河北省保定市容城中学高一数学下册第二章 第1讲《函数的概念》课件（人教版）

课件85张PPT。第二章 函数第1讲函数与映射的概念 1．函数的概念
(1)函数的定义
设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，
使对于集合 A 中的____________，在集合 B 中都有___________
的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，通常
记为_______________.每一个数 x唯一确定y＝f(x)，x∈A(2)函数的定义域、值域的集合{f(x)|x∈A} 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫
做 y＝f(x)的_______；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，_______
__________________称为函数 y＝f(x)的值域．
(3)函数的三个要素，即_______、_____和____________.2．映射的概念定义域值域对应关系 f 设 A、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集
合 A 中的_____元素，在集合 B 中都有___________的元素与之对
应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的映射，通常记为__________.任意唯一确定f：A→B定义域函数值AA．{x|x≥－3}
C．{x|x≤－3} B．{x|x>－3}
D．{x|x<－3}2．下列函数中与函数 y＝x 相同的是()B[－2,2]4．函数 y＝lg(4－x)
x－3的定义域是________________. 5．设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出如图 2－1－1
所示四个图象，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是_______(填序号)．②③ {x|x<4 且 x≠3}图 2－1－1考点1 有关映射与函数的概念 例1：若 f：y＝3x＋1 是从集合 A＝{1,2,3，k}到集合 B＝{4,7，
a4 ，a2 ＋3a} 的一个映射，则自然数 a ＝________ ，自然数 k ＝
________；集合 A＝________，B＝________.解题思路：处理映射有关问题的关键是理解透概念．
解析：∵f(1)＝3×1＋1＝4，f(2)＝3×2＋1＝7，
f(3)＝3×3＋1＝10，f(k)＝3k＋1，
由映射的定义知∵a∈N，
∴方程组(1)无解．
解方程组(2)，得 a＝2 或 a＝－5(舍)．
3k＋1＝16,3k＝15，k＝5.
∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．【互动探究】
1．已知映射：f：A→B，其中 A＝B＝R，对应关系 f：x→y
＝－x2＋2x，对于实数 k∈B，且在集合 A 中没有元素与之对应，)则 k 的取值范围是(
A．k>1
C．k<1
B．k≥1
D．k≤1 解析：y＝－(x－1)2＋1≤1，若k∈B，且在集合A 中没有元素
与之对应，则k>1.A考点2判断两函数是否为同一个函数例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？
解题思路：要判断两个函数是否为同个函数，只需判断其定
义域和对应关系是否相同即可．【互动探究】
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，
则称这些函数为“孪生函数”．例如解析式为 y＝2x2＋1、值域为
{9}的孪生函数有三个：
①y＝2x2＋1，x∈{－2}；
②y＝2x2＋1，x∈{2}；
③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．
那么函数的解析式为 y＝2x2＋1，值域为{1,5}的孪生函数共有()CA．5 个B．4 个C．3 个D．2 个考点3求函数的定义域答案：A 求一些具体函数的定义域，有分母的保证分母不为
零；有开偶次方根的要保证被开方数为非负数；有对数函数保证
真数大于零，底数大于零且不等于 1.在求定义域的过程中，往往
需要解不等式(组)，很多时候需要利用函数的单调性．A＋lg(1＋x)的定义域是( 1
1－x)4．(2011 年广东)函数 f(x)＝
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)C易错、易混、易漏4．对复合函数的定义域理解不透彻例题：(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3]，则 f(x－1)的定义域为________；(2) 若 函 数 f(x － 1) 的 定义域为 [2,3] ， 则 f(x) 的定义域为________；(3) 若函数 f(x － 1) 的定义域为 [2,3] ， 则 f(x) 的 定 义 域 为________，f(2x＋1)的定义域为________；(4)若函数 f(x)的值域为[2,3]，则 f(x－1)的值域为_______；f(x)－1 的值域为________． (4)f(x－1)的图象就是将f(x)的图象向右平移1 个单位，不改变
值域．f(x)－1 的图象就是将f(x)的图象向下平移1 个单位，所以f(x
－1)的值域为[2,3]，f(x)－1 的值域为[1,2]． 【失误与防范】本题是求关于抽象的复合函数的定义域和值
域，加深对函数定义域的理解，弄明白f(x)与 f[u(x)]定义域之间的
区别与联系，其实在这里只要 f(x)中 x 取值的范围与f[u(x)]中式子
u(x)的取值范围一致就行了.注意习题(3)就是习题(1)和习题(2)的
综合. 函数的概念含有三个要素，当函数的定义域及对应关系确定
之后，函数的值域也就随之确定．因此，“定义域和对应关系”
为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应关系
分别相同时，这两个函数才是同一个函数． 对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：①已
知 f(x) 的定义域为[a ，b] ，求 f[u(x)] 的定义域，只需求不等 式
a≤u(x)≤b 的解集即可；②已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]，求 f(x)
的定义域，只需求 u(x)的值域；③已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]，
求 f[g(x)]的定义域，必须先利用②的方法求 f(x)的定义域然后利用
①的方法求解．第2讲函数的表示法1．函数的三种表示法图象法列表法解析法_______、________、_________．
(1)图象法：就是_____________表示两个变量之间的关系．
(2)列表法：就是____________来表示两个变量的函数关系．
(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用_____来表示．2．分段函数列出表格等式 在自变量的不同变化范围中，对应关系用不同式子来表示的
函数称为分段函数．分段函数的对应关系为一整体．用函数图象AB5．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝____. A22 或－ 2，若 f(a)＝2，则实数考点1 求函数值例1：①(2011 年浙江)设函数 f(x)＝ 4
1－xa＝________.答案：－1②(2011 年广东)设函数 f(x)＝x3cosx＋1.若 f(a)＝11，则 f(－a)＝________.解析：f(a)＝a3cosa＋1＝11，即f(a)＝a3cosa＝10.
则f(－a)＝(－a)3cos(－a)＋1＝－a3cosa＋1
＝－10＋1＝－9.
答案：－9【互动探究】
1．已知 a，b 为常数，若 f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则 5a－b＝____.2 考点 2 分段函数
例2：①(2011 年北京)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品
已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15分钟，那么 C 和 A 的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16
答案：D若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为______．
答案：D 分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来
表示的，处理相关问题时，首先要确定自变量的值属于哪一个区
间，从而选定相应关系式代入计算．特别地要注意分段区间端点
的取舍．【互动探究】
-2考点3求函数的解析式 例 3：(1)已知 f(x＋1)＝x2－1，求 f(x)的表达式；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，
求 f(x)；
解题思路：本题侧重于从映射的角度理解函数，求函数解析
式 f(x)即是求“对应关系 f 是如何对 x 实施运算的”．解析：(1)方法一：f(x＋1)＝x2－1
＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)，
可令t＝x＋1，则有f(t)＝t2－2t，故f(x)＝x2－2x.
(f对x实施的运算和对t实施的运算是完全一样的)
方法二：令x＋1＝t，则x＝t－1.代入原式，有
f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，∴f(x)＝x2－2x.
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17.
∴a＝2，b＝7.故f(x)＝2x＋7.【互动探究】
3．已知 f(3x)＝4xlog23＋233，则 f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于_________.2 008 解析：∵f(3x)＝4xlog23＋233＝4log23x＋233?f(x)＝4log2x＋233，∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝8×233＋4(log22＋2log22＋3log22＋…＋8log22)＝1 864＋144＝2 008. 考点 4 函数中的信息给予题
例 4：符号[x]表示不超过 x 的最大整数，如[π]＝3，[－1.08]
＝－2，定义函数{x}＝x－[x]．给出下列四个命题：
①函数{x}的定义域是 R，值域为[0,1]；


③函数{x}是周期函数；
④函数{x}是增函数．其中正确命题的序号有()A．①④B．③④C．②③D．②④答案：C【互动探究】
4．(2011 年广东珠海模拟)对于任意实数 x，符号[x]表示 x 的
整数部分，即[x]是不超过 x 的最大整数，例如[2]＝2；[2.1]＝2；
[－ 2.2]＝3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实
践中有广泛的应用．那么[log21]＋[log22]＋[log23]＋[log24]＋…＋[log264]的值为()CA．21B．76C．264D．6421．求抽象函数解析式的几种常用方法 (1)换元法：已知 f[g(x)]的表达式，欲求 f(x)，我们常设 t＝g(x)，
反解求得 x＝g－1(t)，然后代入 f[g(x)]的表达式，从而得到 f(t)的表
达式，即为 f(x)的表达式． (2)凑配法：若已知 f[g(x)]的表达式，欲求 f(x)的表达式，用换
元法有困难时[如 g(x)不存在反函数]，可把 g(x)看成一个整体，把
右边变为由 g(x)组成的式子，再换元求出 f(x)的式子． (3)消元法：已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一
个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方
法为消元法． (4)赋值法：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时
把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出
函数的表达式．2．分段函数不论是研究性质，还是作图、求值，都是按自变量的取值范围和对应关系分段处理．1．在函数 f(x)中，符号 f 表示一种对应关系，可以是解析式，可以是图象，也可以是图表． 2．分段函数是同一个函数，由于在不同区间上的解析关系式
不同，所以容易忽视自变量的取值范围，从而造成错误．第3讲函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性的定义 (1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有____________[或
_____________]，则称 f(x)为奇函数．奇函数的图象关于____对称．
(2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有____________[或
____________]，则称 f(x)为偶函数．偶函数的图象关于___轴对称．
(3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性．具有奇偶性的函
数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的
必要条件是其定义域关于原点对称)．原点f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0f(－x)－f(x)＝0y
f(－x)＝f(x) 2．函数的周期性的定义
对于函数 f(x)，如果存在一个__________T，使得定义域内的
每一个 x 值，都满足_____________，那么函数 f(x)就叫做周期函
数，非零常数 T 叫做这个函数的______．非零常数f(x＋T)＝f(x)周期D
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数)C2．下列函数中，在其定义域内是奇函数的是(
CA．y 轴对称
C．坐标原点对称B．直线 y＝－x 对称
D．直线 y＝x 对称4．设函数 f(x)＝(x2＋1)(x＋a)为奇函数，则 a＝___.05．设 f(x) 是( －∞，＋∞) 上的奇函数，f(x＋2) ＝－f(x) ，当0≤x≤1 时，f(x)＝x，则 f(7.5)＝_______.－0.5 解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的函数．故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)．又f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5. 考点1 判断函数的奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性：解：(1)函数的定义域为x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|
＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
(2)此函数的定义域为{x|x>0 }．
由于定义域关于原点不对称，
故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)去掉绝对值符号，根据定义判断． 故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2
＞0.故 f(x)为奇函数．
(4)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x＞0 时，－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．
当 x＜0 时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)．
故函数f(x)为奇函数．(5)此函数的定义域为{－1,1}，且f(x)＝0.
可知图象既关于原点对称、又关于 y 轴对称，
故此函数既是奇函数又是偶函数．∴f(x)是奇函数． (1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义
域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D，则 x∈D 时都
有－x∈D)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，因此判断函
数的奇偶性应首先考虑函数的定义域．
(2)分段函数的奇偶性一般要分段证明．
(3)用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对
称)→验证 f(－x)＝±f(x)→下结论，还可以利用图象法或定义的等【互动探究】域均为 R，则()BA．f(x)与 g(x)均为偶函数
C．f(x)与 g(x)均为奇函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数01．(2010年广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义＝___. 解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．即x2－|x＋a|＝(－x)2－
|－x＋a|?＝.∴a＝0.考点2利用函数的奇偶性求函数解析式【互动探究】
3．(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的
偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x3－x2，则当 x>0 时，f(x)的解析式为_________________.f(x)＝－x3－x24．(2011 年安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则 f(1)＝()AA．－3B．－1C．1D．3解析：f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.故选 A.考点3函数奇偶性与周期性的综合应用答案：A值的方法．关键是通过周期性和奇偶性，把自变量－—转化到区间本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数5
2[0,1]上进行求值．【互动探究】
5．(2011 年山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，
且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为()BA．6B．7C．8D．9 解析：因为当0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，又因为f(x)是R 上最
小正周期为2 的周期函数，且 f(0)＝0，所以 f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)
＝0，又因为f(1)＝0，所以 f(3)＝0，f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象
在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7 个，故选B.D
A．a C．cB．bD．c5．判断函数奇偶性时没有考虑定义域
例题：给出四个函数：①y＝lg ；
2＋x②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)；
③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；
④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2)．
其中奇函数是________，偶函数是________． 正解：①②的定义域相同，均为(－2,2)，且均有f(－x)＝－f(x)，
所以都是奇函数；③的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，且有
f(－x)＝f(x)，所以为偶函数；而④的定义域为(2，＋∞)不对称，
因此为非奇非偶函数．答案：①② ③ 【失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面．对定
义域内任意一个 x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函
数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．对于函数 f(x)定义域中的任意 x，总存在一个常数 T(T≠0)，使得 f(x＋T)＝f(x)恒成立，则 T 是函数 y＝f(x)的一个周期．(1)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则 T＝2a 是它的一个周期．(2)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则 T＝2a 是它的一个周期．(3)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋a)＝－ 1
f(x)(a≠0)，则 T＝2a 是它的一个周期．(4)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋a)＝ 1
f(x)(a≠0)，则 T＝2a 是它的一个周期．1－f(x)
1＋f(x)(a≠0)，则 T＝2a 是它 (5)若函数 y＝f(x)满足 f(x＋a)＝
的一个周期．(6)若函数 y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线 x＝a 与 x＝b 对称，则 T＝2|b－a|是它的一个周期．(7)若函数 y＝f(x)(x∈R)的图象关于点(a,0)与 x＝b 对称，则 T＝4|b－a|是它的一个周期． 对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)[或
f(－x)＝f(x)]，则称 f(x)为奇(偶)函数．因此在讨论函数的奇偶性时，
应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不
对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于
原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性．第4讲函数的单调性与最值1．函数的单调性的定义 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I?A，如果对于区间 I 内
的任意两个值 x1，x2，当 x1＝f(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 y＝f(x)的______________；
如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1那么就说 y ＝ f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ，I 称 为 y ＝ f(x) 的____________．单调增区间f(x1)>f(x2)单调减区间 f(x1) 设函数 y＝f(x)，如果在某区间 I 上___________，那么 f(x)为
区间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上____________，那么 f(x)为区间 I 上的减函数．f′(x)>0f′(x)<0 3．函数的最大(小)值
设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在定值 x0∈A，使得对于
任意 x∈A，有____________恒成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最大
值；如果存在定值 x0∈A，使得对于任意 x∈A，有___________恒
成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最小值．f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)A．k>－1．函数 y＝x2－6x 的减区间是()DA．(－∞，2]
C．[3，＋∞)B．[2，＋∞)
D．(－∞，3]2．函数 y＝(2k＋1)x＋b 在实数集上是增函数，则()A1
2B．k<－1
2C．b>0D．b>03．已知函数 f(x)的值域是[－2,3]，则函数 f(x－2)的值域为()DA．[－4,1]
C．[－4,1]∪[0,5] B．[0,5]
D．[－2,3] 解析：f(x－2)的图象是把f(x)的图象向右平移2 个单位．因此
f(x－2)的值域不变．单调减区间是______________．[0，＋∞)5．指数函数 y＝(a－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数 a的取值范围为________.1x(1)判断函数 f(x)的奇偶性；(2)若 f(x)在区间[2，＋∞)是增函数，求实数 a 的取值范围．当 a≠0 时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．【互动探究】 2x
x－1在区间(0,1)上 1．试用函数单调性的定义判断函数 f(x)＝
的单调性．考点2 利用导数判断函数的单调性函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数 a 的取值范围．
解题思路：本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题
求解，也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区
间的子区间的关系求解．　　解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝x2－ax＋a－1.
　　令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
　　当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
　　当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
　　依题意应有：当x∈(1,4)时，f′(x)＜0.
　　当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.
　　所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7，
　　所以a的取值范围是[5,7]．【互动探究】
＋mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_________.m<－1 考点3　 函数的最值与值域
例3：求下列函数的值域：程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成A＋(A， 解题思路：关于 x 的一次分式函数，可通过求关于 x 的方程
在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)，
观察得出结果；关于有理分式函数，去分母化成关于 x 的二次方Bx２－x＋1B 是常数)的形式来求值域；可用换元法将无理函数化为有理函数
或将已知等式化成关于 x 的二次方程，用判别式求函数的值域．【互动探究】
3．求下列函数的值域： 易错、易混、易漏
6．求函数的单调区间时没有考虑定义域
例题：(2010 年广东珠海北大希望之星实验学校)函数 f(x)＝log2(4x－x2)的单调递减区间是()A．(0,4)B．(0,2)C．(2,4)D．(2，＋∞) 正解：由4x－x2>0 得 0知函数 u 在(2,4)上是减函数，根据复合函数的单调性知函数 f(x)
＝log2(4x－x2)的单调递减区间是(2,4)．故选 C.
答案：C
【失误与防范】易忽略 x 需满足4x－x2＞0 这个条件． 求函数值域的常用方法有：配方法、分离变量法、单调性法、
图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，
都必须考虑函数的定义域．1．在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确．如函有的函数既无最大值也无最小值，如y＝—. 2．并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最
小值，如 y＝－x2；有的函数只有最小值而无最大值，如 y＝x2；1
x