课件45张PPT。第3讲函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性的定义 (1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有____________[或
_____________],则称 f(x)为奇函数.奇函数的图象关于____对称.
(2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有____________[或
____________],则称 f(x)为偶函数.偶函数的图象关于___轴对称.
(3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函
数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的
必要条件是其定义域关于原点对称).原点f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(-x)-f(x)=0y
f(-x)=f(x) 2.函数的周期性的定义
对于函数 f(x),如果存在一个__________T,使得定义域内的
每一个 x 值,都满足_____________,那么函数 f(x)就叫做周期函
数,非零常数 T 叫做这个函数的______.非零常数f(x+T)=f(x)周期D
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数)C2.下列函数中,在其定义域内是奇函数的是(
CA.y 轴对称
C.坐标原点对称B.直线 y=-x 对称
D.直线 y=x 对称4.设函数 f(x)=(x2+1)(x+a)为奇函数,则 a=___.05.设 f(x) 是( -∞,+∞) 上的奇函数,f(x+2) =-f(x) ,当0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)=_______.-0.5 解析:由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f(x),故f(x)是以4为周期的函数.故f(7.5)=f(-0.5+8)=f(-0.5).又f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,所以f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 考点1 判断函数的奇偶性
例1:判断下列函数的奇偶性:解:(1)函数的定义域为x∈(-∞,+∞),关于原点对称.
∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|
=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.
(2)此函数的定义域为{x|x>0 }.
由于定义域关于原点不对称,
故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)去掉绝对值符号,根据定义判断. 故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+2
>0.故 f(x)为奇函数.
(4)∵函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
当x>0 时,-x<0,
∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0).
当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0).
故函数f(x)为奇函数.(5)此函数的定义域为{-1,1},且f(x)=0.
可知图象既关于原点对称、又关于 y 轴对称,
故此函数既是奇函数又是偶函数.∴f(x)是奇函数. (1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质,定义
域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D,则 x∈D 时都
有-x∈D)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件,因此判断函
数的奇偶性应首先考虑函数的定义域.
(2)分段函数的奇偶性一般要分段证明.
(3)用定义判断函数的奇偶性的步骤是:定义域(关于原点对
称)→验证 f(-x)=±f(x)→下结论,还可以利用图象法或定义的等【互动探究】域均为 R,则()BA.f(x)与 g(x)均为偶函数
C.f(x)与 g(x)均为奇函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数01.(2010年广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义=___. 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).即x2-|x+a|=(-x)2-
|-x+a|?=.∴a=0.考点2利用函数的奇偶性求函数解析式【互动探究】
3.(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的
偶函数,当 x≤0 时,f(x)=x3-x2,则当 x>0 时,f(x)的解析式为_________________.f(x)=-x3-x24.(2011 年安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=()AA.-3B.-1C.1D.3解析:f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.故选 A.考点3函数奇偶性与周期性的综合应用答案:A值的方法.关键是通过周期性和奇偶性,把自变量-—转化到区间本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数5
2[0,1]上进行求值.【互动探究】
5.(2011 年山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,
且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为()BA.6B.7C.8D.9 解析:因为当0≤x<2 时,f(x)=x3-x,又因为f(x)是R 上最
小正周期为2 的周期函数,且 f(0)=0,所以 f(6)=f(4)=f(2)=f(0)
=0,又因为f(1)=0,所以 f(3)=0,f(5)=0.故函数y=f(x)的图象
在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7 个,故选B.D
A.a
C.cB.bD.c5.判断函数奇偶性时没有考虑定义域
例题:给出四个函数:①y=lg ;
2+x②y=lg(2-x)-lg(2+x);
③y=lg[(x+2)(x-2)];
④y=lg(x+2)+lg(x-2).
其中奇函数是________,偶函数是________. 正解:①②的定义域相同,均为(-2,2),且均有f(-x)=-f(x),
所以都是奇函数;③的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),且有
f(-x)=f(x),所以为偶函数;而④的定义域为(2,+∞)不对称,
因此为非奇非偶函数.答案:①② ③ 【失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面.对定
义域内任意一个 x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函
数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.对于函数 f(x)定义域中的任意 x,总存在一个常数 T(T≠0),使得 f(x+T)=f(x)恒成立,则 T 是函数 y=f(x)的一个周期.(1)若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=f(x-a)(a≠0),则 T=2a 是它的一个周期.(2)若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a≠0),则 T=2a 是它的一个周期.(3)若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=- 1
f(x)(a≠0),则 T=2a 是它的一个周期.(4)若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= 1
f(x)(a≠0),则 T=2a 是它的一个周期.1-f(x)
1+f(x)(a≠0),则 T=2a 是它 (5)若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=
的一个周期.(6)若函数 y=f(x)(x∈R)的图象关于直线 x=a 与 x=b 对称,则 T=2|b-a|是它的一个周期.(7)若函数 y=f(x)(x∈R)的图象关于点(a,0)与 x=b 对称,则 T=4|b-a|是它的一个周期. 对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x)[或
f(-x)=f(x)],则称 f(x)为奇(偶)函数.因此在讨论函数的奇偶性时,
应首先求函数的定义域,观察其定义域是否关于原点对称,若不
对称,则函数不具备奇偶性,为非奇非偶函数;只有定义域关于
原点对称,才有必要利用定义进一步研究其奇偶性.第4讲函数的单调性与最值1.函数的单调性的定义 设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 I?A,如果对于区间 I 内
的任意两个值 x1,x2,当 x1=f(x)在区间 I 上是单调增函数,I 称为 y=f(x)的______________;
如果对于区间 I 内的任意两个值x1,x2,当x1那么就说 y = f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ,I 称 为 y = f(x) 的____________.单调增区间f(x1)>f(x2)单调减区间 f(x1) 设函数 y=f(x),如果在某区间 I 上___________,那么 f(x)为
区间 I 上的增函数;如果在某区间 I 上____________,那么 f(x)为区间 I 上的减函数.f′(x)>0f′(x)<0 3.函数的最大(小)值
设函数 y=f(x)的定义域为 A,如果存在定值 x0∈A,使得对于
任意 x∈A,有____________恒成立,那么称 f(x0)为 y=f(x)的最大
值;如果存在定值 x0∈A,使得对于任意 x∈A,有___________恒
成立,那么称 f(x0)为 y=f(x)的最小值.f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)A.k>-1.函数 y=x2-6x 的减区间是()DA.(-∞,2]
C.[3,+∞)B.[2,+∞)
D.(-∞,3]2.函数 y=(2k+1)x+b 在实数集上是增函数,则()A1
2B.k<-1
2C.b>0D.b>03.已知函数 f(x)的值域是[-2,3],则函数 f(x-2)的值域为()DA.[-4,1]
C.[-4,1]∪[0,5] B.[0,5]
D.[-2,3] 解析:f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2 个单位.因此
f(x-2)的值域不变.单调减区间是______________.[0,+∞)5.指数函数 y=(a-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a的取值范围为________.1x(1)判断函数 f(x)的奇偶性;(2)若 f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数 a 的取值范围.当 a≠0 时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.解:(1)当a=0时,f(x)=x2为偶函数.【互动探究】 2x
x-1在区间(0,1)上 1.试用函数单调性的定义判断函数 f(x)=
的单调性.考点2 利用导数判断函数的单调性函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数 a 的取值范围.
解题思路:本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题
求解,也可求出整个函数的递增(减)区间,再用所给区间是所求区
间的子区间的关系求解. 解析:函数f(x)的导数为f′(x)=x2-ax+a-1.
令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.
当a-1≤1即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.
当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.
依题意应有:当x∈(1,4)时,f′(x)<0.
当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.
所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7,
所以a的取值范围是[5,7].【互动探究】
+mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取值范围是_________.m<-1 考点3 函数的最值与值域
例3:求下列函数的值域:程,用判别式可求值域,也可把函数解析式化成A+(A, 解题思路:关于 x 的一次分式函数,可通过求关于 x 的方程
在定义域内有解的条件来求得值域,也可以经过变形(分离常量),
观察得出结果;关于有理分式函数,去分母化成关于 x 的二次方Bx2-x+1B 是常数)的形式来求值域;可用换元法将无理函数化为有理函数
或将已知等式化成关于 x 的二次方程,用判别式求函数的值域.【互动探究】
3.求下列函数的值域: 易错、易混、易漏
6.求函数的单调区间时没有考虑定义域
例题:(2010 年广东珠海北大希望之星实验学校)函数 f(x)=log2(4x-x2)的单调递减区间是()A.(0,4)B.(0,2)C.(2,4)D.(2,+∞) 正解:由4x-x2>0 得 0知函数 u 在(2,4)上是减函数,根据复合函数的单调性知函数 f(x)
=log2(4x-x2)的单调递减区间是(2,4).故选 C.
答案:C
【失误与防范】易忽略 x 需满足4x-x2>0 这个条件. 求函数值域的常用方法有:配方法、分离变量法、单调性法、
图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域,
都必须考虑函数的定义域.1.在研究函数的单调性时,对单调区间的表述要准确.如函有的函数既无最大值也无最小值,如y=—. 2.并不是所有的函数都有最值,有的函数只有最大值而无最
小值,如 y=-x2;有的函数只有最小值而无最大值,如 y=x2;1
x