“4.3.2角的比较与运算”教学设计（第一课时）
天津市大港第六中学 沈德辉
一、内容及其解析
1．内容
角的比较，角的和差，角平分线．
2．内容解析
角的比较，角的和差，角平分线是本章重要的几何基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础．角的大小比较方法有两种：①度量法；②叠合法．其中，叠合法是重要的方法．叠合时使两个角的顶点及一边重合，另一边落在第一条边的同旁，保证了可比性；对于角的移动，具有角的位置改变了，但角的大小保持不变的性质．度量法中量角器起到了一个移角的作用，其实质是将两个角叠合在一起．比较两角的大小是本节知识产生、发展的起点，不论是图形还是数量关系（教材图4.3—6），除角的大小关系外，自然会产生角的和差问题，再将角的和差问题特殊化，自然又会产生等分问题．
与线段的比较、和差、中点一样，对于角的比较、和差、角平分线也是“数”“形”地说明它的意义的．其认知思维过程反映在两个方面：一是“数”与“形”结合．把几何意义与度数的数量关系结合起来，这是几何学习的特点之一，也是学习几何必须建立的一种思想意识．二是类比学习。按知识内容，线段的比较、和差、中点与角的比较、和差、角平分线是类比性知识；按叙述方式，均采用“图形语言”“文字语言”和“符号语言”综合描述所研究的对象；按学习过程，都特别注重从“有形”到“无形”（模型→图形→文字→符号）的抽象过程，同时也重视相反的化“无形”为“有形”（符号→文字→图形）的训练过程。类比学习是一种重要的学习方法，它既能揭示知识间的联系，在类比中加深理解，也体现了教材内容编排同类知识的同构现象，同时，也明确了研究一类问题的“基本套路”。
基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：角的大小、和差、角平分线的几何意义及数量关系；感受学习过程中的类比思想．
二、目标及其解析
1．目标
（1）理解角的大小、和差、角平分线的几何意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行综合描述。
（2）经历类比线段的大小、和差、中点学习角的比较、和差、角平分线角过程，体会类比思想。
2．目标解析
（1）能从图形和数量关系两个角度认识角的大小，会用度量法和叠合法比较两个角的大小．能从几何图形和数量关系认识角的和差与角平分线，知道两个角的和差，仍然是一个角，知道角的和差或等分的度数，就是它们度数的和差或等分．能结合角的大小、和差、角平分线的直观图形，用文字语言和符号语言描述它们，反之，能将它们用符号语言或文字语言所表述的图形及关系，用图形直观表示出来。
（2）在学习过程中，能在回忆线段的大小、和差、中点内容的同时，想象本节课所要学习的内容，能对学习进程心中有数，建立有意义学习心向；能将研究线段的大小、和差、中点的方式方法和基本套路，迁移运用到角的大小、和差、角平分线的学习之中，不断地提出问题、分析问题、解决问题。能建立起有关线段和角这两种基本几何图形的完善的认知结构。
三、学生情况分析
研究线段的比较大小、和差、中点与研究角的比较大小、和差、角平分线，其内容和方法都很相似，教学时把它们进行对比，学生在学习方法和学习内容的理解上，不会有困难．困难在于用图形语言、文字语言、符号语言综合描述所研究的对象，表现在能结合角的大小、和差、角平分线的直观图形，用文字语言和符号语言描述它们，反之，能将它们用符号语言或文字语言所表述的图形及关系，用图形直观表示出来。原因：一是语言是思维的产物。其中，图形是实物和模型第一次抽象，是对研究对象的直观反映；文字语言是对图形的描述、理解和讨论；符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象．它们的综合运用，要求学生必须对研究对象从数和形上有着深刻的理解，并具有读图和画图的能力。二是缺乏培养和训练，图形、文字、符号语言的综合运用，虽然在线段学习中有所接触，但达到融会贯通的程度，还需要经过一段过程．
本课的教学难点：用图形语言、文字语言、符号语言综合描述角的大小、和差关系及角平分线．
四、教学策略及其分析
1．策略
教师通过设置“问题串”，利用类比的思想，采用启发式教学，使学生将独立思考与合作交流相结合，从而达成学习目标。
2．策略分析
在学习本课内容之前，学生已学习过与“角”相关的“线段”这个基本图形，线段的相关内容和方法为学生学习角的比较与运算搭好了“脚手架”， 所以把“复习线段”作为新授内容类比学习的对象。教师不断用线段的学习内容和方法启发学生，通过设置环环相扣的“问题串”，引导学生达成学习目标。这样以旧引新，以新强旧，学生更易理解。在这个过程中，教师为学生的学习搭建自主学习、合作交流的平台，展示学习成果、反馈学习疑难；通过富有针对性的提问、指导，对教学进行及时调控，从而面向全体，为不同层次的学生提供了学习的机会和恰当的帮助，提高课堂实效。
五、教学支持条件分析
为了充分利用实物和几何模型进行教学，也可通过几何画板展示图形变换．让学生动手操作和参与，使他们在观察、操作、想象、交流等活动中认识图形，准备透明或半透明纸、三角板、量角器，进行画角、度量、叠合（比较角的大小）、翻折（作角平分线）、拼合（利用三角板画15°、75°等度数的角）等．
六、教学过程设计
（一）温故知新，引入课题
引入：上节课我们学了角的有关概念，你能回忆一下学了哪些内容吗？
接下来将研究什么，我们可以从研究线段得到启发．
师生活动：学生回忆，回答问题．
问题1请同学们回忆一下，前面我们学习了线段的哪些内容？
师生活动：学生回顾在线段中所学内容，教师归纳.
教师关注：学生对所学线段内容的整体认识以及“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程．
【设计意图】 学习伊始，先回忆与本节课内容密切相关的引导性材料——先行组织者．先行组织者能激活认知结构中已具备的相关知识，使学生认识到它们之间的联系；先行组织者为将要学习的材料提供了一个框架或线索，起到了“导游图”的作用，能使学生对学习进程心中有数，帮助学生建立有意义学习的心向，有助于学生掌握研究问题的方法．
（二）观察思考，探究新知
问题2 类比线段大小的比较，你认为该如何比较两个角的大小？在练习本上画两个角，比较出它们的大小，并说明你是怎么比较的。
师生活动：学生讨论解决问题的方法，学生代表展示交流．
学生展示交流后提问：
1．比较角大小的方法有几种？每种方法中应注意的问题什么？
师生活动：教师在学生展示交流的基础上,利用课件动画演示用量角器量角、用叠合法比较角的大小过程，归纳操作要点：
量角器量角注意对中,重合,读数.
叠合两角时要注意：（1）重合（两角的顶点及一边重合），（2）同旁（另一边落在第一条边的同旁）．
2．两个角的大小关系有几种？你能用图形和符号表示吗？
师生活动：画出图形，并用符号表示，如图1；指出两个角的大小关系有且仅有三种情况．
教师关注：学生运用度量法、叠合法比较角的大小操作的规范性；学生是否体会两个角的大小关系有且仅有三种情况．
【设计意图】 采用类比的方法，按照“几何模型——图形——文字——符号”的学习程序，学生动手操作，自主探究．建立线段比较长短与角比较大小之间知识与方法的联系，在对比中加深理解。指出对于两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样，有且仅有三种情况：∠A>∠B，∠A=∠B，∠A<∠B，为以后分类研究一些有关角的问题奠定基础．
问题3 如图2，图中共有几个角？它们之间有什么大小关系？
师生活动：学生确定角的个数，明确角间的大小关系．
教师关注：学生是否能发现角的和差关系，若学生仅说出
它们的大小关系，教师可引导学生进一步观察图形，类比线段
的和差，发现角的和差关系。
学生完成上述问题后提问：
你能用符号表示这些角间的和差关系吗？
教师关注：学生能否理解角的和差意义．
【设计意图】 以角的比较大小图形（如图2）为背景，提出角的和差问题，将知识由角的大小过渡到角的和差，衔接自然流畅。同时，针对同一图形变换审视角度提出问题，可以提高学生的读图能力．用符号表示角的和差关系，仍遵循“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程，在图形与等式之间建立一种关系．从角的度数数量上研究角的和差，突出反应角的和差几何意义与度数的数量间的关系，加深对角的和差概念的理解．
问题4利用一副三角板，你能画出画出15°,75°的角吗？你还能画出哪些度数的角？
师生活动：学生动手操作，小组合作探究，师生归纳．
师生归纳：一副三角尺上的角都是常用的角，它们是30°，45°，60°，90°的角，利用这些角可以很方便的画出与这些角相关的一些特殊角，如：15°,75°，105°，120°，135°，150°,165°等．
【设计意图】用一副三角板画出一些特殊角，除让学生巩固角的和差概念外，也使学生对这些特殊角的大小有直观的认识，培养对角大小的估计能力和动手操作能力，加深学生对角的认识．
问题5类比线段的中点，在图4中，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间又存在怎样的关系？
师生活动：画出图形，如图4，明确角平分线概念．
提出问题：
1.你能用符号表示图4中角之间的关系吗？
2．类似角的平分线，还有角的三等分线，一个角的三等分线有几条？四等分线呢？
教师关注：在用符号表示图4角之间的关系，理解图5的内容．
【设计意图】 从角的和差问题中，将射线OB的位置特殊化，并类比线段的中点，引出角平分线的概念，不仅知识的产生、发展自然连续，也体现了数学由一般到特殊，由特殊到一般的研究规律，同时，能建立知识间的联系，完善认知结构．
问题6 你能作一个角的平分线吗？
师生活动：画图展示交流，归纳方法（用量角器、折纸）；教师结合学生的展示交流或利用课件动画演示折叠过程中的翻折过程．
教师关注：学生操作是否规范．
【设计意图】 进一步明晰角平分线的概念，为后续学习轴对称和研究有关图形的翻折问题打下基础．
（三）练习巩固，应用新知
1．课本练习1.
学生操作，展示。
2．如图6所示：
（1）∠AOC是哪两个角的和？
（2）∠AOB是哪两个角的差？
（3）如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？
3．如图7，将长方形纸片的一角斜折，使顶点A
落在A′处，EF为折痕，若恰好平分∠FEB，
（1）判断∠FEA与∠的大小关系；
（2）你能求出∠FEB的度数吗？
【设计意图】：练习1通过对∠1与∠2大小的估计，培养学生估计角的大小的能力．用适当方法验证，则进一步巩固比较角大小的方法．练习2是通过观察图形，得出角之间的和差关系，提高学生对角的和差几何意义的认识，特别是观察∠AOB是哪两个角的差，能很好地培养学生的识图能力．利用等式性质发现∠AOC与∠BOD相等，使几何与代数建立联系．练习3检测学生对折叠法作角平分线的理解与运用．
（四）归纳小结，布置作业
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，构建知识与方法框图：
【设计意图】：构建知识网络，完善学生认知结构．
【布置作业】：
课本习题4.3第4，5，6，9题．
七、目标检测设计
1．如图，比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE的大小．
【设计意图】：检测学生根据叠合法比较角的大小的掌握情况．
2．按图填空：
（1）∠AOM＋∠AON=___________；
（2）∠NOB＋∠AOB=____________；
（3）∠MON－∠NOB=____________；
（4）∠BOM－∠AOM=____________.
【设计意图】：检测学生对角的和差几何意义、符号语言的掌握情况，以及识图能力．
3．如图，OP是∠AOB的平分线，则下列说法错误的是（ ）．
A. ∠AOB=2∠AOP B. ∠AOP=∠AOB
C. ∠AOB=∠BOP D. ∠AOP=∠BOP
【设计意图】：检测学生对角平分线概念以及符号语言的掌握情况．
4．如图，若∠AOB=∠COD，请判断∠AOC与∠BOD的大小关系；若∠AOC=∠BOD，请判断∠AOB与∠COD的大小关系.
【设计意图】：检测学生结合图形用等式表示角的和差关系的掌握情况，以及根据等式性质进行变形，利用代数的方法比较角的大小的运用情况．
备注：本教学设计参考了人教版《教师教学用书》七年级上册第四章“教学设计案例”
“4.3.2角的比较与运算”教学设计（第一课时）
课后点评
1.课堂教学脉络清晰，主线鲜明
本节课的教学活动以激活学生的认知经验为起点，通过对线段的大小比较、线段和差、中点等认知模型的类比，进而展开对角的大小比较、和差关系、角平分线的探究。在这一过程中，学生有效生成了角的比较方法以及从图形、文字、符号三个维度刻画角之间的数量关系的方法。此外，着眼于知识生成、思维训练和经验积累的三条核心主线十分鲜明。
2.“学思结合，知行统一”的课堂文化鲜明
沈老师的课堂教学反映了课改的精神要求，成功实现了从“讲堂”到“学堂”的蜕变。教学中既关注了“学什么”又重视了“怎样学”，使得知识技能、过程方法的教学有机整合于精心预设的数学活动之中；既关注了数学思想的渗透，又重视了实践应用，使得类比、数形结合、特殊化、程序化等数学思想得以发展，凝练了数学课堂的核心文化。此外学生乐于求索、善于合作、积极进取的行为彰显了人性发展的课堂文化。
大港区教师进修学校 刘培芬
课件21张PPT。4.3.2 角的比较与运算（1） 天津市滨海新区大港第六中学 沈德辉
Email:shendehuiw@163.com问题1学习了角的哪些内容？
学习了线段的哪些内容？线段的比较AB>CDABBC=AB-AC
AC=AB-BC线段中点 那么 AC=BC
AC=BC= AB
AB=2AC=2BC若点C是线段AB的中点问题2
1、如何比较两个角的大小？你能想到什么方法？ 观察图中有几个角？ 它们之间有什么关系？问题3问题445 °60 ° 1. 借助一副三角尺，你能画出15°吗?ACB 15°∠ ABC=45°－30°=15°60°退出 1. 借助一副三角尺，你能画出15°吗?DFE 15°∠ DEF=60°－45°=15° 1. 借助一副三角尺，你能画出15°吗?45 °退出ABC∠ABC=45°+30°=75°75° 2. 借助一副三角尺，你能画出75°吗?利用一副三角板，你还能画出哪些角？
问题5 类比线段的中点，射线OB有没有一种
特殊的位置? αααAOBCDOC、OD是∠AOB 的三等分线.你能说出图中角的关系吗？类似于角平分线，问题6 如何作一个角的平分线？
你能想到什么方法？ 新知练习1、(课本137页练习第1题)
估计图中∠1与∠2的大小关系，并用适当的方法检验.
O2、如图 所示：
（1）∠AOC是哪两个角的和？
（2）∠AOB是哪两个角的差？
（3）如果∠AOB=∠COD,则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？为什么？能力提高4．如图，将长方形纸片的一角斜折，使顶点A
落在A′处，EF为折痕，若恰好平分∠FEB，
（1）判断∠FEA与∠ A′EB的大小关系；
（2）你能求出∠FEB 的度数吗？本节收获了哪些知识？
我们是用什么方法学习这些知识的？
你还有其他的收获与困惑吗？ 小结梳理 小结梳理 角的大小比较 角 的 和 差 角 平 分 线类比线段度量、叠合、翻折图形语言、文字语言、符号语言描 述方
法方
法习题4．3第4～6题、第9题．
作业谢谢大家
