数据
【类型】五、一次函数的面积问题
例9．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交点A的横坐标为3，将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线，直线与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的纵坐标为，直线与y轴交于点D．
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（1）求直线的解析式；
（2）连接AB，求的面积．
【答案】（1）；（2）9
【分析】
（1）先求出点A坐标，再根据平移规律得出直线的解析式，求出点B、C的坐标，然后再利用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）根据直线的解析式求出点D的坐标，即可求得BC的长，再根据求解即可．
【详解】
（1）由题可得，A的横坐标为3，
将代入可得:，
∴．
∵直线的解析式为：，
将代入中可得：，
解得：，
∴．
设直线为：，
代入，可得，
，
解得：，
∴直线的解析式为：．
（2）令中的，则，
∴，
令中的，则，
∴．
∵
，
∴的面积为9．
【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与几何变换、待定系数法求直线解析式、三角形的面积，熟练掌握平移变换规律，正确求出直线的解析式是解答的关键．21世纪教育网版权所有
【类型】六、一次函数图象中的折叠问题
例10．四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，
（1）如图，在上取一点，使得沿翻折后，点落在轴上，记作点，求点的坐标．
（2）求折痕所在直线的解析式．
（3）在折痕上是否存在一点，使最小？若存在，直接写出的最小值，若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【分析】
（1）由翻折可知，再用勾股定理求OB＇长即可；
（2）设AM=x，则BM=B′M= ( http: / / www.21cnjy.com )6-x，而AB′=OA-OB′=2，在Rt△AB′M中，利用勾股定理求出x的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线CM的解析式即可，21cnjy.com
（3）连接OB交CM于点P，此时，最小，求OB长即可．
【详解】
解：在长方形中：
由折叠可得：，
在中：，
；
，
，
由折叠可得：，
设为，则，
在中：，
即，
，
∴M点坐标为：，
设将代入，
得，
解得，
∴直线CM的解析式为：．
（3）存在；如图，连接OB交CM于点P，此时，最小，
，
的最小值为：．
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【点拨】本题考查了待定系数法、轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称、勾股定理和最短路径问题，根据翻折设未知数，利用勾股定理构建方程是解题关键，通过轴对称变换，利用两点之间，线段最短是求“两点一线”最短路径问题的基本方法．
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