河北省保定市容城中学高一数学下册第二章 第3讲《函数的奇偶性与周期性》课件（人教版）

课件45张PPT。第3讲函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性的定义 (1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有____________[或
_____________]，则称 f(x)为奇函数．奇函数的图象关于____对称．
(2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有____________[或
____________]，则称 f(x)为偶函数．偶函数的图象关于___轴对称．
(3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性．具有奇偶性的函
数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的
必要条件是其定义域关于原点对称)．原点f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0f(－x)－f(x)＝0y
f(－x)＝f(x) 2．函数的周期性的定义
对于函数 f(x)，如果存在一个__________T，使得定义域内的
每一个 x 值，都满足_____________，那么函数 f(x)就叫做周期函
数，非零常数 T 叫做这个函数的______．非零常数f(x＋T)＝f(x)周期D
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数)C2．下列函数中，在其定义域内是奇函数的是(
CA．y 轴对称
C．坐标原点对称B．直线 y＝－x 对称
D．直线 y＝x 对称4．设函数 f(x)＝(x2＋1)(x＋a)为奇函数，则 a＝___.05．设 f(x) 是( －∞，＋∞) 上的奇函数，f(x＋2) ＝－f(x) ，当0≤x≤1 时，f(x)＝x，则 f(7.5)＝_______.－0.5 解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的函数．故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)．又f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5. 考点1 判断函数的奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性：解：(1)函数的定义域为x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|
＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
(2)此函数的定义域为{x|x>0 }．
由于定义域关于原点不对称，
故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)去掉绝对值符号，根据定义判断． 故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2
＞0.故 f(x)为奇函数．
(4)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x＞0 时，－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．
当 x＜0 时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)．
故函数f(x)为奇函数．(5)此函数的定义域为{－1,1}，且f(x)＝0.
可知图象既关于原点对称、又关于 y 轴对称，
故此函数既是奇函数又是偶函数．∴f(x)是奇函数． (1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义
域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D，则 x∈D 时都
有－x∈D)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，因此判断函
数的奇偶性应首先考虑函数的定义域．
(2)分段函数的奇偶性一般要分段证明．
(3)用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对
称)→验证 f(－x)＝±f(x)→下结论，还可以利用图象法或定义的等【互动探究】域均为 R，则()BA．f(x)与 g(x)均为偶函数
C．f(x)与 g(x)均为奇函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数01．(2010年广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义＝___. 解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．即x2－|x＋a|＝(－x)2－
|－x＋a|?＝.∴a＝0.考点2利用函数的奇偶性求函数解析式【互动探究】
3．(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的
偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x3－x2，则当 x>0 时，f(x)的解析式为_________________.f(x)＝－x3－x24．(2011 年安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则 f(1)＝()AA．－3B．－1C．1D．3解析：f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.故选 A.考点3函数奇偶性与周期性的综合应用答案：A值的方法．关键是通过周期性和奇偶性，把自变量－—转化到区间本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数5
2[0,1]上进行求值．【互动探究】
5．(2011 年山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，
且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为()BA．6B．7C．8D．9 解析：因为当0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，又因为f(x)是R 上最
小正周期为2 的周期函数，且 f(0)＝0，所以 f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)
＝0，又因为f(1)＝0，所以 f(3)＝0，f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象
在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7 个，故选B.D
A．a C．cB．bD．c5．判断函数奇偶性时没有考虑定义域
例题：给出四个函数：①y＝lg ；
2＋x②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)；
③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；
④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2)．
其中奇函数是________，偶函数是________． 正解：①②的定义域相同，均为(－2,2)，且均有f(－x)＝－f(x)，
所以都是奇函数；③的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，且有
f(－x)＝f(x)，所以为偶函数；而④的定义域为(2，＋∞)不对称，
因此为非奇非偶函数．答案：①② ③ 【失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面．对定
义域内任意一个 x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函
数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．对于函数 f(x)定义域中的任意 x，总存在一个常数 T(T≠0)，使得 f(x＋T)＝f(x)恒成立，则 T 是函数 y＝f(x)的一个周期．(1)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则 T＝2a 是它的一个周期．(2)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则 T＝2a 是它的一个周期．(3)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋a)＝－ 1
f(x)(a≠0)，则 T＝2a 是它的一个周期．(4)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋a)＝ 1
f(x)(a≠0)，则 T＝2a 是它的一个周期．1－f(x)
1＋f(x)(a≠0)，则 T＝2a 是它 (5)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋a)＝
的一个周期．(6)若函数 y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线 x＝a 与 x＝b 对称，则 T＝2|b－a|是它的一个周期．(7)若函数 y＝f(x)(x∈R)的图象关于点(a,0)与 x＝b 对称，则 T＝4|b－a|是它的一个周期． 对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)[或
f(－x)＝f(x)]，则称 f(x)为奇(偶)函数．因此在讨论函数的奇偶性时，
应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不
对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于
原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性．第4讲函数的单调性与最值1．函数的单调性的定义 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I?A，如果对于区间 I 内
的任意两个值 x1，x2，当 x1＝f(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 y＝f(x)的______________；
如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1那么就说 y ＝ f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ，I 称 为 y ＝ f(x) 的____________．单调增区间f(x1)>f(x2)单调减区间 f(x1) 设函数 y＝f(x)，如果在某区间 I 上___________，那么 f(x)为
区间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上____________，那么 f(x)为区间 I 上的减函数．f′(x)>0f′(x)<0 3．函数的最大(小)值
设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在定值 x0∈A，使得对于
任意 x∈A，有____________恒成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最大
值；如果存在定值 x0∈A，使得对于任意 x∈A，有___________恒
成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最小值．f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)A．k>－1．函数 y＝x2－6x 的减区间是()DA．(－∞，2]
C．[3，＋∞)B．[2，＋∞)
D．(－∞，3]2．函数 y＝(2k＋1)x＋b 在实数集上是增函数，则()A1
2B．k<－1
2C．b>0D．b>03．已知函数 f(x)的值域是[－2,3]，则函数 f(x－2)的值域为()DA．[－4,1]
C．[－4,1]∪[0,5] B．[0,5]
D．[－2,3] 解析：f(x－2)的图象是把f(x)的图象向右平移2 个单位．因此
f(x－2)的值域不变．单调减区间是______________．[0，＋∞)5．指数函数 y＝(a－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数 a的取值范围为________.1x(1)判断函数 f(x)的奇偶性；(2)若 f(x)在区间[2，＋∞)是增函数，求实数 a 的取值范围．当 a≠0 时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．【互动探究】 2x
x－1在区间(0,1)上 1．试用函数单调性的定义判断函数 f(x)＝
的单调性．考点2 利用导数判断函数的单调性函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数 a 的取值范围．
解题思路：本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题
求解，也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区
间的子区间的关系求解．　　解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝x2－ax＋a－1.
　　令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
　　当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
　　当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
　　依题意应有：当x∈(1,4)时，f′(x)＜0.
　　当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.
　　所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7，
　　所以a的取值范围是[5,7]．【互动探究】
＋mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_________.m<－1 考点3　 函数的最值与值域
例3：求下列函数的值域：程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成A＋(A， 解题思路：关于 x 的一次分式函数，可通过求关于 x 的方程
在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)，
观察得出结果；关于有理分式函数，去分母化成关于 x 的二次方Bx２－x＋1B 是常数)的形式来求值域；可用换元法将无理函数化为有理函数
或将已知等式化成关于 x 的二次方程，用判别式求函数的值域．【互动探究】
3．求下列函数的值域： 易错、易混、易漏
6．求函数的单调区间时没有考虑定义域
例题：(2010 年广东珠海北大希望之星实验学校)函数 f(x)＝log2(4x－x2)的单调递减区间是()A．(0,4)B．(0,2)C．(2,4)D．(2，＋∞) 正解：由4x－x2>0 得 0知函数 u 在(2,4)上是减函数，根据复合函数的单调性知函数 f(x)
＝log2(4x－x2)的单调递减区间是(2,4)．故选 C.
答案：C
【失误与防范】易忽略 x 需满足4x－x2＞0 这个条件． 求函数值域的常用方法有：配方法、分离变量法、单调性法、
图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，
都必须考虑函数的定义域．1．在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确．如函有的函数既无最大值也无最小值，如y＝—. 2．并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最
小值，如 y＝－x2；有的函数只有最小值而无最大值，如 y＝x2；1
x