课件23张PPT。第4讲函数的单调性与最值1.函数的单调性的定义 设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 I?A,如果对于区间 I 内
的任意两个值 x1,x2,当 x1
=f(x)在区间 I 上是单调增函数,I 称为 y=f(x)的______________;
如果对于区间 I 内的任意两个值x1,x2,当x1那么就说 y = f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ,I 称 为 y = f(x) 的____________.单调增区间f(x1)>f(x2)单调减区间 f(x1) 设函数 y=f(x),如果在某区间 I 上___________,那么 f(x)为
区间 I 上的增函数;如果在某区间 I 上____________,那么 f(x)为区间 I 上的减函数.f′(x)>0f′(x)<0 3.函数的最大(小)值
设函数 y=f(x)的定义域为 A,如果存在定值 x0∈A,使得对于
任意 x∈A,有____________恒成立,那么称 f(x0)为 y=f(x)的最大
值;如果存在定值 x0∈A,使得对于任意 x∈A,有___________恒
成立,那么称 f(x0)为 y=f(x)的最小值.f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)A.k>-1.函数 y=x2-6x 的减区间是()DA.(-∞,2]
C.[3,+∞)B.[2,+∞)
D.(-∞,3]2.函数 y=(2k+1)x+b 在实数集上是增函数,则()A1
2B.k<-1
2C.b>0D.b>03.已知函数 f(x)的值域是[-2,3],则函数 f(x-2)的值域为()DA.[-4,1]
C.[-4,1]∪[0,5] B.[0,5]
D.[-2,3] 解析:f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2 个单位.因此
f(x-2)的值域不变.单调减区间是______________.[0,+∞)5.指数函数 y=(a-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a的取值范围为________.1x(1)判断函数 f(x)的奇偶性;(2)若 f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数 a 的取值范围.当 a≠0 时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.解:(1)当a=0时,f(x)=x2为偶函数.【互动探究】 2x
x-1在区间(0,1)上 1.试用函数单调性的定义判断函数 f(x)=
的单调性.考点2 利用导数判断函数的单调性函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数 a 的取值范围.
解题思路:本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题
求解,也可求出整个函数的递增(减)区间,再用所给区间是所求区
间的子区间的关系求解. 解析:函数f(x)的导数为f′(x)=x2-ax+a-1.
令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.
当a-1≤1即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.
当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.
依题意应有:当x∈(1,4)时,f′(x)<0.
当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.
所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7,
所以a的取值范围是[5,7].【互动探究】
+mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取值范围是_________.m<-1 考点3 函数的最值与值域
例3:求下列函数的值域:程,用判别式可求值域,也可把函数解析式化成A+(A, 解题思路:关于 x 的一次分式函数,可通过求关于 x 的方程
在定义域内有解的条件来求得值域,也可以经过变形(分离常量),
观察得出结果;关于有理分式函数,去分母化成关于 x 的二次方Bx2-x+1B 是常数)的形式来求值域;可用换元法将无理函数化为有理函数
或将已知等式化成关于 x 的二次方程,用判别式求函数的值域.【互动探究】
3.求下列函数的值域: 易错、易混、易漏
6.求函数的单调区间时没有考虑定义域
例题:(2010 年广东珠海北大希望之星实验学校)函数 f(x)=log2(4x-x2)的单调递减区间是()A.(0,4)B.(0,2)C.(2,4)D.(2,+∞) 正解:由4x-x2>0 得 0知函数 u 在(2,4)上是减函数,根据复合函数的单调性知函数 f(x)
=log2(4x-x2)的单调递减区间是(2,4).故选 C.
答案:C
【失误与防范】易忽略 x 需满足4x-x2>0 这个条件. 求函数值域的常用方法有:配方法、分离变量法、单调性法、
图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域,
都必须考虑函数的定义域.1.在研究函数的单调性时,对单调区间的表述要准确.如函有的函数既无最大值也无最小值,如y=—. 2.并不是所有的函数都有最值,有的函数只有最大值而无最
小值,如 y=-x2;有的函数只有最小值而无最大值,如 y=x2;1
x