1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 练习（word版含答案）

1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动
一、单项选择题（共3小题；）
1. 如图所示，两个同心圆半径分别为 和 ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 。圆心 处有一放射源，放射出的粒子质量为 、电荷量为 ，假设粒子速度方向都和纸面平行。要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过
A. B. C. D.
2. 如图所示，横截面为正方形 的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直 边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是
A. 从 点离开的电子在磁场中运动时间最长
B. 从 边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
C. 电子在磁场中运动的速度偏转角最大为
D. 从 边射出的电子的速度一定大于从 边射出的电子的速度
3. 如图所示，在半径为 的圆柱形区域内有匀强磁场。一个电子以速度 从 点沿半径方向射入该磁场，从 点射出，速度方向偏转了 。则电子从 到 运行的时间是
A. B. C. D.
二、多项选择题（共1小题；）
4. 、 两个离子同时从匀强磁场的直边界上的 、 点分别以 和 （与边界的夹角）射入磁场，又同时分别从 、 点穿出，如图所示。设边界上方的磁场范围足够大，下列说法中正确的是
A. 为负离子， 为正离子
B. 、 两离子运动半径之比为
C. 、 两离子速率之比为
D. 、 两离子的比荷之比为
三、解答题（共4小题；）
5. 有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图所示。左侧静电分析器中有方向指向圆心 、与 点等距离各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零。离子源发出两种速度均为 、电荷量均为 、质量分别为 和 的正离子束，从 点垂直该点电场方向进入静电分析器。在静电分析器中，质量为 的离子沿半径为 的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从 点水平射出，而质量为 的离子恰好从 连线的中点 与水平方向成 角射出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为 的离子打在 点正下方的 点。已知 ，， 、 两点间的电势差 ，，不计重力和离子间相互作用。
（1）求静电分析器中半径为 处的电场强度 和磁分析器中的磁感应强度 的大小；
（2）求质量为 的离子到达探测板上的位置与 点的距离 （用 表示）；
（3）若磁感应强度在（）到（）之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为 和 的两束离子，求 的最大值。
6. 如图所示，在第一象限有向下的匀强电场，在第四象限有垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场位于 、 和横轴 、纵轴 所包围的矩形区域内。一质量为 、电荷量为 的正点电荷（不计重力），从 轴上坐标为 的 点，以垂直于 轴的初速度 水平向右进入匀强电场，恰好从 轴上坐标为 的 点进入有界磁场。最终粒子从磁场右边界离开，求：
（1）匀强电场的场强大小 ；
（2）磁感应强度 的最大值 及此种情况下粒子在磁场中运动的时间 ；
（3）判断磁感应强度 为最小值时，粒子能否从 处射出。
7. 如图所示，在地面附近有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强磁场。匀强磁场的磁感应强度为 ，方向水平并垂直纸面向外，一质量为 、带电量为 的带电微粒在此区域恰好做速度大小为 的匀速圆周运动。（重力加速度为 ）
（1）求此区域内电场强度的大小和方向；
（2）若某时刻微粒运动到场中距地面高度为 的 点，速度与水平方向成 ，如图所示。则该微粒至少须经多长时间运动到距地面最高点 最高点距地面多高
（3）在（）问中微粒运动 点时，突然撤去磁场，同时电场强度大小不变，方向变为水平向右，则该微粒运动中距地面的最大高度是多少
8. 如图所示，在粗糙且绝缘的斜面上，一个质量 、带电量 的小物块由静止从 点开始滑下，到斜面底端 距离 斜面与水平面间的夹角 ，动摩擦因数 ；全空间中存在竖直向下的匀强电场，其电场强度 ，重力加速度 、 、 。求：（最后结果可保留根号）
（1）此物块下滑的加速度大小 和到达斜面底端的速度大小 。
（2）若此物块经过 点后，速率不变，沿平直光滑轨道运动，由 点进入一个半径 的光滑竖直绝缘圆轨道，此时匀强电场的方向改为竖直向上，场强大小不变。分别求物块由 点到最高点 电势能的增量 和经过 点的线速度大小 。
（3）若此物块经过 点后，速率不变，沿平直光滑轨道运动，由 点进入一个半径为 的光滑竖直绝缘圆轨道，此时匀强电场的方向变为水平向右，场强大小变为 为保证物块做完整圆周运动，轨道半径 应满足什么条件，在临界轨道半径时，物块在圆轨道上的最小速度为多大。
答案
1. A
【解析】如图所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨迹半径为 ，
则由几何关系有
可得 ，
又 ，
可得 ，
故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过 。
2. A
【解析】根据带电粒子在有界磁场中运动周期公式 ，运动时间 ，由几何条件可知，从 边离开的电子在磁场中运动时间最长且均为半个周期，偏转角最大且均为 ，A 项错，BC 项正确；
由几何关系可知，从 边射出的电子轨道半径大于从 边射出的电子轨道半径，又由半径公式 可知，从 边射出的电子的速度大于从 边射出的电子的速度，D 项正确；
所以本题中错误选项为 A 项。
3. D
【解析】在电子的出、入射点作出速度方向的垂线，两垂线的交点便是电子做圆周运动的圆心。由几何关系可知，出、入射点与轨迹圆心组成等边三角形，轨道半径等于出、入射点间的弦长。由几何关系可知，轨道半径 。对电子的圆周运动，由洛伦兹力 公式及牛顿第二定律有 ，而电子圆周运动的周期为 ，电子的运动时间为 ，解得 ，选项 ABC 错误，D 正确。
4. A， B， D
5. （1） ；。
【解析】径向电场力提供向心力 ，
。
（2）
【解析】动能定理：，
或 ，
，
。
（3）
【解析】恰好能分辨的条件：，
。
6. （1）
【解析】正点电荷在匀强电场中做类平抛运动，则有：
，解得：。
（2） ；
【解析】设电子进入有界磁场时的速度为 ，根据动能定理，有：，解得 ，
设 和 轴正半轴的夹角为 ，则 ，所以 ，
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，即 ，
解得 ，磁场越强，粒子运动的半径越小，从右边界射出的最小半径即为从 处射出时的半径，此时的 由几何关系可得：，此时 取得最大值，，由几何关系可以知道粒子在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角大小为 ，粒子在磁场中运动的轨迹长 ，则此时粒子在磁场中运动的时间 。
（3） 不能
【解析】不能，磁感应强度最小时，若要使粒子恰好从 处飞出，则此时半径 应为 ，由于 ，此时粒子会从磁场下界飞出；能从磁场右边界飞出的使磁场最小的粒子轨迹应如图所示。
7. （1） ，方向竖直向下。
【解析】带电微粒在做匀速圆周运动，电场力与重力应平衡，有 ，即 ，方向竖直向下。
（2） ；
【解析】粒子做匀速圆周运动，轨道半径为 ，如图所示。
，
根据几何关系可确定，最高点与地面的距离为 ，
解得 。
该微粒运动周期为 ，
根据运动圆弧对应的圆心角，可得粒子运动至最高点所用时间为 。
（3）
【解析】设粒子上升高度为 ，由动能定理得 ，
解得 。
微粒离地面最大高度为 。
8. （1） ；
【解析】在斜面上时小物块受力分析：正交分解，
则有：，
，
，
联立①②③处物块下滑的加速度 ，
由 得物块到达斜面底端的速度：。
（2） ；
【解析】从 到 电场力做功为 ，
由 可得物块从 到最高点 电势能的增量为 ，
从 到 由动能定理得 ，
，
联立⑥⑦得 。
（3） ；
【解析】进入光滑竖直绝缘轨道后，对小物块受力分析：，
则物块所受合力为 ，
，
物体要做完整的圆周运动，在 点 ，
有 ，
从 到 点由动能定理得：，
联立⑧⑨⑩ 解得：，，
所以轨道半径 应满足 ，在临界轨道半径时，物体在圆轨上的最小速度为 。
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