19.5 一次函数与方程不等式(基础讲解)（含解析）

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19.5 一次函数与方程不等式
【学习目标】
1. 能用函数观点看一次方程（组），能用数形结合的思想认识一次函数与一次方程的区别与联系；
2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想；
3．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（ ( http: / / www.21cnjy.com )组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．
4．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
5.设参求值解决一次函数与不等式中的动点问题。
【知识总结】
一、一次函数与一元一次方程的关系
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
二、一次函数与二元一次方程组2·1·c·n·j·y
每个二元一次方程组都对应 ( http: / / www.21cnjy.com )两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.【来源：21·世纪·教育·网】
要点诠释：
　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
三、方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
四、一次函数与一元一次不等式
　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.21教育名师原创作品
要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.21*cnjy*com
五、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
六、如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【典型例题】
【类型】一、一次函数与一元一次方程
例1、已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的方程kx＋b＝0的解为（　　）
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A．x＝3 B．x＝1.5
C．x＝－3 D．x＝－1.5
【答案】B
【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，结合图象即可求解．
解：∵关于x的方程kx＋b＝0可以看做求一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标，
由图象得直线与x轴的交点为（1.5,0），
∴关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝1.5．
故选：B
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，会用函数的观点理解方程是解题的关键．
【训练】若一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案．
解：∵是由的图像向右平移5个单位得到的，
∴将一次函数的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0）
∴当y=0时，方程的解为x=3，
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数与一元 ( http: / / www.21cnjy.com )一次方程的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值等于0的自变量x的取值，还考查了一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．21*cnjy*com
【训练】如图所示，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x=（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．0 C．-4 D．-5
【答案】D
【分析】
方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标．
【详解】
由图知：直线y=kx+b与x轴交于点(-5，0)，
即当x=-5时，y=kx+b=0；
因此关于x的方程kx+b=0的解为：x=-5，
故选D.
【点拨】本题主要考查了一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标解答．
【类型】二、一次函数与二元一次方程组
例2、如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解为_____．21教育网
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【答案】x＝﹣
【分析】
首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出方程的解即可．
【详解】
解：∵函数y＝﹣2x经过点A（m，3），
∴﹣2m＝3，
解得：m＝﹣，
则关于x的方程kx+b+2x＝0可以变形为kx+b＝﹣2x，
由图象得：kx+b＝﹣2x的解为x＝﹣，
故答案为：x＝﹣．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定方程的解．21·世纪*教育网
【训练】如图，函数和的图象相交于点，点的纵坐标为40，则关于，的方程组的解是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】由点P的纵坐标为40，代入求得点P的坐标，再利用两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标，据此求解即可．
∵点P的纵坐标为40，
∴，解得：，
∴点P的坐标为(，)，
∴方程组即的解为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，利用了数形结合思想．
例3、已知一次函数的图象经过点和．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）若这个一次函数的图象与x轴交于A，与轴交于点B，求的值．
【答案】（1）；（2）4．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系 ( http: / / www.21cnjy.com )数法即可求出一次函数的解析式；
（2）利用一次函数图像上点的坐标特征求出该函数图像与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出．
解：（1）由题意得过点和 ，
代入得：，
解得，
故一次函数表达式为．
（2）令，则，故B点坐标为：，
令，则，故A点坐标为：，
．
【点拨】本题考察待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式实数解题的关键．
【训练】如图，直线的解析式为，它与x轴交于点D．直线与x轴交于点A，且经过点，直线、交于点．
（1）求点D、点C的坐标；
（2）求直线的函数解析式：
（3）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组的解．
（4）求这两条直线与x轴所围成的的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）D（1，0），（2，2）；（2）直线l2的解析式为y=-x+4；（3）；（4）3．
【分析】
（1）求函数值为0时一次函数y=2x-2 ( http: / / www.21cnjy.com )所对应的自变量的值即可得到D点坐标，把C（m，2）代入y=2x-2求出m得到C点坐标；
（2）利用待定系数法求直线l2的解析式；
（3）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；
（4）先求出点A的坐标，再求出AD的长，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）∵点D为直线l1：y=2x-2与x轴的交点，
∴y=0，0=2x-2，解得x=1，
∴D（1，0）；
∵点C在直线l1：y=2x-2上，
∴2=2m-2，解得m=2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=-x+4；
（3）由图可知二元一次方程组的解为；
（4）∵点A是直线l2与x轴的交点，
∴y=0，
即0=-x+4，
解得x=4，
即点A（4，0），
所以，AD=4-1=3，
S△ADC=×3×2=3．
【点拨】一次函数与二元一次方程（ ( http: / / www.21cnjy.com )组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．
【类型】三、一次函数与一次方程（组）的综合训练
例4、已知点、在直线：上，和直线的图象交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若点的横坐标是1，求关于、的方程组的解及的值；
（3）在（2）的条件下，若点关于轴的对称点为点，求的面积．
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【答案】（1）y＝2x+4；（2）方程的解为，a＝10；（3）12
【分析】
（1）由于点A、C在直线上，可用待定系 ( http: / / www.21cnjy.com )数法确定直线的表达式；
（2）先求出点B的坐标，求得方程组的解，再代入组中方程求出a；
（3）分别求出△PBC和△PAC的面积，再根据S△BPC=S△PAB+S△PAC即可．
解：（1）由于点A、C在直线l上，
∴
∴k＝2，b＝4
∴直线l的表达式为：y＝2x+4
（2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6
∴点B的坐标为（1，6）
∵点B是直线l与直线y＝﹣4x+a的交点，
∴关于x、y的方程组的解为
把x＝1，y＝6代入y＝﹣4x+a中，得a＝10．
（3）因为点A与点P关于x轴对称，所以点P（0，﹣4）
∴AP＝4+4＝8，OC＝2
∴S△BPC＝S△PAB+S△PAC
＝×8×1+ ×8×2
＝4+8
＝12．
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【点拨】考查了待定系数法确定函数解 ( http: / / www.21cnjy.com )析式、三角形的面积、直线与方程组的关系．解题关键是理解方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．www.21-cn-jy.com
【训练】如图，直线l1的解析式为y＝x，直线l2经过点（1，1），（2，﹣1），且l1，l2交于点A，l2交x轴于点B．
（1）求直线l2的解析表达式；
（2）写出B点的坐标为　 　；
（3）求出交点A的坐标；
（4）直接写出直线l2在x轴上方时，自变量x的取值范围．
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【答案】（1）y=﹣2x+3；（2）（，0）；（3）；（4）x＜
【分析】
（1）利用待定系数法即可得到结论；
（2）令y=0，解方程即可得到结论；
（3）解方程组即可得到结论；
（4）根据图象即可得到结论．【来源：21cnj*y.co*m】
解：（1）设直线2的解析式为（），
由题意得，，
解得：，
∴直线2的解析式为；
（2）当时，，
∴（，0），
故答案为：（，0）；
（3）由题意得：，
解得：，
∴点A的坐标是：（，）；
（4）由图象知x＜时，直线2在x轴上方．
【点拨】本题考查了两直线相交的问题，直线与 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与二元一次方程组的关系，都是基础知识，一定要熟练掌握并灵活运用．
【类型】四、一次函数与一次方程（组）的动点问题
例5如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2．
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（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一点动点P （a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D，且OB=2CD，求a的值．
【答案】（1）（6，0）．（2）a=3．
【解析】（1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为（2，2），再把M（2，2）代入y=﹣x+b可计算出b=3，得到一次函数的解析式为y=﹣x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为（6，0）；
（2）先确定B点坐标为（0，3），则OB=2CD=3，再表示出C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a），所以a﹣（﹣a+3）=，然后解方程即可．
解：（1）∵点M在函数y=x的图象上，且横坐标为2，
∴点M的纵坐标为2．
∵点M（2，2）在一次函数y=﹣x+b的图象上，
∴﹣×2+b=2，
∴b=3，
∴一次函数的表达式为y=﹣x+3，令y=0，得x=6，
∴点A的坐标为（6，0）．
（2）由题意得：C（a，﹣a+3），D（a，a），
∴CD=a﹣（﹣a+3）．
∵OB=2CD，
∴a﹣（﹣a+3）=，
∴a=3．
考点：两条直线相交或平行问题．
【训练】已知直线：经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）若直线：与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）过点P(，0)作轴的垂线，分别交直线点，与点M，N，若>3，当MN=3时，则=_______．
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【答案】（1）y=-x+5；（2）（3，2）；（3）4.
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式；
（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解；
（3）由题意得M（m，-m+5），N（m，2m-5），用m表示出MN即可求解．
解：（1）根据题意得，
解得，
则直线AB的解析式是y=-x+5；
（2）根据题意得，
解得：，
则C的坐标是（3，2）；
（3）由题意得M（m，-m+5），N（m，2m-4），
∵ >3，
∴点N在点M的上方，
∴MN=2m-4-(-m+5)=3m-9
∵MN=3,
∴3m-9=3
∴m=4,
故答案是：4.
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，掌握用待定系数法求解析式及通过方程组求交点坐标是解题关键．
【类型】五、一次函数与一元一次不等式
例1、已知一次函数的图像经过点．
（1）求该函数的表达式；
（2）取何值时，？
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用待定系数法求出b的值，即可得出结果；
（2）求得直线与x轴的交点，然后根据一次函数的性质即可求解．
解：（1）一次函数y＝x＋b的图象经过点A（ 1，3）．
∴3＝ 1＋b，
∴b＝4，
∴该一次函数的解析式为y＝x＋4；
（2）令y＝0，则x＋4＝0，解得x＝ 4，
∵k＝1，
∴y随x的增大而增大，
∴x＞ 4时，y＞0．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【训练】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据一次函数的性质得出 y 随 x 的增大而减小，当 x >-1时，y <0，即可求出答案．
解： 直线 与 x 轴交于点(-1，0)，与轴交于点
根据图形可得 k <0，
y 随 x 的增大而减小，当 x >-1时，y <0，即．
故答案为： A
【点拨】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
【训练】已知直线过和，则关于的不等式的解集是______．
【答案】
【分析】由题意可以求得k和b的值，代入不等式即可得到正确答案 ．　
解：由题意可得：
∴ k=2，b=-2，
∴原不等式即为2x-2<0，
解之可得：x<1，
故答案为x<1 ．
【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，利用直线与坐标轴的交点求出不等式的系数是解题关键．
例2.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点．
（1）求m和b的值；
（2）求的面积；
（3）若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．
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【答案】（1）m=2，b=4；（2）4；（3）【分析】
（1）先把代入，求出m的值，再把点C的坐标代入即可求出b的值；
（2）先求出点A和点B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）设出平移后的解析式，然后分别把点D和点A的坐标代入即可解答．
解：（1）把代入，得
，
把代入，得
，
∴b=4；
（2）当时，
解得x=2，
∴A(2，0)；
当时，
解得x=-2，
∴B(-2，0)；
∴AB=4，
∴的面积=；
（3）设平移后的解析式为，
当x=0时，，
∴D(0，)，
把D(0，)代入，得
，
∴t=；
把A(2，0)代入，得
，
∴t=8；
∴t的取值范围( http: / / www.21cnjy.com / )
【点拨】
本题考查了一次函数的交点， ( http: / / www.21cnjy.com )一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，利用函数图象解不等式，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【训练】已知一次函数（k，b为常数，且）的图像如图（a）所示，
（1）方程的解为 ，不等式的解集是________．
（2）如图（b）所示，正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P，则不等式组的解集为________．
（3）在（2）的条件下，比较mx与的大小（直接写出结果）．
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【答案】（1），；（2）；（3）当时，；当时，；当时，．
【分析】
（1）由图象可知：当时，y=0，即可求出方程的解，然后根据图象可知当x=0时，y=4，y随x增大而减小，从而求出不等式的解集；【版权所有：21教育】
（2）根据图象分别求出mx＞0的解集和＞0的解集即可得出结论；
（3）由图象可知：在交点P左侧时，正比例函数的函数值比一次函数函数值小；在交点P处，正比例函数的函数值和一次函数函数值相等；在交点P右侧时，正比例函数的函数值比一次函数函数值大，即可得出结论．
解：（1）由图象可知：当时，y=0
∴方程的解为
由图象可知：当x=0时，y=4，y随x增大而减小
∴当时，
∴不等式的解集是
故答案为：；；
（2）由图象可知：正比例函数中，当x=0时，y=0，y随x的增大而增大
∴当x＞0时，＞0
∴mx＞0的解集为x＞0
一次函数中，当x=2时，y=0，y随x增大而减小
∴当x＜2时，＞0，
∴＞0的解集为x＜2
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
（3）由图象可知：在交点P左侧时，正比例函数的函数值比一次函数函数值小；在交点P处，正比例函数的函数值和一次函数函数值相等；在交点P右侧时，正比例函数的函数值比一次函数函数值大．【出处：21教育名师】
∴当时，；当时，；当时，．
【点拨】此题考查的是根据交点坐标求不等式或不等式组的解集，掌握一次函数和一元一次不等式或不等式组的关系是解决此题的关键．
例3、如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，两条直线交于点．
（1）方程组的解是_____；
（2）当与同时成立时，的取值范围是_________；
（3）求的面积；
（4）在直线的图象上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请求出点的坐标．
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【答案】（1） ；（2） ；（3）8 ；（4）P（－2，－6）
【分析】
（1）利用两直线交点坐标得出方程组的解；
（2）利用函数图象得出在x轴上方时，对应x的取值范围；
（3）利用已知图象结合三角形面积求法得出答案；
（4）利用三角形面积求法得出P点横坐标，进而代入函数解析式得出P点坐标．
解：（1）如图所示：方程组的解为：；
故答案为：；
（2）如图所示：当y1＞0与y2＞0同时成立时，x取何值范围是：1＜x＜3；
故答案为：1＜x＜3；
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（3）∵令x＝0，则y1＝－2，y2＝6，
∴A（0，－2），B（0，6）．
∴AB＝8．
∴S△ABC＝×8×2＝8；
（4）令P（x0，2x0－2），则S△ABP＝×8×|x0|＝8，
∴x0＝±2．
∵点P异于点C，
∴x0＝－2，2x0－2＝－6．
∴P（－2，－6）．
【点拨】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题关键．21·cn·jy·com
【训练】如图，函数y=2x与y=ax+5的图象相交于点A(m，4)．
（1）求A点坐标及一次函数y=ax+5的解析式；
（2）设直线y=ax+5与x轴交于点B，求的面积；
（3）不等式2x＜ax+5的解集为　 　．
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【答案】（1）(2，4)，y=﹣x+5；（2）20；（3）x＜2
【分析】
（1）将点A（m，4）代入y=2x，即可 ( http: / / www.21cnjy.com )求得A点坐标，将A点坐标代入y=ax+5，即可求得一次函数的解析式；
（2）求得B点的坐标后利用三角形面积公式列式计算即可；
（3）根据图象，找出直线y=2x落在y=ax+5下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
解：（1）∵函数y=2x的图象过点A（m，4），
∴4=2m，解得m=2，
∴A点坐标为（2，4）．
∵y=ax+5的图象过点A，
∴2a+5=4，解得a=﹣，
∴一次函数y=ax+5的解析式为y=﹣x+5；
（2）∵y=﹣x+5，
∴y=0时，﹣x+5=0．
解得x=10，
∴B（10，0），
OB=10，
∴△AOB的面积=×10×4=20；
（3）由图形可知，不等式2x＜ax+5的解集为x＜2．
故答案为：x＜2．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想．21世纪教育网版权所有
【类型】六、用一次函数的性质“设参求值”解决动点问题
例4、如图，直线与轴，轴分别交于点，点，与函数的图象交于点．
（1）直接写出k，b的值和不等式的解集；
（2）在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，点．若，求点的坐标．21cnjy.com
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【答案】（1）不等式的解集为；（2）点的坐标为 ，或，．
【分析】
（1）把M点的坐标分别代入y=kx和可求出k、b的值，再确定A点坐标，然后利用函数图象写出不等式的解集；（2）先确定B点坐标得到OB的长，设P（m，0），则，D（m，2m），利用2CD=OB得到，然后解绝对值方程求出m，从而得到点P的坐标．
解：（1）把代入得；
把代入得，解得；
当0时，，解得，则，
所以不等式的解集为；
（2）当时，，则，
，
设，则，，
，
，
解得或，
点的坐标为 ，或，．
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【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式 ( http: / / www.21cnjy.com )，一次函数与一元一次不等式，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式是解题的关键.
【训练】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点是直线上一点，直线交x轴于点C，直线与x轴交点，与y轴交于点B，直线、相交于点Q．
（1）________，的解析式为________，点Q坐标为________；
（2）连接OP、OQ，直接写出的面积________；
（3）在x轴上找一点M，使，则点M的坐标为________．
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【答案】（1）-2；；（4，4）；（2）12；（3）（2，0）或（-10，0）．
【分析】
（1）把点代入直线中即可求出m的值，把点代入中求出b即可，把和联立组成方程组求解即可；
（2）分别过点p，Q作x轴的垂线，从而分别先求出三角形OPC的面积和△OCQ的面积，再把它们相加即可；www-2-1-cnjy-com
（3）分两种情况进行讨论即可．
解：（1）∵点是直线上一点，
∴．
∵直线与x轴交点，
∴-8+b=0
解得：b=8．
∴的解析式为．
∵
解得：
∴点Q坐标为（4，4）．
故答案为：-2；；（4，4）．
（2）令，则
解得：x=-4．
∴OC=4．
如图，过点P作PE⊥AC于点E，过点Q作QF⊥AC于F，
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∵点，点Q坐标为（4，4），
∴PE=2，QF=4．
的面积=的面积+的面积
==12．
故答案为：12．
（3）设点M的坐标为（a，0），
由（2）可知OC=4，
∴点C的坐标为（-4，0），
∴MC=
令x=0，则，
∴OB=8．
∵
∴
解得：a=2或-10．
∴点M的坐标为（2，0）或（-10，0）．
故答案为：（2，0）或（-10，0）．
【点拨】本题考查了一次函数的综合，掌握相关知识是解题的关键．
【训练】如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
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【答案】（1）；（2）12；（3）存在，或或
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
解：（1）设直线AC的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线AC的解析式是：；
（2）；
（3）存在这样的M点，理由如下：
设OA的解析式是，则，解得：，
则直线OA的解析式是：，
当△OMC的面积是△OAC的面积的时，M的横坐标是×4＝2，
在中，当时，，则M的坐标是（2，1）；
在中，当时，，则M的坐标是（2，4）；
则M的坐标是：或；
当M点在y轴左侧时，
在中，当时，，则M的坐标是（ 2，8）；
综上所述，M的坐标是：或或．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，熟记三角形面积公式及利用M点横坐标为±2分别求出是解题关键．
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