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19.4 一次函数图象与性质
一、单选题
1．已知在一次函数y＝﹣3x+2的图象上有三个点A(﹣3，y1)，B(3，y2)，C(﹣4，y3)，则下列各式中正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
2．若函数y=2mx （m2 4）的图象经过原点，且y随x的增大而减小（ ）
A．m=2 B．m= 2 C．m=±2 D．以上答案都不对
3．直线经过第（ ）象限
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
4．将直线：，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线，则平移后得到直线的解析式为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
5．定义：为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“平衡点”，例如：，都是平衡点．当时，直线上有“平衡点”，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一次函数y＝kx+b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（ ）
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A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3
7．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车 ( http: / / www.21cnjy.com )从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），若如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列结论错误的是（ ）
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A．甲、乙两地相距1000千米
B．点B的实际意义是两车出发后3小时相遇
C．普通列车从乙地到达甲地时间是9小时
D．动车的速度是250千米/小时
8．要画出一次函数的图象，列表如下，下列结论正确的是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 5 2 …
A．y随x的增大而增大
B．方程的解是
C．一次函数的图象经过二、三、四象限
D．一次函数的图象与y轴的交点是
9．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(-3，0)，则（ ）．
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A．b<0 B．方程kx+b=0的解是x=-3 C．k<0 D．y随x的减小而增大
10．已知函数和，且，，则这两个一次函数图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
12．一次函数与正比例函数（m，n为常数、且）在同一平面直角坐标系中的图可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
13．在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝﹣2x+1上，点A关于y轴的对称点B恰好落在直线y＝kx+2上，则k的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣3
14．已知点A（1，）和点B（a，）在y=-2x+b 的图象上且> ，则a的值可能是（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．-2
15．在平面直角坐标系xOy中，直 ( http: / / www.21cnjy.com )线y=2x+2和直线y=-2x+4分别交x轴于点A和点B，则下列直线中，与x轴的交点在线段AB上的是（ ）【出处：21教育名师】
A．y=x+2 B． C．y=4x-12 D．
16．已知一次函数（k，b是常数，）若，则它的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
17．若一次函数（k是常数，）的图象经过点P，且函数y的值随自变量x的增大而减小，则点P的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
18．已知点，，是直线上的三个点，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
19．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝2kx+b的图象可能是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
20．一次函数y＝﹣bx﹣k的图象如下，则y＝﹣kx﹣b的图象大致位置是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
21．若关于的不等式组有解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．点、都在一次函数的图象上，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
23．一次函数y=kx＋b中，x 与γ的部分对应值如下表所示，则下列说法正确的是（ ）
ｘ … -1 0 1 2 …
ｙ … 5 2 -1 -4 …
A．x 的值每增加1，y的值增加 3，所以k=3 B．x=2是方程 kx＋b=0的解
C．函数图象不经过第四象限 D．当x>1时，y<-1
24．一次函数y=2x+1的图像，可由函数y=2x的图像（ ）
A．向左平移1个单位长度而得到 B．向右平移1个单位长度而得到
C．向上平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到
25．当时，函数的值等于（ ）
A． B．0 C．1 D．7
26．一次函数上有两点和，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
27．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点．若是轴上的动点，则的最小值（ ）21教育网
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A． B．6 C． D．4
28．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边形OABC是菱形．已知点B坐标为(3，)，则直线AC的函数解析式为（ ）21·cn·jy·com
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A．y＝x+ B．y＝x+2 C．y＝﹣x+ D．y＝﹣x+2
29．一次函数y=-3x-2的图象和性质，表述正确的是（ ）
A．y 随x 的增大而增大 B．函数图象不经过第一象限
C．在y轴上的截距为2 D．与x轴交于点（-2，0）
30．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
31．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴，AC⊥y轴，D是OB的中点．E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．（0，） B．（0，1） C．（0，） D．（0，2）
32．已知函数中y随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
33．若一次函数（都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
34．如图1，将正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y=x－3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（ ）
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A． B． C． D．5
35．已知点P（m，n）在第二象限，则直线y=nx＋m图象大致是下列的（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
36．若实数、满足，且，则一次函数的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
37．下列图形中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
38．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，轴于点，则周长的最小值为（ ）．www-2-1-cnjy-com
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A． B． C．4 D．
39．如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则周长的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
40．如图点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（ ）．
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
B．C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
41．如图，矩形的边、分别在轴、轴上，点的坐标是，点、分别为、的中点，点为上一动点，当最小时，点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
42．如图，在平面直角坐标系中，点，，在直线上，点，，在轴上，，，都是等腰直角三角形，若已知点，则点的纵坐标是（ ）
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A． B． C． D．
43．如图，在平面直角坐标系中，点，，，和，，，分别在直线和轴上，，，，是以，，，为顶点的等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
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A． B． C． D．
44．我们把三个数的中位数记 ( http: / / www.21cnjy.com )作Z{a，b，c}．例如Z{1，3，2}=2．函数y=|2x+b|的图象为C1，函数y=Z{x+1，-x+1，3}的图象为C2．图象C1在图象C2的下方点的横坐标x满足-3A．03或b<0 C．0≤b≤3 D．1二、填空题
45．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是y轴上一个动点，且点A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是_______．
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46．一次函数的图象经过_______象限．
47．天降大雨，龙湾水库的蓄水量随时间的增加而直线上升，若该水库的蓄水量V（万米）与降雨的时间t（天）的关系如图所示，则V与t的函数关系式是___________．
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48．已知点P（a，b）在直线y＝﹣x﹣9上，且＝3，则代数式a2+b2﹣ab的值为__．
49．已知l1：y＝﹣2x+6将l1向左平移3个单位长度得到的直线解析式为_____．
50．若函数y＝（a﹣2）x＋b﹣3的图象如图所示，化简：|b﹣a|﹣|3﹣b|﹣|2﹣a|＝_____．
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51．如图，正方形A1B1C1O，A2B ( http: / / www.21cnjy.com )2C2C1，A3B3C3C2，…按其所示放置，点A1，A2，A2，…和C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B2020的横坐标是______．
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52．若y＝（m-2）x|m-2|﹣5是关于x的一次函数，且y随x增大而减小，则常数m的值为______．
53．如图，直线y＝x上有点A1，A2，A3，…An+1，且OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，AnAn+1＝2n，分别过点A1，A2，A3，…An+1作直线y＝x的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，…Bn+1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，…AnBn+1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn+1，则△A4B4B5的面积为_____．
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54．如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作 轴的垂线，交直线于点按此规律作下去， 则点的坐标为_______；点的坐标为_______ ．
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55．如图，在平面直角坐标系中，点M（﹣1 ( http: / / www.21cnjy.com )，3）、N（a，3），若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，则a的值可以为_____．（写出一个即可）2-1-c-n-j-y
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56．在平面直角坐标系中，对于两点A、B，给出如下定义：以线段AB为直角边的等腰直角三角形称为点A、B的“对称三角形”．一次函数y＝﹣x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，在第一象限内，点A，B的“对称三角形”的另一个顶点坐标为_____．
57．如图，直线，（a，b是整数）分别交x轴于点A，B．若线段上只有三个点的横坐标是整数（分别为4，5，6），则有序数对一共有__________对．
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58．已知某直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则该直线的函数表达式是_________．
59．已知是关于的正比例函数，当时，，则关于的函数表达式为____．
三、解答题
60．一次函数，求：
（1）m，n是什么数时，y随x增大而增大？
（2）m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？
（3）若时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积．
61．小融同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下表是小融探究过程中的部分信息：
x … 0 1 2 3 …
y … 2 1 0 a 4 …
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请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为 ，a的值为 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）结合函数的图象，解决下列问题：
①写出该函数的一条性质： ；
②如图，在同一坐标系中是一次函数的图象，根据图象回答，当时，自变量x的取值范围为 ．21cnjy.com
62．如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m＋1图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B．
（1）求m的取值范围；
（2）若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的解析式．
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63．如图，一次函数y=x+3的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数y＝kx的图象交于点B（﹣1，m）．
（1）求m的值；
（2）求正比例函数的表达式；
（3）点D是一次函数图象上的一点，且△OCD的面积是4，求点D的坐标．
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64．甲、乙两地相距500千米，汽车从甲地以每小时80千米的速度开往乙地
（1）写出汽车离乙地的距离s（千米）与开出时间t（时）之间的函数关系式，并指出是不是一次函数？
（2）汽车从甲地开出多久，距离乙地100千米？
65．已知一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使的面积为2，求点P的坐标．
66．如图，在平面直角坐标系中，直线l与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求直线l的函数解析式；
（3）在x轴上是否存在点C，使△ABC的面积为10？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
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67．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△（点A、B、C分别对应、、）；
（2）写出、、坐标： ， ， ；
（3）求△的面积；
（4）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+P的值最小，并写出P点坐标．
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68．如图，已知A（﹣2，4），B（4，2），C（2，﹣1）．
（1）作△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于x轴的对称点C1的坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P并直接写出此时点P的坐标（保留作图痕迹）．
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69．已知a，b为实数，且与的值互为相反数，
（1）求a、b的值；
（2）若一次函数的图象经过点与点，求这个一次函数的关系式．
70．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）如图是x与y的几组对应值．
x … 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值为________；
（2）在如图的坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；
②当时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．
小明得出的结论中正确的是___________．（只填序号）
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71．在平面直角坐标系中，设一次函数，（k，b是实数，且）
（1）若函数的图象过点，求函数与x轴的交点坐标；
（2）若函数的图象经过点，求证：函数的图象经过点；
（3）若函数的图象不经过第一象限，且过点，当时，求k的取值范围．
72．如图1，直线AB：y=x＋4分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，将△BOC沿BC折叠，使点O落在BA上的点M处．21*cnjy*com
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求线段BC的长；
（3）点P为x轴上的动点，当∠PBA=45°时，求点P的坐标．
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73．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n交于点P（1，b），直线l2与x轴交于点A（4，0）．
（1）求b的值；
（2）解关于x，y的方程组，并直接写出它的解；
（3）判断直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
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74．如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①若的面积为，求点的坐标；
②点在线段上，连接，如图2，若，直接写出的坐标．
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75．如图，正方形的边长为4，在x轴上，在y轴上，且，，点D为的中点，点E在x轴上，直线交x轴于点F．www.21-cn-jy.com
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（1）如图1，若，
①求证：；
②点P是直线上的一个动点，求作点P使得的值最小，并直接写出的最小值；
（2）如图2，E在x轴上运动，当为等腰三角形时，求点E的坐标．
76．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD∥BC，CD⊥AD，BD和AC相交于点P．求△BPC的面积．
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小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：
建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得△BPC的面积．【版权所有：21教育】
请你按照小明的思路解决这道思考题．
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77．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．21教育名师原创作品
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y＝kx（ ( http: / / www.21cnjy.com )k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．21*cnjy*com
（3）如图③，E为线段AB上一动点， ( http: / / www.21cnjy.com )以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．
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78．如图，已知直线与轴交于A（-3，0）、与轴交于B点，
且经过（1，8），在轴上有一点C（0，3），动点D从点A以每秒1个单位的速度沿
轴向右移动，设动点D的移动时间为秒．
（1）求、的值；
（2）当为何值时△COD≌△AOB，并求此时点D的坐标；
（3）求△COD的面积S与动点D的移动时间之间的函数关系式．
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19.4 一次函数图象与性质
一、单选题
1．已知在一次函数y＝﹣3x+2的图象上有三个点A(﹣3，y1)，B(3，y2)，C(﹣4，y3)，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【分析】
根据一次函数图象的增减性来比较A、B、C三点的纵坐标的大小．
【详解】
解：∵一次函数y＝﹣3x+2中的﹣3＜0，
∴该函数的y随x的增大而减小．
又∵3＞﹣3＞﹣4，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点坐标特征．解答该题的关键是熟练掌握一次函数的增减性．
2．若函数y=2mx （m2 4）的图象经过原点，且y随x的增大而减小（ ）
A．m=2 B．m= 2 C．m=±2 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】
根据函数过原点，求出m的值，利用一次函数的性质得m<0，即可得到答案．
【详解】
解：∵若函数y=2mx （m2 4）的图象经过原点，则函数经过得一个点的坐标为（0，0），则0= （m2-4），
∴m=±2，
∵y随x的增大而减少，则2m<0， 即m<0．
∴m=-2．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查对一次函数的性质，一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地运用一次函数的性质进行推理求解待定参数是解此题的关键．2·1·c·n·j·y
3．直线经过第（ ）象限
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】B
【分析】
由y=-3x+1可知直线与y轴交于（0，1）点，且y随x的增大而减小，可判断直线所经过的象限．
【详解】
解：直线y=-3x+1与y轴交于（0，1）点，
且k=-3<0，y随x的增大而减小，
∴直线y=-3x+1的图象经过第一、二、四象限．
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质．关键是根据图象与y轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限．
4．将直线：，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线，则平移后得到直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一次函数平移k、b变化规律，在自变量或常数项上加减即可．
【详解】
解：，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线为：
，即；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象的平移变换，解题关键是明确函数图像平移的规律：上加下减常数项，左加右减自变量．
5．定义：为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“平衡点”，例如：，都是平衡点．当时，直线上有“平衡点”，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据x＝y，可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】
解：∵x＝y，
∴x＝2x＋m，即x＝ m．
∵，
∴ 2≤ m≤4，
∴ 4≤m≤2．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．
6．如图是一次函数y＝kx+b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3
【答案】C
【分析】
从图象上得到函数的增减性及当y＝2时，对应的点的横坐标，即能求得当y＜2时，x的取值范围．
【详解】
解：一次函数y＝kx+b经过点（3，2），且函数值y随x的增大而增大，
∴当y＜2时，x的取值范围是x＜3．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质，正确利用函数图象分析是解题关键．
7．一列动车从甲地开往乙地 ( http: / / www.21cnjy.com )，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），若如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列结论错误的是（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．甲、乙两地相距1000千米
B．点B的实际意义是两车出发后3小时相遇
C．普通列车从乙地到达甲地时间是9小时
D．动车的速度是250千米/小时
【答案】C
【分析】
根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图象可得，
甲、乙两地相距1000千米，故选项A正确；
点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，故选项B正确；
普通列车从乙地到达甲地时间是12小时，故选项C错误；
普通列出的速度为1000÷12＝（千米/小时），动车的速度为：1000÷3﹣＝250（千米/小时），故选项D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．要画出一次函数的图象，列表如下，下列结论正确的是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 5 2 …
A．y随x的增大而增大
B．方程的解是
C．一次函数的图象经过二、三、四象限
D．一次函数的图象与y轴的交点是
【答案】D
【分析】
根据待定系数法求得解析式，然后根据一次函数的特点进行选择即可．
【详解】
解：由题意得，当x=1时，y=-1，当x=0时，y=2，
则，解得：，
函数解析式为：y=-3x+2，
A、∵k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，故错误；
B、当-3x+2=2时，x=0，
∴方程kx+b=2的解是x=0，故错误；
C、∵k=-3＜0，b=2＞0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，故错误；
D、令x=0，则y=2，
∴一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点为（0，2），故正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
9．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(-3，0)，则（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．b<0 B．方程kx+b=0的解是x=-3 C．k<0 D．y随x的减小而增大
【答案】B
【分析】
根据一次函数y=kx+b的图象与坐标轴的交点、所经过的象限、增减性逐项进行判断，即可求解．
【详解】
一次函数y=kx+b的图象与y轴交于正半轴，则b＞0，故A错误；
一次函数y=kx+b的图象经过点(-3，0)，则方程kx+b=0 的解是x=-3，故B正确；
一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则k＞0，故C错误；
一次函数y=kx+b中k＞0，则y随x的增大而增大，故D错误；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．
10．已知函数和，且，，则这两个一次函数图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
由函数解析式，得，求得交点的坐标，根据，，判断交点的坐标特点，确定位置．
【详解】
∵，
∴，
∵，，
∴k+2＞0，a+6＜0，a＜0，ak＜0，ak-12＜0，
∴，
∴交点位于第三象限，
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数的交点坐标的求法，点的坐标与象限的关系，熟练运用二元一次方程组的思想确定交点是解题的关键．
11．以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据二元一次方程与一次函数的关系，先将方程化为，再利用一次函数图象与性质判断出图象经过的象限，即可得出结论．21教育名师原创作品
【详解】
解：方程可化为，
∵，，
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是选项D．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二元一次方程与一次函数的关系，掌握二元一次方程与一次函数的关系是解题的关键．
12．一次函数与正比例函数（m，n为常数、且）在同一平面直角坐标系中的图可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情 ( http: / / www.21cnjy.com )况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】
解：①当mn＞0，m，n同号，m，n同正时y＝mx＋n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝mnx过原点，一、三象限；
②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx＋n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、四象限．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况 ( http: / / www.21cnjy.com )：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限．
13．在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝﹣2x+1上，点A关于y轴的对称点B恰好落在直线y＝kx+2上，则k的值为（ ）
A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣3
【答案】B
【分析】
由点A的坐标以及点A在直 ( http: / / www.21cnjy.com )线y＝﹣2x+1上，可得出关于m的一元一次方程，解方程可求出m值，即得出点A的坐标，再根据对称的性质找出点B的坐标，由点B的坐标利用待定系数法即可求出k值．
【详解】
解：∵点A在直线y＝﹣2x+1上，
∴m＝﹣2×2+1＝﹣3，
∴点A的坐标为（2，﹣3）．
又∵点A、B关于y轴对称，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在直线y＝kx+2上，
∴﹣3＝﹣2k+2，解得：k＝2.5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是求出点B的坐标．
14．已知点A（1，）和点B（a，）在y=-2x+b 的图象上且> ，则a的值可能是（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】
函数解析式y=-2x+b知k＜0，可得y随x的增大而减小，求出a的取值范围即可求解．
【详解】
解：由y=-2x+b知k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵> ，
∴a>1
∴a的值可能是2
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
15．在平面直角坐标系xOy中，直线y ( http: / / www.21cnjy.com )=2x+2和直线y=-2x+4分别交x轴于点A和点B，则下列直线中，与x轴的交点在线段AB上的是（ ）21教育网
A．y=x+2 B． C．y=4x-12 D．
【答案】D
【分析】
先确定A，B的坐标，从而确 ( http: / / www.21cnjy.com )定交点横坐标的取值范围，后逐一计算选项直线与x轴的交点，判断横坐标是否在求得的范围内，在范围内，满足条件，否则，不满足．21cnjy.com
【详解】
∵直线y=2x+2和直线y=-2x+4分别交x轴于点A和点B，
∴A（-1，0），B（2，0），
∴-1≤x≤2，
∵y=x+2交x轴于点A（-2，0），且x= -2不是-1≤x≤2的解，
∴与x轴的交点不在线段AB上，
∵交x轴于点A（，0），且x= 不是-1≤x≤2的解，
∴与x轴的交点不在线段AB上，
∵y=4x-12交x轴于点A（3，0），且x= 3不是-1≤x≤2的解，
∴与x轴的交点不在线段AB上，
∵交x轴于点A（，0），且x=是-1≤x≤2的解，
∴与x轴的交点在线段AB上，
故选D．
【点睛】
本题考查了一次函数与x轴的交点问题，利用交点的横坐标建立不等式解集，验证新直线与x轴交点的横坐标是否是解集的解是解题的关键．【版权所有：21教育】
16．已知一次函数（k，b是常数，）若，则它的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
逐一分析各个选项的k、b的符号，结合已知条件即可做出判断
【详解】
解：A、由图可知k＞0，b＞0，且当x=-1时，-k+b＜0， k＞b，则|k|=k，|b|=b，可得|k|＞|b|与题意不符；
B、由图可知k＞0，b＜0，且当x=1时，k+b＞0， k＞-b，则|k|=k，|b|=-b，可得|k|＞|b|与题意不符；
C、由图可知当x=-1时，-k+b=0， k=b，则 |k|=|b|与题意不符；
D、由图可知k＜0，b＞0，且当x=1时，k+b＞0， -k＜b，则|k|=-k，|b|=b，可得|k|＜|b|与题意相符；
故选：D
【点睛】
此题考查了一次函数图象与k和b ( http: / / www.21cnjy.com )符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
17．若一次函数（k是常数，）的图象经过点P，且函数y的值随自变量x的增大而减小，则点P的坐标可以是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据增减性判断k的取值范围，再分别把各个点代入，将解得的k与取值范围对照即可．
【详解】
解：∵一次函数（k是常数，）的图象，函数y的值随自变量x的增大而减小，
∴，
当一次函数经过（3,2）时，，解得k=0，与k的取值范围不符，故A选项不符合题意；
当一次函数经过（3,3）时，，解得，与k的取值范围不符，故B选项不符合题意；
当一次函数经过（-1,3）时，，解得，与k的取值范围符合，故C选项符合题意；
当一次函数经过时，，解得，与k的取值范围不符，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的性质．对于一次函数，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
18．已知点，，是直线上的三个点，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
结合题意，根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵直线上，随着的增加而减小，且
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．
19．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝2kx+b的图象可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
由图知，函数y＝kx＋b图象过点（0，1），即k＞0，b＝1，再根据一次函数的特点解答即可．
【详解】
解：∵由函数y＝kx＋b的图象可知，k＞0，b＝1，
∴y＝2kx＋b＝2kx＋1，2k＞0，
∴2k＞k，可见一次函数y＝2kx＋b图象与x轴的夹角，大于y＝kx＋b图象与x轴的夹角．
∴函数y＝2kx＋1的图象过第一、二、三象限且与x轴的夹角比y＝kx＋b与x轴的夹角大．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的图象与k与b的关系是解题的关键．
20．一次函数y＝﹣bx﹣k的图象如下，则y＝﹣kx﹣b的图象大致位置是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据一次函数的性质和一次函数y=-bx ( http: / / www.21cnjy.com )-k的图象，可以得到-b＜0，-k＞0，然后即可得到y=-kx-b的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】
解：由一次函数y＝﹣bx﹣k的图象可知：﹣b＜0，﹣k＞0，
∴y＝﹣kx﹣b的图象经过第一、三、四象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
21．若关于的不等式组有解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】
先解不等式组，根据不等式组有解，求得的取值范围，即可判断一次函数的图象一定不经过的象限．
【详解】
∵，
∴，
∵不等式组有解，
∴，
∴，
∴，
∴经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22．点、都在一次函数的图象上，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】
根据题意，分别表示出，，再判断的正负性，即可得到答案．
【详解】
∵点、都在一次函数的图象上，
∴，，
∴＞0，
∴，
故选A．
【点睛】
本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，掌握作差法比较大小，是解题的关键．
23．一次函数y=kx＋b中，x 与γ的部分对应值如下表所示，则下列说法正确的是（ ）
ｘ … -1 0 1 2 …
ｙ … 5 2 -1 -4 …
A．x 的值每增加1，y的值增加 3，所以k=3 B．x=2是方程 kx＋b=0的解
C．函数图象不经过第四象限 D．当x>1时，y<-1
【答案】D
【分析】
根据待定系数法求得解析式，然后根据一次函数的特点进行选择即可．
【详解】
解：由题意，
当时，；当时，；
∴，解得，
∴一次函数为；
∴函数图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
∴A、C选项不符合题意；
当时，则，故B错误；
∵，
∴一次函数，y随x的增大而减小；
∵经过点（1，），
∴当x>1时，y<1；故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
24．一次函数y=2x+1的图像，可由函数y=2x的图像（ ）
A．向左平移1个单位长度而得到 B．向右平移1个单位长度而得到
C．向上平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到
【答案】C
【分析】
根据一次函数图象平移规律，直接判断即可．
【详解】
解：∵一次函数图象向上平移m（m>0）个单位，常数项增加m，
∴函数y=2x的图像向上平移1个单位可以得到y=2x+1的图像，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象平移的规律，解题关键是掌握一次函数图象平移的规律：上加下减常数项，左加右减自变量．www.21-cn-jy.com
25．当时，函数的值等于（ ）
A． B．0 C．1 D．7
【答案】A
【分析】
把代入解析式即可．
【详解】
解：把代入得，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了求一次函数的函数值，解题关键是把自变量的值代入后能准确熟练计算．
26．一次函数上有两点和，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】A
【分析】
根据一次函数的增减性直接判断即可；或求出、的值，进行比较．
【详解】
解：方法一：因为一次函数中的比例系数，
所以y随着x的增大而减小，
∵-2＜1，
∴；
方法二：把x=-2或1分别代入得，
、，
∴；
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的增减性，解题关键是知道一次函数的增减性由比例系数k决定，根据k值可直接判断．
27．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点．若是轴上的动点，则的最小值（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【分析】
作直线关于轴的对称直线，过点作于点，过点作于点，在中，，，所以，因为，求出的长可求出的最小值．
【详解】
解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点，
∴ ，，
，
，
∵在中，，
，
作直线关于轴的对称直线，过点作于点，过点作于点，
，
，
∴在中，，
，
又∵在中，，
，
，
∴，
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，垂线的性质，直角三角形的性质，轴对称等知识，利用垂线段最短是解本题的关键．
28．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边形OABC是菱形．已知点B坐标为(3，)，则直线AC的函数解析式为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．y＝x+ B．y＝x+2 C．y＝﹣x+ D．y＝﹣x+2
【答案】D
【分析】
过B点作BH⊥x轴于H点，菱形的对角线的交点为P，如图，设菱形的边长为t，则OA＝AB＝t，在Rt△ABH中利用勾股定理得到（3﹣t）2+（）2＝t2，解方程求出t，得到A（2，0），再利用P为OB的中点得到P（，），然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可．
【详解】
解：过B点作BH⊥x轴于H点，菱形的对角线的交点为P，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCO为菱形，
∴OP＝BP，OA＝AB，
设菱形的边长为t，则OA＝AB＝t，
∵点B坐标为（3，），
∴BH＝，AH＝3﹣t，
在Rt△ABH中，（3﹣t）2+（）2＝t2，解得t＝2，
∴A（2，0），
∵P为OB的中点，
∴P（，），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（2，0），P（，），代入得：，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，勾股定理以及一次函数的待定系数法，熟练掌握菱形的性质和待定系数法，是解题的关键．
29．一次函数y=-3x-2的图象和性质，表述正确的是（ ）
A．y 随x 的增大而增大 B．函数图象不经过第一象限
C．在y轴上的截距为2 D．与x轴交于点（-2，0）
【答案】B
【分析】
根据一次函数y=kx+b（k≠0）的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，即可判断A项，解析式特点找到函数通过的象限即可判断B项；使y=0时，对应的横坐标即可判断C；使x=0时，对应的纵坐标即可判断D．
【详解】
A. 因为k=-3，所以y随x的增大而减小，故此项不正确；
B. 根据函数解析式y=-3x-2特点，函数图象经过第二、三、四象限，故此项正确；
C. y=-3x-2与y轴的交点坐标（0，-2），那么在y轴上的截距为-2，故此项不正确；
D. y=-3x-2与x轴交于点（，0），故此项不正确；
故选B
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，正确掌握一次函数图象的增减性和一次函数的性质是解题的关键．
30．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据函数在坐标系中得位置可知，然后根据系数的正负即可判断函数的位置．
【详解】
函数的图像经过一、二、三象限，
，
函数的图像经过一、三、四象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数与系数的关系，根据函数在坐标系中的位置得出系数的正负是解题关键．
31．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴，AC⊥y轴，D是OB的中点．E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（0，） B．（0，1） C．（0，） D．（0，2）
【答案】B
【分析】
作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，与y轴交于点E，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；E点坐标即为直线A'D与y轴的交点．
【详解】
解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，与y轴交于点E，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；
∵A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴，
B点坐标为（-2,0）， D是OB的中点，
∴D点坐标为：（﹣1，0），
A关于y轴的对称点A'，可知A'（2，3），
设A'D的直线解析式为y＝kx+b，则：
，
解得：，
∴A'D的直线解析式为y＝x+1，
当x＝0时，y＝1
∴E（0，1）．
故选：B．
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【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式和求一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象与坐标轴交点坐标，能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE的最短距离转化为两点之间，线段最短，并能利用一次函数求出点的坐标是解题的关键．
32．已知函数中y随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据正比例函数的增减性，确定k的正负，再依据一次函数图象与系数的关系判断即可．
【详解】
解：∵函数中y随的增大而减小，
∴k<0，
∴3k<0，k2>0，
一次函数的图象经过第二、一、四象限，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正比例函数图象和一次函数图象的性质，解题关键是判断一次函数的系数的符号，并根据系数的正负判断图象所经过的象限．
33．若一次函数（都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据一次函数图像在坐标平面的位置，可先确定的取值范围，在根据的取值范围确定一次函数图像在坐标平面的位置，即可求解．
【详解】
根据一次函数经过一、二、四象限，则函数值随的增大而减小，可得；图像与轴的正半轴相交则，因而一次函数的一次项系数，随的增大而增大，经过一三象限，常数，则函数与轴的负半轴，因而一定经过一、三、四象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像与系数的关系，解题关键是根据已知函数图像的位置确定的取值范围．
34．如图1，将正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y=x－3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】
从图2中，判定从有截长到 ( http: / / www.21cnjy.com )截长消失，用12-2=10秒，根据正方形的对称性，截长从0到最大用5秒，从而判断正方形的边长为5，对角线长即可确定．
【详解】
解：从图2中，判定从有截长到截长消失，用12-2=10秒，根据正方形的对称性，
截长从0到最大用5秒，
所以正方形的边长为5，
所以对角线长为．
故选A．
【点睛】
本题考查了坐标系中的平移问题，熟练掌握平移的规律，正方形的对称性，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
35．已知点P（m，n）在第二象限，则直线y=nx＋m图象大致是下列的（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据点P在第二象限，确定m＜0，n＞0，根据k，b的符号，确定图像的分布即可.
【详解】
∵点P（m，n）在第二象限，
∴m＜0，n＞0，
∴图像分布在第一，第三象限，第四象限，
故选C.
【点睛】
本题考查了根据k，b的符号确定一次函数图像的分布，熟记k，b的符号与图像分布的关系是解题的关键.
36．若实数、满足，且，则一次函数的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据，且确定k，b的符号，从而求解．
【详解】
解：因为实数k、b满足k+b=0，且k＞b，
所以k＞0，b＜0，
所以它的图象经过一、三、四象限，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 ( http: / / www.21cnjy.com )k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
37．下列图形中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据“两数相乘，同号得正，异号得 ( http: / / www.21cnjy.com )负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】
解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx＋n过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；
②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx＋n过1，3，4象限或2，4，1象限．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查一次函数与正比例函数的图象判断，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质．
38．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，轴于点，则周长的最小值为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
先根据一次函数的解析式可得，设点P的坐标为，从而可得，再根据三角形的周长公式可得周长为，然后根据垂线段最短可得当时，OP取得最小值，最后利用等腰直角三角形的判定与性质求出OP的最小值即可得．
【详解】
对于一次函数，
当时，，解得，即，，
当时，，即，，
由题意，设点P的坐标为，
则，
因此，周长为，
要使周长最小，则只需OP取得最小值，
由垂线段最短可知，当时，OP取得最小值，
又，
是等腰直角三角形，，
此时，
周长的最小值为，
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识点，正确找出周长最小时，点P的位置是解题关键．
39．如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则周长的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图（见解析），先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得周长的最小值为FG的长，然后根据直线AB的解析式求出点B的坐标，从而可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利用两点之间的距离公式即可得出答案．
【详解】
如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG、BF，
由轴对称的性质得：，
周长为，
由两点之间线段最短得：当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为FG的长，
对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
，
点C为OB的中点，
，
点G为点C关于AO的对称点，
，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，即轴，
，
则，
即周长的最小值是，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、坐标与轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，利用两点之间线段最短找出周长的最小值是解题关键．
40．如图点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
B．C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
分类讨论，分别表示出点P位于线段AB上、点P位于线段BC上、点P位于线段MC上时对应的的面积，判断函数图像，选出正确答案即可．
【详解】
由点M是CD中点可得：CM=，
（1）如图：当点P位于线段AB上时，即0≤x≤1时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
y==x；
（2）如图：当点P位于线段BC上时，即1( http: / / www.21cnjy.com / )
BP=x－1，CP=2－x，
y===；
（3）如图：当点P位于线段MC上时，即2( http: / / www.21cnjy.com / )
MP=，
y===．
综上所述：
．
根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一次函数的实际应用，分类讨论，将分别表示为一次函数的形式是解题关键．
41．如图，矩形的边、分别在轴、轴上，点的坐标是，点、分别为、的中点，点为上一动点，当最小时，点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先作点E关于x轴的对称点，连接与x轴的交点就是点P，找到取最小值的状态，然后通过点坐标求出直线的解析式，点P就是它和x轴的交点．
【详解】
解：作点E关于x轴的对称点，连接与x轴的交点就是点P，
此时是最小的，
根据矩形的性质，，，
根据轴对称，，
设直线的解析式为，将点和点代入，
，解得，则直线解析式为，
令，求出，则点P坐标是．
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查直角坐标系中线段和最小问题，解题的关键是利用数形结合的思想，将几何中的线段和最小问题利用函数的方法求解．
42．如图，在平面直角坐标系中，点，，在直线上，点，，在轴上，，，都是等腰直角三角形，若已知点，则点的纵坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作x轴， x轴， x轴，设纵坐标为m，再根据等腰直角三角形的性质，将坐标表示为，代入直线解析式算出m，再用同样的方法设，代入解析式求出n．
【详解】
解：如图，作x轴， x轴， x轴，
把代入，求出，则直线解析式是，
已知，根据等腰直角三角形的性质，得到，
设纵坐标为m，，，得，代入直线解析式，得，解得，
设纵坐标为n，，，得，代入直线解析式，得，解得．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查一次函数的图象和几何综合，解题的关键是抓住等腰直角三角形的性质去设点坐标，再代入解析式列式求解．
43．如图，在平面直角坐标系中，点，，，和，，，分别在直线和轴上，，，，是以，，，为顶点的等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设点A2，A3，A4…，A2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【详解】
解：在直线，
，
，
设，，，，，，，，，
则有，，，，
又△，△，△，，都是等腰直角三角形，
，，，．
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，，，，，
又，
，，，，，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律．
44．我们把三个数的中位数记作Z{a，b ( http: / / www.21cnjy.com )，c}．例如Z{1，3，2}=2．函数y=|2x+b|的图象为C1，函数y=Z{x+1，-x+1，3}的图象为C2．图象C1在图象C2的下方点的横坐标x满足-3A．03或b<0 C．0≤b≤3 D．1【答案】C
【分析】
画出函数图象，利用图象法，取特殊点求出b的值即可解决问题．
【详解】
解：如图，图象、如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
对于函数，当时，，当函数经过时，，
对于函数，当时，，当函数经过时，，
观察图象可知，当图象在图象的下方点的横坐标满足，则的取值范围为，
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的图象、中 ( http: / / www.21cnjy.com )位线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，解题时学会取特殊点解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
45．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是y轴上一个动点，且点A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（0，5）
【分析】
作点A关于y轴的对称点A′， ( http: / / www.21cnjy.com )连接A′B交y轴于点C，此时CA+CB最小，由点A的坐标可得出点A′的坐标，由点A′，B的坐标，利用待定系数法可求出直线A′B的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标．
【详解】
解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时CA+CB最小，如图所示．
∵点A的坐标为（2，7），
∴点A′的坐标为（-2，7）．
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A′（-2，7），B（5，0）代入y=kx+b，得：，
解得：，
∴直线A′B的解析式为y=-x+5．
当x=0时，y=-1×0+5=5，
∴点C的坐标为（0，5）．
故答案为：（0，5）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、 ( http: / / www.21cnjy.com )一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称-最短路线问题，利用三角形的三边关系（或两点之间线段最短），确定点C的位置是解题的关键．【出处：21教育名师】
46．一次函数的图象经过_______象限．
【答案】一，二，四
【分析】
根据一次函数的y=kx+b（k≠0）的k、b的符号确定该函数的图象所经过的象限．
【详解】
解：∵一次函数y=-3x+2中的-3＜0，
∴该函数的图象经过第二、四象限；
又∵一次函数y=-3x+2中的2＞0，
∴该函数的图象与y轴交与正半轴，
∴该函数的图象经过第一、二、四象限；
故答案为：一、二、四．
【点睛】
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
47．天降大雨，龙湾水库的蓄水量随时间的增加而直线上升，若该水库的蓄水量V（万米）与降雨的时间t（天）的关系如图所示，则V与t的函数关系式是___________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
设关系式，根据点（0，10）和（6，40）在函数图象上，代入设的函数关系式求解即可．
【详解】
解：因为V与t是一次函数，设关系式为V=kt+b
因为点（0，10）和（6，40）在函数图象上，
所以
解得
所以所得函数关系式为V=5t+10．
故答案为：V=5t+10．
【点睛】
此题主要考查了运用待定系数法求函数关系式，解答此题的关键是找准函数图象经过的点的坐标．
48．已知点P（a，b）在直线y＝﹣x﹣9上，且＝3，则代数式a2+b2﹣ab的值为__．
【答案】33
【分析】
把点P(a，b)代入直线y＝－x－9中，得到a+b＝－9，求得(a+b)2＝81，根据＝3，求得ab＝16，代入代数式即可得到结论．
【详解】
解：∵点P(a，b)在直线y＝－x－9上，
∴b＝－a－9，
∴a+b＝－9，
∴(a+b)2＝81，
∵＝3，
∴ab＝16，
∴a2+b2－ab＝(a+b)2－3ab＝81－48＝33．
故答案为：33．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征， ( http: / / www.21cnjy.com )算术平方根及代数式求值，明确函数图象经过的点必能满足解析式及算术平方根的定义，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
49．已知l1：y＝﹣2x+6将l1向左平移3个单位长度得到的直线解析式为_____．
【答案】y＝﹣2x
【分析】
当直线y=kx+b向左平移m(m ( http: / / www.21cnjy.com )>0)个单位时，解析式为：y=k(x+m)+b；当向右平移m个单位时，解析式为：y=k(x-m)+b．利用一次函数平移规律便可得出平移后的解析式．
【详解】
将l1向左平移3个单位长度得到的直线解析式是：y＝﹣2（x+3）+6，即y＝﹣2x．
故答案为：y＝﹣2x．
【点睛】
本题考查了求一次函数解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式，掌握直线左右平移的函数解析式规律：左移自变量加，右移自变量减；当然本题也可用待定系数法求解析式：由于平移k的大小不变，故设平移后的解析式为y=-2x+b，在直线y=-2x+6上任取一点，比如（0,6），根据平移的定义，此点向左平移3个单位后的坐标为（-3,6），则有-2×（-3）+b=6，解得b=0，所以y=-2x．
50．若函数y＝（a﹣2）x＋b﹣3的图象如图所示，化简：|b﹣a|﹣|3﹣b|﹣|2﹣a|＝_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】1
【分析】
根据一次函数图象可得a＜2，b＞3，进而利用绝对值性质化简原式即可．
【详解】
解：∵一次函数y＝（a﹣2）x＋b﹣3的图象经过第一、二、四象限，
∴a﹣2＜0，b﹣3＞0，即a＜2，b＞3，a＜b，
∴|b﹣a|﹣|3﹣b|﹣|2﹣a|
＝（b﹣a）﹣（b﹣3）﹣（2﹣a）
＝b﹣a+3﹣b﹣2+a
＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一次函数的图象与性质、解一元一次不等式、绝对值性质、整式的加减，熟练掌握一次函数的图象与性质，掌握绝对值的性质是解答的关键．21·cn·jy·com
51．如图，正方形A1B1C1O ( http: / / www.21cnjy.com )，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按其所示放置，点A1，A2，A2，…和C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B2020的横坐标是______．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】22020-1
【分析】
根据直线y=x+1可求与x轴、y轴的交点坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标，得出第一个正方形的边长，得出点B1的横坐标，根据第二个正方形与第一个正方形的关系，可求出第二个正方形的边长，进而确定B2的横坐标，依此类推，可得出B2020的横坐标．
【详解】
解：当x=0时，y=x+1=1，
∴A（0，1），
∴直线与x轴的交点（-1，0），
∵四边形A1OC1B1是正方形，
∴OC1=C1B1=1，∠OC1B1=90°，
∴B1（1，1），
易得△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、△A4B4A5……均是等腰直角三角形，
可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，
因此：B2的横坐标为1+1×2=1+2=20+21=3=22-1，
B3的横坐标为1+1×2+2×2=1+2+4=20+21+22=7=23-1，
B4的横坐标为24-1，
B5的横坐标为25-1，
……
B2020的横坐标为22020-1，
故答案为：22020-1．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图形上 ( http: / / www.21cnjy.com )的点与坐标特征，规律型问题常用的方法是，分别求出前几个数据，然后依据变化规律，得出一般的结论．本题就是先求出B1的横坐标为21-1，B2的横坐标为22-1，B3的横坐标为23-1，B4的横坐标为24-1，……进而得到Bn的横坐标为2n-1．21*cnjy*com
52．若y＝（m-2）x|m-2|﹣5是关于x的一次函数，且y随x增大而减小，则常数m的值为______．
【答案】1
【分析】
由一次函数的定义可得一次项系数不为 ( http: / / www.21cnjy.com )零，且x的指数为1，由y随x的增大而减小，可得一次项的系数小于0，综上共可以得到一个不等式和一个等式，解出它们即可得到m的值．
【详解】
解：由题可知：，且，
，1或 3，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了学生对一次函数解析式以及一次函数图 ( http: / / www.21cnjy.com )像的认识，学生需要明白一次函数中一次项系数k的作用；当k大于0时，y随x的增大而增加，当k小于0时，y随x的增大而减小；本题同样考查了学生对绝对值的认识以及解不等式的知识．
53．如图，直线y＝x上有点A1，A2，A3，…An+1，且OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，AnAn+1＝2n，分别过点A1，A2，A3，…An+1作直线y＝x的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，…Bn+1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，…AnBn+1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn+1，则△A4B4B5的面积为_____．
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【答案】120
【分析】
由直线OAn的解析式可得出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠AnOBn＝60°，结合AnAn+1＝2n可求出AnBn的值，根据三角形的面积公式求出△AnBnBn+1的面积，进而即可求得△A4B4B5的面积．
【详解】
解：∵直线OAn的解析式为y＝x，
∴∠AnOBn＝60°．
∵OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，AnAn+1＝2n，
∴A1B1＝，A2B2＝3，A3B3＝7．
设S＝1+2+4+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n，
∴S＝2S﹣S＝（2+4+8+…+2n）﹣（1+2+4+…+2n﹣1）＝2n﹣1，
∴AnBn＝（2n﹣1）．
∴＝AnBn AnAn+1＝×（2n﹣1）×2n＝（22n﹣1﹣2n﹣1），
∴＝（27﹣23）＝120．
故答案为：120．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、含30°直角三角形的性质以及规律型中数的变化规律，根据边的变化找出变化规律“AnBn=（2n﹣1）”是解题的关键．
54．如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作 轴的垂线，交直线于点按此规律作下去， 则点的坐标为_______；点的坐标为_______ ．
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【答案】（8，0）； （22020，22021）．
【分析】
先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A4、B2021的坐标．
【详解】
解：∵点A1坐标为（1，0），
∴OA1=1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，点B1在上，y=2×1=2，B1点的坐标为（1，2），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，
∴OA1=A1A2=1，
∴OA2=1+1=2，
∴点A2的坐标为（2，0），点B2在上，y=2×2=4，B2的坐标为（2，4），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），点B3在上，y=2×4=8，B3的坐标为（4，8），
此类推便可求出点An的坐标为（2n-1，0），点Bn在上，y=2×2n-1=2n，
点Bn的坐标为（2n-1，2n）．
所以点A4的坐标为（8，0），点的坐标为（8，16）
所以点A2021的坐标为（22020，0），点的坐标为（22020，22021）
故答案为（8，0），（22020，22021）．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．
55．如图，在平面直角坐标系中，点M ( http: / / www.21cnjy.com )（﹣1，3）、N（a，3），若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，则a的值可以为_____．（写出一个即可）
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【答案】﹣1.6
【分析】
把y=3代入y=-2x得到x=-1.5，根据已知可得N点应该在直线y=-2x的左侧，从而分析出a的取值范围，依此判断即可．
【详解】
解：当y＝3时，x＝﹣1.5．
若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，
则N点应该在直线y＝﹣2x的左侧，即a≤﹣1.5．
∴a的值可以为﹣1.6．（不唯一，a≤﹣1.5即可）．
故答案为：﹣1.6．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握一次函数的性质．
56．在平面直角坐标系中，对于两点A、B，给出如下定义：以线段AB为直角边的等腰直角三角形称为点A、B的“对称三角形”．一次函数y＝﹣x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，在第一象限内，点A，B的“对称三角形”的另一个顶点坐标为_____．
【答案】（12，8）或（4，12）．
【分析】
分直角顶点为A和直角顶点为B两种情形，构造全等直角三角形求解即可．
【详解】
解：如图1，过点C作CD⊥x轴于D，
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令x＝0，得y＝4，
令y＝0，得x＝8，
∴A（8，0），B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAO＋∠CAD＝90°，
∵∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠BAO＝∠ACD，
∵∠BOA＝∠ADC＝90°，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD＝BO＝4，CD＝AO＝8，
∴OD＝12，
∴C（12，8）；
如图2，过点C作CD⊥y轴于D，
同理：△ABO≌△BDC（AAS），
∴CD＝BO＝4，BD＝AO＝8，
∴OD＝12，
∴C（4，12）；
综上，点A，B的“对称三角形”的另一个顶点坐标为（12，8），（4，12）；
故答案为（12，8），（4，12）．
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【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，新定义问题，三角形的全等，坐标与线段的关系，准确理解新定义，灵活运用分类思想是解题的关键．
57．如图，直线，（a，b是整数）分别交x轴于点A，B．若线段上只有三个点的横坐标是整数（分别为4，5，6），则有序数对一共有__________对．
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【答案】12
【分析】
分A在B左边时和A在B右边时，两种情况分别列出不等式组，解之，再合并即可．
【详解】
解：令y=2x-a=0，
则2x=a，x=，
∴A（，0），
令y=3x-6=0，
则3x=b，x=，
∴B（，0），
∵AB线段上只有3个点横坐标都是整数，为4，5，6，
∴A在B左边时，
则，解得：，
∵a，b为整数，
∴a=7或8，b=18或19或20，
∴（a，b）有2×3=6种可能；
A在B右边时，
则，解得：，
∵a，b为整数，
∴a=12或13，b=10或11或12，
∴（a，b）有2×3=6种可能，
综上：共有12种可能，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，解题的关键是分类讨论，根据坐标为整数得到不等式组．
58．已知某直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则该直线的函数表达式是_________．
【答案】或
【分析】
先画出函数大致图，结合图象分两种情况讨论，根据三角形的面积为2求出函数与轴交点坐标，即可求出函数解析式
【详解】
如下图:
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∵点A(0、1)
∴OA=1
当直线与x轴相交于时，
∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，
∴,
解得，故(4、0)
设该直线的解析式为y=kx+1
将（4、0）代入得0=4k+1，解得
∴y=x+1
当直线与x轴相交于时，同理可求
将代入得0=-4k+1，解得
∴y=x+1
故该函数表达式为：y=x+1或y=x+1
故答案为 ：y=x+1或y=x+1．
【点睛】
本题考查一次函数与几何图形问题，能根据函数与两坐标轴围成的三角形的面积为2求出它与轴的交点坐标是解决此题的关键，另外本题一定要分交点在轴正半轴和轴负半轴两种情况讨论．
59．已知是关于的正比例函数，当时，，则关于的函数表达式为____．
【答案】y=-2x
【分析】
由题意可设y=kx（k≠0）．把x、y的值代入该函数解析式，通过方程来求k的值．
【详解】
解：由题意可设y=kx（k≠0）．则
2=-k，
解得，k=-2，
所以y关于x的函数解析式是y=-2x，
故答案为：y=-2x．
【点睛】
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，利用待定系数法求得解析式是关键．
三、解答题
60．一次函数，求：
（1）m，n是什么数时，y随x增大而增大？
（2）m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？
（3）若时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】（1）m＞-2，n为任意实数；（2）m≠-2，n＞3；（3）
【分析】
（1）根据一次函数性质得2m+4＞0，然后解不等式；
（2）根据一次函数图象与系数的关系得到2m+4≠0，3-n＜0，然后解两个不等式；
（3）先确定一次函数解析式，然后利用x轴和y轴上点的坐标特征求一次函数与坐标轴的交点坐标，从而利用三角形面积公式计算．
【详解】
解：（1）当2m+4＞0时，
即m＞-2，n为任意实数，y随x的增大而增大；
（2）当2m+4≠0，3-n＜0时，
即m≠-2，n＞3，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）m=-1，n=2，一次函数为y=2x+1，
当x=0时，y=2x+1=1，
则一次函数与y轴的交点为（0，1）；
当y=0时，2x+1=0，解得x=，
则一次函数与x轴的交点坐标为（，0），
∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为=．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )：对于y=kx+b与y轴交于（0，b），当k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0 y=kx+b的图象在二、三、四象限．
61．小融同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下表是小融探究过程中的部分信息：
x … 0 1 2 3 …
y … 2 1 0 a 4 …
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请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为 ，a的值为 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）结合函数的图象，解决下列问题：
①写出该函数的一条性质： ；
②如图，在同一坐标系中是一次函数的图象，根据图象回答，当时，自变量x的取值范围为 ．
【答案】（1），（2）详见解析；（3）①当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；②x的取值范围：0＜x＜2．
【分析】
（1）将x=-3，y=2，x=-2，y=1代入函数求出m、n的值即可求得函数的解析式，将x=2代入所求函数解析式即可求得a；
（2）先描出各点，再顺次连接各点即可；
（3）①根据图象即可求解（答案不唯一）；②根据图象可知时即为函数的图象在函数y=x－1图象下方部分x的取值范围．
【详解】
（1）将x=-3，y=2，x=-2，y=1代入函数可得：
，
整理得：，
解得：
∴函数的解析式为：
将x=2代入可得：，
即；
（2）该函数的图象如图所示：
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（3）①由函数图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，
故答案为：当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
②由（2可知：时，即为函数的图象在函数y=x－1图象下方部分
∴自变量x的取值范围为：0＜x＜2．
【点睛】
本题考查一次函数图象图象及其性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想，正确画出函数图象是解题的关键．
62．如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m＋1图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B．
（1）求m的取值范围；
（2）若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的解析式．
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【答案】（1）m＞3；（2）y＝2x
【分析】
（1）根据一次函数的图象经过的象限可得m的取值范围；
（2）根据图象平移规则“左加右减，上加下减”求得平移后的解析式，然后根据正比例函数的特征求得m值即可解答．
【详解】
解：（1）如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m＋1图象经过第一、三、四象限，
∴m﹣3＞0，且﹣m+1＜0，
解得：m＞3，
即m的取值范围为m＞3；
（2）将该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得y＝（m﹣3）x﹣m＋5，
由题意得：﹣m+5=0，
解得：m=5，
∴这个正比例函数的解析式为y＝2x．
【点睛】
本题考查一次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与几何变换，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．
63．如图，一次函数y=x+3的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数y＝kx的图象交于点B（﹣1，m）．
（1）求m的值；
（2）求正比例函数的表达式；
（3）点D是一次函数图象上的一点，且△OCD的面积是4，求点D的坐标．
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【答案】（1）m的值为2；（2）正比例函数的表达式为y=-2x；（3）D的坐标为（，）或（，）．
【分析】
（1）把点B（-1，m）代入解析式即可求得；
（2）利用待定系数法即可求得；
（3）根据三角形面积求得D点到x轴的距离，即可求得D的纵坐标，代入y=x+3即可求得横坐标．
【详解】
解：（1）因为点B（-1，m）在一次函数y=x+3的图象上，
所以，m=-1+3=2，
故m的值为2；
（2）因为正比例函数y=kx图象经过点B（-1，2），
所以，-k=2，所以，k=-2，
所以，y=-2x，
正比例函数的表达式为y=-2x；
（3）对于y=x+3，令y=0得，x=-3，
所以，点C的坐标为（-3，0），所以，OC=3，
设点D的坐标为（x，y），
所以，
，
所以，，即或，
当时，
，解得，
所以，点D的坐标为（，），
当时，
，解得，
所以，点D的坐标为（，），
故D的坐标为（，）或（，）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，函数图象交点坐标等知识，难度适中．
64．甲、乙两地相距500千米，汽车从甲地以每小时80千米的速度开往乙地
（1）写出汽车离乙地的距离s（千米）与开出时间t（时）之间的函数关系式，并指出是不是一次函数？
（2）汽车从甲地开出多久，距离乙地100千米？
【答案】（1）s=500-80t，是一次函数；（2）5小时
【分析】
（1）结合题意列关系式，根据一次函数的定义分析，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程，即可得到答案．
【详解】
（1）根据题意可得，s=500-80t
根据一次函数的定义，s=500-80t是一次函数；
（2）由题意得：s=100
把s=100代入关系式中，得：100=500-80t
解得：t=5
∴汽车从甲地开出5小时时，距离乙地100千米．
【点睛】
本题考查了一次函数、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、一元一次方程的性质，从而完成求解．
65．已知一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使的面积为2，求点P的坐标．
【答案】（1）A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(0，1)；（2）(-6，0)或(2，0)
【分析】
（1）根据A、B两点分别在x、y轴上，令y＝0求出x的值；再令x＝0求出y的值即可得出结论；
（2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵A、B两点分别在x、y轴上，
∴令y＝0，则x＝－2，令x＝0，则y＝1；
∴A点坐标为(－2，0)，B点坐标为(0，1)；
（2）∵△ABP的面积为2，
∴×OB×AP＝2，
又∵OB＝1，
∴AP＝4，
∴点P的坐标为(－6，0)或(2，0)．
【点睛】
本题考查一次函数的图象与性质，求一次函数的图象与坐标轴交点坐标是解题的关键．
66．如图，在平面直角坐标系中，直线l与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求直线l的函数解析式；
（3）在x轴上是否存在点C，使△ABC的面积为10？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）A点坐标为（0，4），B点坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为（﹣2，0）；（2）直线l的解析式为y＝2x+4；（3）存在，C点坐标为（3，0）或（﹣7，0）．
【分析】
（1）利用坐标轴上点的坐标特征写出A、B点的坐标；
（2）利用待定系数法求直线l的解析式；
（3）设C点坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到×|t＋2|×4＝10，然后解方程求出t得到C点坐标．
【详解】
解：（1）由图像得：
A点坐标为（0，4），B点坐标为（﹣2，0）；
（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（0，4），B（﹣2，0）分别代入y＝kx+b
得 ，解得 ，
∴直线l的解析式为y＝2x+4；
（3）存在．
设C点坐标为（t，0），
∵△ABC的面积为10，
∴×|t+2|×4＝10，解得t＝3或t＝﹣7，
∴C点坐标为（3，0）或（﹣7，0）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设 ( http: / / www.21cnjy.com )出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
67．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△（点A、B、C分别对应、、）；
（2）写出、、坐标： ， ， ；
（3）求△的面积；
（4）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+P的值最小，并写出P点坐标．
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【答案】（1）见解析；（2）（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣2），（﹣3，﹣1）；（3）2；（4）见解析，
【分析】
（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接依据△的位置，即可得到、、坐标；
（3）利用割补法进行计算，即可得到△的面积；
（4）直接利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】
解：（1）∵A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），
∴它们关于x轴的对称点分别为（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣2），（﹣3，﹣1），
描点后，顺次连接，得到图形如图所示：
则△点即为所求；
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（2）根据（1），知道、、坐标分别为（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣2），（﹣3，﹣1）；
故答案为：（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣2），（﹣3，﹣1）；
（3）根据题意，得△的面积＝2×3﹣--=2；
（4）如图所示：作点A（-2,4）关于y轴的对称点，则的坐标（2，4），
设直线的解析式为y=kx+b，
所以，
解得，
所以直线的解析式为y=x+2，
令x=0，
得y=2，
所以点P的坐标为（0，2）．
【点睛】
本题考查了坐标系中对称问题，作图，格点三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的面积，线段和最小的计算，待定系数法确定一次函数的解析式，熟练掌握对称点求解方法，准确构造线段和最小值取得的动点位置，并会用解析式法确定坐标是解题的关键．
68．如图，已知A（﹣2，4），B（4，2），C（2，﹣1）．
（1）作△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于x轴的对称点C1的坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P并直接写出此时点P的坐标（保留作图痕迹）．
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【答案】（1）图形见详解； C1（2，1）；（2）点P位置见详解， 点P的坐标为（2,0）．
【分析】
（1）先画出△ABC，作出关于x轴的对称点，再连接三点即可求解；根据点的坐标特点直接写出C1坐标即可；
（2）作B点关于轴的对称点B1，连接交轴于点P，则点P即是所求作的点，求出直线AB1的解析式，求直线AB1与x轴交点，写出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）如图所示，为所求；点C1（2，1）；
（2）∵AB长度不变，△ ( http: / / www.21cnjy.com )PAB的周长=PA+PB+AB，只要PA+PB最小，连结AB1交x轴于点P，两点之交线段最短PA+PB=PA+PB1≥AB1，
设AB1解析式为,过A（﹣2，4），B1（4，-2），代入得，
，
解得：，
∴AB1解析式为，
当y=0时，，，
点P（2,0）．
当P（2,0）时，△APB周长最短=AB+AB1．
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【点睛】
本题是一道作图题，考查了点的坐标特征，点关于轴，最短路径，正确理解点关于轴的对称特点是解本题的关键．
69．已知a，b为实数，且与的值互为相反数，
（1）求a、b的值；
（2）若一次函数的图象经过点与点，求这个一次函数的关系式．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）根据非负数的性质可求出a、b的值；
（2）利用待定系数法求解析式即可．
【详解】
解：（1）∵与的值互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，，
故，；
（2）由（1）可知，一次函数的图象经过点与点，
代入解析式得，，
解得，，
一次函数解析式为．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和待定系数法求解析式，解题关键是根据非负数求出a、b的值，熟练运用待定系数法求解析式．
70．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）如图是x与y的几组对应值．
x … 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值为________；
（2）在如图的坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；
②当时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．
小明得出的结论中正确的是___________．（只填序号）
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【答案】（1）1；（2）见解析；（3）①②③
【分析】
（1）根据函数解析式可以得到m的值；
（2）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象可以判断该函数的性质．
【详解】
解：
（1）当x=-2时，m=|-2+1|=1，
故答案为1；
（2）画出函数的图象如图：
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（3）由函数图象可知，①函数有最小值为0，正确；
②当x＞-1时，y随x的增大而增大，正确；
③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称，正确；．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
71．在平面直角坐标系中，设一次函数，（k，b是实数，且）
（1）若函数的图象过点，求函数与x轴的交点坐标；
（2）若函数的图象经过点，求证：函数的图象经过点；
（3）若函数的图象不经过第一象限，且过点，当时，求k的取值范围．
【答案】（1）（-2，0）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）将点的坐标代入，得出，从而确定的解析式，再把代入即可得出结论
（2）将点的坐标代入，得出，从而确定的解析式，再把代入即可得出结论
（3）将点的坐标代入，得出，再根据函数的图象不经过第一象限和，得出关于k的不等式组，解之即可
【详解】
解：（1）∵函数的图象过点，
∴
∴
∴
当时，；
∴
∴函数与x轴的交点坐标为（-2，0）；
（2）∵函数的图象经过点，
∴
∴
∴；
当时，；
∴函数的图象经过点；
（3）∵函数的图象不经过第一象限，
∴；
∵的图象过点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及求一次函数的解析式，解题的关键是熟练运用一次函数的性质．2-1-c-n-j-y
72．如图1，直线AB：y=x＋4分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，将△BOC沿BC折叠，使点O落在BA上的点M处．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求线段BC的长；
（3）点P为x轴上的动点，当∠PBA=45°时，求点P的坐标．
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【答案】（1）A（-3，0），B（0，4）；（2）BC的长为；（3）P（-28，0）或（，0）
【分析】
（1）令，求得，令，求得，即可求解；
（2）设OC=a，在Rt△ACM中，利用勾股定理列式计算可求得，即可求解；
（3）分点P在点A的右边和左边两种情况讨论，分别作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】
（1）令，，
令，，则，
∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，4）；
（2）设OC=a，
由折叠的性质可知：CM⊥AB，
OC=CM=a，OB=BM=4，
由勾股定理得：AB=，
∴AM=1，
在Rt△ACM中，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，点P在点A的右边时，过P作PG⊥AB于G，
∵点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，4），
∴OA∴点P在点O的右边，
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设PO= m，则AP=，
∵，
∴，
，
∵∠PBA=45°，
∴△BPG是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
解得：，
此时点P的坐标为(，0)；
如图，点P在点A的左边时，过P作PH⊥AB于H，
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设PO= n，则AP=，
∵，
∴，
，
∵∠PBA=45°，
∴△BPH是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
解得：，
此时点P的坐标为(，0)；
综上，点P的坐标为(，0)或(，0) ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，一次函数的性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出合适的辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．【来源：21·世纪·教育·网】
73．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n交于点P（1，b），直线l2与x轴交于点A（4，0）．
（1）求b的值；
（2）解关于x，y的方程组，并直接写出它的解；
（3）判断直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
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【答案】（1）2；（2）；（3）是，理由见解析
【分析】
（1）由点P的坐标结合一次函数图象上点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )特征，即可求出b的值；
（2）利用数形结合的思想即可得出方程组的解就是两直线的交点坐标，依此即可得出结论；
（3）根据点A、P的坐标，利用待定系数法求出m、n的值，由此即可得出直线l3的解析式，代入x=1得出y=2，由此即可得出直线l3：y=nx+m也经过点P．
【详解】
解：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y＝x+1上，
∴b＝1+1＝2．
（2）∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n交于点P（1，2），
∴关于x，y的方程组的解为．
（3）直线l3：y＝nx+m也经过点P．理由如下：
将点A（4，0）、P（1，2）代入直线l2：y＝mx+n中，
得：，解得：，
∴直线l3：y＝x﹣．
当x＝1时，y＝×1﹣＝2，
∴直线l3：y＝x﹣经过点P（1，2）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以 ( http: / / www.21cnjy.com )及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b值；（2）根据交点坐标得出方程组的解；（3）利用待定系数法求出m、n的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
74．如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①若的面积为，求点的坐标；
②点在线段上，连接，如图2，若，直接写出的坐标．
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【答案】（1）直线的函数解析式为；（2）①的坐标为，或，；②的坐标为，或，
【分析】
（1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；
（2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可，即可求解．
【详解】
解：（1）对于，
由得：，
∴B（0，3）．
由得：，解得，
∴A（-6，0），
∵点与点关于轴对称．
∴C（6，0），
设直线的函数解析式为，
，解得，
直线的函数解析式为；
（2）①设点，则点，点，
过点作与点，
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则，，
则的面积，
解得，
故点的坐标为，或，；
②如图2，当点在轴的左侧时，
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点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，MC2=(6-x)2，，
，解得，
，，
当点在轴的右侧时，
同理可得，，
综上，点的坐标为，或，．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
75．如图，正方形的边长为4，在x轴上，在y轴上，且，，点D为的中点，点E在x轴上，直线交x轴于点F．
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（1）如图1，若，
①求证：；
②点P是直线上的一个动点，求作点P使得的值最小，并直接写出的最小值；
（2）如图2，E在x轴上运动，当为等腰三角形时，求点E的坐标．
【答案】（1）①见解析；②求作点P见解析，PA+PF的最小值为；（2）当△ECD为等腰三角形时，点的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)．
【分析】
（1）①利用勾股定理求得CD2、DE2、CE2，再利用勾股定理的逆定理即可判断△EDC为直角三角形；
②作点A关于DE的对称点为，当F、P、三点共线时，PA+PF取得最小值，分别求得直线CD、DE、的解析式，再求得点的坐标，利用两点间的距离公式即可求解；
（2）设点的坐标为(，)，分CD=CE或EC=ED或CD=DE三种情况讨论，利用两点之间的距离公式即可求解．
【详解】
（1）①∵正方形ABCO的边长为4，
∴OC=OA=AB=BC=4，
∠B=∠DAE=∠COE=90，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD=2，
在Rt△BCD中，，
在Rt△ADE中，，
在Rt△OCE中，，
∴，
勾股定理的逆定理可知，△EDC为直角三角形，且∠CDE=90，
故∠CDE=90；
②如图，作点A关于DE的对称点为，连接交DE于点H，连接交DE于P，点P为所求作，
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由对称性可知，，，
∴PA+PF=+PF，PA+PF取得最小值，最小值，
由题意知A(4，0)，D(4，2)，C(0，4)，B(4，4)，E(3，0)，
设直线CD的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线CD的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为(8，0)，
同理求得直线DE的解析式为，
∵，
∴∥CF，
∴设直线的解析式为，
把A(4，0)代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴点的坐标为(，)，
又，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为(，)，
∴，
∴，
∴PA+PF的最小值为；
（2）∵E在x轴上运动，
∴设点的坐标为(，)，
∵△ECD为等腰三角形，
∴CD=CE或EC=ED或CD=DE，
∵C(0，4)，D(4，2)，E(，)，
∴，
，
，
①当CD=CE时，则，
∴，
解得，
∴(，)，(，)；
②当EC=ED时，则，
∴，
解得，
∴(，)；
③当CD=DE时，则，
∴，
解得，，
时，E与F重合，C、D、E共线，无法构成三角形；
∴(，)；
综上所述，当△ECD为等腰三角形时，点的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、一次函数解析式的求法、勾股定理、最小值以及坐标特征等知识；本题难度较大，综合性强，解题的关键是通过作辅助线求一次函数解析式得出结果．
76．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD∥BC，CD⊥AD，BD和AC相交于点P．求△BPC的面积．
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小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：
建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得△BPC的面积．【来源：21cnj*y.co*m】
请你按照小明的思路解决这道思考题．
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【答案】32，见解析
【分析】
以BC为轴，过A点垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B，C ，， ， ，得A ，D ，由待定系数法求出直线AC和BD的解析式，进而求出点P的坐标，即可解决问题．
【详解】
以BC为轴，过A点垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
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由等腰三角形的性质得，
∴B,C，，
∴，
∴A，D，
设直线AC的解析式为，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
同理得：直线BD的解析式为，
解方程组得：，
∴P，
∴△BPC的面积＝．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、待定系数法以及一次函数的应用；熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，求出点P的坐标是解题的关键．
77．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．
（3）如图③，E为线段AB上一动 ( http: / / www.21cnjy.com )点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．
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【答案】（1）△AOB是等腰直角三角形，理由見解析；（2）BN＝7；（3）PO＝PD，PO⊥PD
【分析】
（1）把m2+n2＝2mn变形后，因式分解，得到m=n即可判断；
（2）证△MAO≌△NOB，利用线段和差可求；
（3）延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，证△DOC为等腰直角三角形，根据三线合一可得结论．
【详解】
解：（1）△AOB是等腰直角三角形，
理由：
∵m2+n2＝2mn，
∴m2+n2﹣2mn＝0，
∴（m﹣n）2＝0，
∴m＝n，即OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）∵AM⊥ON，BN⊥ON，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠MOA+∠MAO＝90°，
∵∠MOA+∠NOB＝90°，
∴∠MAO＝∠NOB，
在△MAO和△NOB中，
，
∴△MAO≌△NOB（AAS），
∴OM＝BN，AM＝ON＝13，
∵MN＝ON﹣OM，MN＝6，
∴6＝13﹣OM，
∴OM＝7，
∴BN＝7；
（3）PO＝PD且PO⊥PD，
如图3，延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，
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在△DEP和△CBP，
，
∴△DEP≌△CBP（SAS），
∴CB＝DE＝DA，∠DEP＝∠CBP＝135°，
则∠CBO＝∠CBP﹣∠ABO＝135°﹣45°＝90°，
又∵∠BAO＝45°，∠DAE＝45°，
∴∠DAO＝90°，
在△OAD和△OBC，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∵PC＝DP，
∴PO=PD，PO⊥PD．
【点睛】
本题考查了一次函数和全等三角形的综合，解题关键是恰当的作辅助线，通过全等求线段长或线段的关系．
78．如图，已知直线与轴交于A（-3，0）、与轴交于B点，
且经过（1，8），在轴上有一点C（0，3），动点D从点A以每秒1个单位的速度沿
轴向右移动，设动点D的移动时间为秒．
（1）求、的值；
（2）当为何值时△COD≌△AOB，并求此时点D的坐标；
（3）求△COD的面积S与动点D的移动时间之间的函数关系式．
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【答案】（1）k=2，b=6；（2）t=9，D点坐标为（6,0）；（3）
【分析】
（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）求出B点坐标，根据OB=OD，求出t值及D点坐标；
（3）当D点在原点左侧和右侧分类讨论，根据OC=3，高为OD长，求面积即可．
【详解】
解：把代入得，
，
解得，，
（2）由（1）得，直线AB解析式为：，
当x=0时，y=6，B点坐标为（0，6），
∴OB=6，
当OD=OB=6时，△COD≌△AOB，
AD=OA+OB=9,
∴t=9，此时D点坐标为（6,0）；
（3）∵C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
当0≤t＜3时，OA=3，AD=t ，
∴OD=3-t，
S= ，
当t≥3时，OD=t-3，
S= ，
．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，包括待定系数法、全等三角形、动点函数等，解题关键是准确理解题意，熟练运用相关知识解决问题，注意：动点问题的分类讨论．
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